Application de la Loi de Pascal
Comprendre l’application de la Loi de Pascal
Vous êtes ingénieur(e) en mécanique et travaillez sur la conception d’un système hydraulique pour une nouvelle presse industrielle. Cette presse utilise un fluide pour transmettre la force nécessaire à l’écrasement de matériaux. Vous devez vous assurer que le système est correctement dimensionné pour résister à la pression requise.
Données :
- La presse doit exercer une force totale de 5000 N.
- Le piston principal qui exerce la force a une surface de 0,015 m².
- Le système hydraulique est rempli d’huile (considérez la densité de l’huile comme étant 850 kg/m³).
- La presse est connectée à un petit piston, dont la surface est de 0,0025 m².
- La hauteur de la colonne d’huile dans le système est de 1,2 m.
Questions :
1. Calculez la pression exercée par le grand piston sur le fluide.
2. En utilisant la Loi de Pascal, déterminez la force exercée par le petit piston.
3. Calculez la pression additionnelle due au poids de la colonne d’huile.
4. Déterminez si le petit piston peut générer la force requise, en tenant compte de la pression additionnelle due au poids de l’huile.
Correction : application de la Loi de Pascal
1. Calcul de la pression exercée par le grand piston sur le fluide
La pression \(P\) exercée par un piston se calcule à partir de la relation :
\[ P = \frac{F}{A} \]
où
- \(F\) est la force appliquée,
- \(A\) est la surface du piston.
Données :
- Force du grand piston : \(F = 5000\; \text{N}\)
- Surface du grand piston : \(A = 0,015\; \text{m}^2\)
Calcul :
\[ P = \frac{5000\; \text{N}}{0,015\; \text{m}^2} \] \[ P = 333\,333,33\; \text{Pa} \]
Résultat :
La pression exercée par le grand piston sur le fluide est d’environ \(3,33 \times 10^5\; \text{Pa}\).
2. Détermination de la force exercée par le petit piston via la Loi de Pascal
La Loi de Pascal stipule que la pression se transmet intégralement dans un fluide incompressible. Ainsi, le petit piston subit la même pression \(P\) que le grand piston.
La force sur le petit piston se calcule par :
\[ F_{\text{petit}} = P \times A_{\text{petit}} \]
Données :
- Pression transmise : \(P = 333\,333,33\; \text{Pa}\)
- Surface du petit piston : \(A_{\text{petit}} = 0,0025\; \text{m}^2\)
Calcul :
\[ F_{\text{petit}} = 333\,333,33\; \text{Pa} \times 0,0025\; \text{m}^2 \] \[ F_{\text{petit}} \approx 833,33\; \text{N} \]
Résultat :
La force exercée par le petit piston est d’environ \(833\; \text{N}\).
3. Calcul de la pression additionnelle due au poids de la colonne d’huile
La pression additionnelle générée par une colonne de fluide est donnée par :
\[ \Delta P = \rho \times g \times h \]
où
- \(\rho\) est la densité du fluide,
- \(g\) est l’accélération due à la gravité,
- \(h\) est la hauteur de la colonne de fluide.
Données :
- Densité de l’huile : \(\rho = 850\; \text{kg/m}^3\)
- \(g \approx 9,81\; \text{m/s}^2\)
- Hauteur de la colonne d’huile : \(h = 1,2\; \text{m}\)
Calcul :
\[ \Delta P = 850\; \text{kg/m}^3 \times 9,81\; \text{m/s}^2 \times 1,2\; \text{m} \] \[ \Delta P \approx 10\,006,2\; \text{Pa} \]
Résultat :
La pression additionnelle due au poids de la colonne d’huile est d’environ \(10\,006\; \text{Pa}\).
4. Force totale sur le petit piston et vérification
La pression totale appliquée sur le petit piston est la somme de la pression initiale et de la pression additionnelle :
\[ P_{\text{total}} = P + \Delta P \]
La force correspondante est alors :
\[ F_{\text{total}} = P_{\text{total}} \times A_{\text{petit}} \]
Calcul :
1. Calcul de la pression totale :
\[ P_{\text{total}} = 333\,333,33\; \text{Pa} + 10\,006,2\; \text{Pa} \] \[ P_{\text{total}} \approx 343\,339,53\; \text{Pa} \]
2. Calcul de la force sur le petit piston :
\[ F_{\text{total}} = 343\,339,53\; \text{Pa} \times 0,0025\; \text{m}^2 \] \[ F_{\text{total}} \approx 858,35\; \text{N} \]
Résultat :
Le petit piston génère donc une force totale d’environ \(858\; \text{N}\).
Conclusion
Pour obtenir une force de \(5000\; \text{N}\) sur le grand piston, la conception hydraulique doit permettre au petit piston de fournir :
- Sans la colonne d’huile : \(833\; \text{N}\)
- Avec la colonne d’huile (effet additionnel du poids) : \(858\; \text{N}\)
Ainsi, le petit piston doit être capable d’exercer environ \(858\; \text{N}\) pour compenser l’effet de la colonne d’huile et transmettre la pression nécessaire au grand piston. Si la capacité maximale du petit piston est inférieure à cette valeur, le système ne pourra pas atteindre la force requise sur le grand piston.
Application de la Loi de Pascal
D’autres exercices d’hydraulique:
0 commentaires