Analyse d’un Système de Plancher en Bois
Comprendre l’Analyse d’un Système de Plancher en Bois
Vous êtes chargé de concevoir un système de plancher pour une construction résidentielle en bois. Le bâtiment a une portée de plancher de 6 mètres et une largeur de 8 mètres. Le système de plancher doit supporter des charges résidentielles typiques.
Pour comprendre les Caractéristiques mécaniques du bois, cliquez sur le lien.
Objectifs de l’Exercice:
- Déterminer les dimensions appropriées des solives en bois.
- Calculer la charge maximale que le système de plancher peut supporter.
- Vérifier la déformation et la vibration du plancher selon l’EC5.
Données :
- Charge permanente (y compris le poids propre du plancher): 1,5 kN/m².
- Charge d’exploitation: 2,0 kN/m².
- Matériau des solives: bois résineux C24.
- Espacement des solives: 400 mm.
- Classe de service 1, durée de charge moyenne.
Questions:
1. Calcul de la charge totale:
- Calculez la charge totale agissant sur le plancher.
2. Dimensionnement des solives:
- Utilisez les propriétés du bois résineux C24 (selon l’Eurocode 5) pour déterminer la taille appropriée des solives.
- Prenez en compte la portée des solives et l’espacement prévu.
3. Vérification de la résistance:
- Calculez les moments de flexion et les forces de cisaillement dans les solives.
- Vérifiez la résistance de la solive en utilisant les critères de l’Eurocode 5.
4. Vérification de la déformation:
- Calculez la déformation maximale du plancher.
- Assurez-vous que la déformation ne dépasse pas la limite prescrite par l’EC5.
5. Vérification de la vibration:
- Évaluez la fréquence propre du plancher pour vérifier les critères de confort liés à la vibration.
Correction : Analyse d’un Système de Plancher en Bois
1. Calcul de la charge totale
Le plancher supporte deux types de charges réparties sur l’aire totale de la surface : la charge permanente (y compris le poids propre) et la charge d’exploitation. La charge totale en kN/m² se calcule par la somme de ces deux contributions, puis est multipliée par l’aire (longueur \(\times\) largeur).
Formule
- Charge totale surfacique :
\[ g_{\text{tot}} = g_{\text{permanent}} + g_{\text{exploitation}} \]
- Charge totale agissant sur le plancher :
\[ Q_{\text{tot}} = g_{\text{tot}} \times A \]
Données
- \(g_{\text{permanent}} = 1{,}5\;\text{kN/m}^2,\)
- \(g_{\text{exploitation}} = 2{,}0\;\text{kN/m}^2\)
- Dimensions du plancher : 6 m (portée) \(\times\) 8 m (largeur)
\(A = 6 \times 8 = 48\;\text{m}^2\)
Calcul
1. Charge totale surfacique :
\[ g_{\text{tot}} = 1{,}5 + 2{,}0 = 3{,}5\;\text{kN/m}^2 \]
2. Charge totale sur le plancher :
\[ Q_{\text{tot}} = 3{,}5 \times 48 = 168\;\text{kN} \]
2. Dimensionnement des solives
Les solives supportent la charge répartie. Pour une solive simplement appuyée de portée \(L = 6\;\text{m}\) et un espacement \(s = 400\;\text{mm} = 0{,}4\;\text{m}\), la charge uniformément répartie sur chaque solive est obtenue en multipliant la charge surfacique par l’espacement.
