Analyse d’un Système Fermé

Comprendre l’analyse d’un Système Fermé

Vous êtes chargé d’analyser un cylindre fermé contenant de l’air, initialement à une pression de 1 atm et une température de 20°C.

Le volume du cylindre est de 0.05 m³. Le système subit ensuite un processus de chauffage jusqu’à ce que la température atteigne 150°C.

Données :

• Volume initial (V₁) = 0.05 m³
• Température initiale (T₁) = 20°C
• Température finale (T₂) = 150°C
• Pression initiale (P₁) = 1 atm
• Capacité calorifique à volume constant pour l’air (Cv) = 0.718 kJ/kg.K
• Constante des gaz parfaits (R) = 0.287 kJ/kg.K

Hypothèses :

• L’air se comporte comme un gaz parfait.
• Le processus est quasi-statique.
• Aucun travail n’est effectué par ou sur le système (W = 0).

Questions :

1. Calculez la masse d’air dans le cylindre à l’état initial.
2. Déterminez la pression finale dans le cylindre.
3. Calculez la quantité de chaleur transférée au système pendant ce processus.

Correction : analyse d’un Système Fermé

Étape 1: Calcul de la Masse d’Air (m)

Données:

• Volume initial \( V_1 = 0.05 \, \text{m}^3 \)
• Température initiale \( T_1 = 20^\circ\text{C} = 293 \, \text{K} \)
• Pression initiale \( P_1 = 1 \, \text{atm} = 101.325 \, \text{kPa} \)
• Constante des gaz parfaits \( R = 0.287 \, \text{kJ/kg.K} \)

Formule utilisée:

\[ PV = mRT \]

Calcul:

Rearrangez l’équation pour trouver la masse \( m \):
\[ m = \frac{PV}{RT} \]

Insertion des valeurs:

\[ m = \frac{101.325 \times 0.05}{0.287 \times 293} \]
\[ m = \frac{5.06625}{83.841} \]
\[ m \approx 0.0604 \, \text{kg} \]

Étape 2: Calcul de la Pression Finale (P_2)

Données:

• Température finale \( T_2 = 150^\circ\text{C} = 423 \, \text{K} \)
• Masse \( m = 0.0604 \, \text{kg} \) (calculée précédemment)

Formule utilisée: Encore une fois, \( PV = mRT \), mais cette fois pour l’état final.

Calcul:

Rearrangez l’équation pour trouver la pression finale \( P_2 \):

\[ P_2 = \frac{mRT_2}{V} \]

Insertion des valeurs:

\[ P_2 = \frac{0.0604 \times 0.287 \times 423}{0.05} \]
\[ P_2 = \frac{6.9596}{0.05} \]
\[ P_2 \approx 139.192 \, \text{kPa} \]

Étape 3: Calcul de la Quantité de Chaleur Transférée (Q)

Données:

• Capacité calorifique à volume constant pour l’air \( C_v = 0.718 \, \text{kJ/kg.K} \)
• Variation de température \( \Delta T = T_2 – T_1 = 423 \, \text{K} – 293 \, \text{K} = 130 \, \text{K} \)
• Masse \( m = 0.0604 \, \text{kg} \)
• Travail \( W = 0 \) (car aucun travail n’est effectué)

Formule utilisée:

\[ \Delta U = Q – W \]
et
\[ \Delta U = mC_v \Delta T \]

Puisque \( W = 0 \),
\[ Q = \Delta U = mC_v \Delta T \]

Calcul:

\[ Q = mC_v \Delta T \]

Insertion des valeurs:

\[ Q = 0.0604 \times 0.718 \times 130 \]
\[ Q = 5.6346 \, \text{kJ} \]

Conclusion:

La quantité de chaleur nécessaire pour chauffer l’air dans le cylindre de 20°C à 150°C est d’environ 5.63 kJ.

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