Formule
- Charge par solive (\(q\)) :
\[ q = g_{\text{tot}} \times s \]
- Moment maximum pour une poutre simplement appuyée :
\[ M_{\text{max}} = \frac{q L^2}{8} \]
- Effort tranchant maximum :
\[ V_{\text{max}} = \frac{q L}{2} \]
Données
- \(g_{\text{tot}} = 3{,}5\;\text{kN/m}^2\),
- \(s = 0{,}4\;\text{m}\),
- \(L = 6\;\text{m}\)
Calcul
1. Charge par solive :
\[ q = 3{,}5 \times 0{,}4 \] \[ q = 1{,}4\;\text{kN/m} \]
2. Moment maximum :
\[ M_{\text{max}} = \frac{1{,}4 \times 6^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{1{,}4 \times 36}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{50{,}4}{8} \] \[ M_{\text{max}} = 6{,}3\;\text{kN·m} \]
3. Effort tranchant maximum :
\[ V_{\text{max}} = \frac{1{,}4 \times 6}{2} \] \[ V_{\text{max}} = \frac{8{,}4}{2} \] \[ V_{\text{max}} = 4{,}2\;\text{kN} \]
Choix préliminaire
En se référant aux données de la classe C24 (bois résineux) et aux dimensions courantes, une section initiale type 45×245 mm a été envisagée. Cependant, pour satisfaire à la vérification de la déformation, il s’avère nécessaire d’augmenter la hauteur.
3. Vérification de la résistance
A. Vérification en flexion
Il faut s’assurer que le moment résistant en flexion de la solive \(M_{R,d}\) est supérieur au moment maximum appliqué \(M_{\text{max}}\). Le moment résistant est obtenu en multipliant la contrainte de calcul en flexion \(f_{m,d}\) par le module de section \(W\).
Formule
\[ M_{R,d} = f_{m,d} \times W \]
Pour une section rectangulaire,
\[ W = \frac{b \times h^2}{6} \]
Choix et Données
- On adopte une contrainte de calcul en flexion :
\[ f_{m,d} \approx 16\;\text{N/mm}^2 \]
- Première proposition testée (45\(\times\)245 mm) :
\[ b = 45\;\text{mm},\quad h = 245\;\text{mm} \]
\[ W_{245} = \frac{45 \times 245^2}{6} \] \[ W_{245} \approx 450\,000\;\text{mm}^3 \]
Calcul
Moment résistant pour 45\(\times\)245 mm :
\[ M_{R,d} = 16 \times 450\,000 \] \[ M_{R,d} = 7{,}2 \times 10^6\;\text{Nmm} \] \[ M_{R,d} = 7{,}2\;\text{kN·m} \]
Comparaison :
\[ M_{R,d}\,(7{,}2\;\text{kN·m}) > M_{\text{max}}\,(6{,}3\;\text{kN·m}) \]
La résistance en flexion est vérifiée pour cette section.
B. Vérification en cisaillement
Le cisaillement maximum dans la solive doit être inférieur à la capacité de cisaillement du bois.
Formule
Pour une section rectangulaire, la contrainte de cisaillement maximale est approximativement :
\[ \tau_{\text{max}} = \frac{1{,}5 \, V_{\text{max}}}{b \times h} \]
Données pour la section 45\(\times\)245 mm
- \(V_{\text{max}} = 4{,}2\;\text{kN} = 4200\;\text{N}\)
- \(b = 45\;\text{mm},\quad h = 245\;\text{mm}\)
Calcul
\[ \tau_{\text{max}} = \frac{1{,}5 \times 4200}{45 \times 245} \] \[ \tau_{\text{max}} \approx \frac{6300}{11025} \] \[ \tau_{\text{max}} \approx 0{,}57\;\text{N/mm}^2 \]
Cette valeur est bien inférieure à la capacité en cisaillement typique (environ 2,0 N/mm\(^2\)), la vérification est donc satisfaite.
4. Vérification de la déformation
La flèche (déformation) maximale d’un plancher est calculée à l’aide de la formule pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie. La flèche doit rester inférieure à la limite prescrite par l’Eurocode 5, souvent égale à \(\frac{L}{300}\).
Formule
Pour une poutre simplement appuyée :
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \, q \, L^4}{384 \, E \, I} \]
Où :
\(E\) est le module d’élasticité du bois (pour le C24, on prend \(E \approx 10\,000\;\text{N/mm}^2\), soit \(1 \times 10^{10}\;\text{N/m}^2\))
\(I\) est le moment d’inertie de la section rectangulaire :
\[ I = \frac{b \, h^3}{12} \]
Données
- Pour la section 45\(\times\)245 mm : \(b = 45\;\text{mm},\quad h = 245\;\text{mm}\)
- \(q = 1{,}4\;\text{kN/m} = 1400\;\text{N/m}\),
- \(L = 6\;\text{m}\),
- \(E = 1 \times 10^{10}\;\text{N/m}^2\)
Calcul de \(I\) (pour 45\(\times\)245 mm)
Convertir en unités cohérentes :
\[ I_{245} = \frac{45 \times 245^3}{12} \]
Calcul approximatif :
\[ 245^3 \approx 14{,}7 \times 10^6\;\text{mm}^3 \]
\[ I_{245} \approx \frac{45 \times 14{,}7 \times 10^6}{12} \approx 55 \times 10^6\;\text{mm}^4 \]
Convertir en m\(^4\) :
\[ 55 \times 10^6\;\text{mm}^4 = 5,5 \times 10^{-5}\;\text{m}^4 \]
Calcul de la flèche pour 45\(\times\)245 mm
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \times 1400 \times 6^4}{384 \times 1 \times 10^{10} \times 5,5 \times 10^{-5}} \] \[ \delta_{\text{max}} \approx \frac{9{,}072{,}000}{211{,}200{,}000} \] \[ \delta_{\text{max}} \approx 0,043\;\text{m} \quad \text{soit } 43\;\text{mm} \]
La flèche maximale admissible pour une portée de 6 m est généralement :
\[ \frac{L}{300} = \frac{6000}{300} = 20\;\text{mm} \]
Avec 43 mm, la déformation dépasse largement la limite.
Action corrective : Augmenter la section des solives.
Proposition d’une section renforcée
On recherche une section qui permette d’obtenir \(\delta_{\text{max}} \leq 20\;\text{mm}\). En refaisant le calcul, il est estimé que le moment d’inertie requis doit être d’environ
\[ I_{\text{req}} \geq 1,18 \times 10^8\;\text{mm}^4. \]
Pour une section rectangulaire :
\[ I = \frac{b \, h^3}{12} \]
En conservant \(b = 45\;\text{mm}\), on trouve que \(h\) doit être de l’ordre de 320 mm.
Vérification pour une section 45\(\times\)320 mm
1. Calcul de \(I\) :
\[ I_{320} = \frac{45 \times 320^3}{12} \] \[ I_{320} \approx \frac{45 \times 32{,}768{,}000}{12} \] \[ I_{320} \approx 122{,}880{,}000\;\text{mm}^4 \]
Soit
\(I_{320} \approx 1,23 \times 10^8\;\text{mm}^4 \quad \text{(ce qui est supérieur à } I_{\text{req}}\text{)}\)
2. Recalcul de la flèche :
Convertir \(I_{320}\) en m\(^4\) :
\[ 1,23 \times 10^8\;\text{mm}^4 = 1,23 \times 10^{-4}\;\text{m}^4 \]
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{9{,}072{,}000}{384 \times 1 \times 10^{10} \times 1,23 \times 10^{-4}} \] \[ \delta_{\text{max}} \approx \frac{9{,}072{,}000}{472{,}000{,}000} \] \[ \delta_{\text{max}} \approx 0,0192\;\text{m} \quad \text{soit environ } 19,2\;\text{mm} \]
La flèche est alors conforme à la limite (\(\leq 20\;\text{mm}\)).
5. Vérification de la vibration
Les vibrations du plancher influent sur le confort. La fréquence naturelle \(f\) d’une poutre simplement appuyée peut être estimée à l’aide d’une formule simplifiée. En pratique, l’Eurocode et la réglementation imposent généralement une fréquence minimale (souvent de l’ordre de 8 Hz pour des planchers résidentiels). Le calcul simplifié permet de vérifier si la structure est trop souple.
Formule (approximative)
Une estimation de la fréquence naturelle peut être obtenue par :
\[ f = \frac{1}{2\pi} \left( \frac{k}{m} \right)^{1/2} \]
Pour une poutre, une formule couramment utilisée est :
\[ f = \frac{1,875^2}{2\pi} \sqrt{\frac{EI}{m L^4}} \]
où \(m\) est la masse linéique (en kg/m), liée à la charge uniformément répartie \(q\) par \(m = \frac{q}{g}\) (avec \(g \approx 9,81\;\text{m/s}^2\)).
Données et Calcul
- Pour la solive, \(q = 1,4\;\text{kN/m} = 1400\;\text{N/m}\)
\[ m \approx \frac{1400}{9,81} \approx 143\;\text{kg/m} \]
- Pour la section 45\(\times\)320 mm :
\[ E = 1 \times 10^{10}\;\text{N/m}^2,\quad I = 1,23 \times 10^{-4}\;\text{m}^4,\quad L = 6\;\text{m} \]
Calcul (indicatif)
Utilisons la formule :
\[ f = \frac{1,875^2}{2\pi} \sqrt{\frac{EI}{mL^4}} \]
1. Calcul du coefficient :
\[ \frac{1,875^2}{2\pi} \approx \frac{3,52}{6,2832} \approx 0,56 \]
2. Calcul du terme sous racine :
\[ EI = 1 \times 10^{10} \times 1,23 \times 10^{-4} = 1,23 \times 10^{6}\;\text{N·m}^2 \]
\[ L^4 = 6^4 = 1296\;\text{m}^4 \]
\[ \frac{EI}{m L^4} \approx \frac{1,23 \times 10^{6}}{143 \times 1296} \approx \frac{1,23 \times 10^{6}}{185{,}328} \approx 6,64 \]
3. Racine carrée :
\[ \sqrt{6,64} \approx 2,58 \]
4. Fréquence estimée :
\[ f \approx 0,56 \times 2,58 \] \[ f \approx 1,44\;\text{Hz} \]
Interprétation
La valeur obtenue (environ 1,4 Hz) correspond à la vibration libre d’une poutre isolée. Or, pour un plancher résidentiel, la fréquence ressentie doit être bien supérieure (typiquement \(\geq 8\;\text{Hz}\)) pour le confort.
Remarque :
- Le calcul simplifié d’un élément isolé donne une fréquence faible.
- Dans un système complet, l’action en diaphragm et la distribution de masse augmentent la rigidité dynamique.
- Si, dans l’analyse détaillée, la fréquence effective reste insuffisante, des solutions de renforcement (par exemple, l’ajout de nervures, de linteaux ou de revêtements rigides) seront nécessaires pour améliorer le confort vibratoire.
Conclusion et Proposition Finale
- Charge totale calculée : 168 kN répartie sur 48 m² (soit 3,5 kN/m²).
- Dimensionnement initial des solives : Avec un espacement de 400 mm, la charge par solive est de 1,4 kN/m, induisant un moment maximum de 6,3 kN·m et une force tranchante de 4,2 kN.
- Vérification en résistance :
– Pour une section 45×245 mm, le moment résistant (≈7,2 kN·m) est suffisant, et la vérification en cisaillement est satisfaisante. - Vérification de la déformation :
– La flèche calculée pour une section 45×245 mm est de 43 mm (trop élevée par rapport à la limite de 20 mm).
– En passant à une section 45×320 mm, on obtient une flèche d’environ 19,2 mm, ce qui est acceptable. - Vibration :
– Le calcul indicatif sur une solive isolée donne une fréquence de l’ordre de 1,4 Hz, insuffisante pour le confort.
– Il faut considérer l’ensemble du système plancher (action diaphragm, revêtement, etc.) ou prévoir des renforts afin d’augmenter la fréquence naturelle vers une valeur conforme aux exigences (typiquement ≥8 Hz).
Recommandation :
Utiliser des solives en bois de section 45×320 mm espacées de 400 mm, tout en intégrant des solutions de renforcement (linteaux, cloisons rigides ou revêtements) pour améliorer le comportement dynamique du plancher.
Système de Plancher en Bois
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