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Analyse des Propriétés Hydrauliques

Analyse des Propriétés Hydrauliques d'un Canal Trapézoïdal

Analyse des Propriétés Hydrauliques

Contexte : L'écoulement à surface libre.

Cet exercice porte sur l'étude d'un écoulement dans un canal trapézoïdal, un ouvrage couramment utilisé en génie civil pour l'irrigation, le drainage ou l'assainissement. Nous utiliserons la célèbre formule de Manning-StricklerFormule empirique permettant de calculer la vitesse moyenne d'un fluide dans un canal à surface libre, en fonction de la géométrie, de la pente et de la rugosité du canal. pour déterminer les caractéristiques de l'écoulement. L'objectif est de calculer les propriétés géométriques et hydrauliques essentielles pour une hauteur d'eau donnée, et de qualifier le régime de l'écoulement.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser les calculs fondamentaux de l'hydraulique à surface libre et de comprendre l'interaction entre la géométrie d'un canal, sa rugosité et sa capacité à transporter l'eau.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les propriétés géométriques d'un canal trapézoïdal (surface mouillée, périmètre mouillé, rayon hydraulique).
  • Appliquer la formule de Manning-Strickler pour déterminer le débit de l'écoulement.
  • Calculer la vitesse moyenne et la hauteur hydraulique.
  • Déterminer le régime d'écoulement (fluvial ou torrentiel) à l'aide du Nombre de FroudeNombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces de gravité. Il permet de caractériser le régime d'écoulement (fluvial si Fr < 1, critique si Fr = 1, torrentiel si Fr > 1)..

Données de l'étude

On considère un canal en béton de section trapézoïdale dont les caractéristiques sont définies ci-dessous. La hauteur d'eau dans le canal est fixée pour cette étude.

Schéma de la section du canal
T (Largeur au miroir) b m.y y m.y 1 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Largeur au fond du canal \(b\) 3.0 m
Fruit de la berge (pente) \(m\) 2.0 -
Hauteur d'eau (tirant d'eau) \(y\) 1.2 m
Pente longitudinale du canal \(S_0\) 0.001 m/m
Coefficient de rugosité de Manning \(n\) 0.015 \(\text{s/m}^{1/3}\)
Accélération de la pesanteur \(g\) 9.81 \(\text{m/s}^2\)

Questions à traiter

  1. Calculer la surface mouillée \(A\) de l'écoulement.
  2. Calculer le périmètre mouillé \(P\) de l'écoulement.
  3. En déduire le rayon hydraulique \(R_h\).
  4. Calculer la vitesse moyenne \(V\) et le débit \(Q\) dans le canal en utilisant la formule de Manning-Strickler.
  5. Calculer le nombre de Froude \(Fr\) et déterminer si le régime d'écoulement est fluvial ou torrentiel.

Les bases de l'hydraulique à surface libre

Pour résoudre cet exercice, nous aurons besoin des formules géométriques d'un trapèze et des équations fondamentales de l'hydraulique.

1. Propriétés Géométriques d'un Trapèze
Pour une section trapézoïdale de largeur au fond \(b\), une hauteur d'eau \(y\) et un fruit de berge \(m\) (pour 1 vertical, on a m horizontal) :

\[ \text{Surface mouillée : } A = (b + my) \cdot y \]
\[ \text{Périmètre mouillé : } P = b + 2y\sqrt{1+m^2} \]
\[ \text{Largeur au miroir : } T = b + 2my \]

2. Équation de Manning-Strickler
Elle relie le débit aux caractéristiques du canal. \(K\) est le coefficient de Strickler (\(K=1/n\)).

\[ Q = A \cdot K \cdot R_h^{2/3} \cdot S_0^{1/2} = A \cdot \frac{1}{n} \cdot R_h^{2/3} \cdot S_0^{1/2} \]

3. Nombre de Froude
Il caractérise le régime de l'écoulement. \(D_h\) est la hauteur hydraulique (\(A/T\)).

\[ Fr = \frac{V}{\sqrt{g \cdot D_h}} \quad \text{où} \quad V = \frac{Q}{A} \quad \text{et} \quad D_h = \frac{A}{T} \]

Correction : Analyse des Propriétés Hydrauliques

Question 1 : Calculer la surface mouillée A

Principe

La surface mouillée, notée A, est la surface de la section transversale de l'eau dans le canal. C'est la première étape indispensable pour comprendre combien d'eau peut passer. Pour un trapèze, elle dépend de la largeur au fond, de la hauteur d'eau et de la pente des berges.

Mini-Cours

Une section trapézoïdale est une forme géométrique à quatre côtés avec deux côtés parallèles (le fond du canal et la surface de l'eau). Sa surface se calcule en multipliant la hauteur par la moyenne des bases. La formule \(A = (b + my)y\) est une simplification de cela, où \(b+2my\) est la largeur à la surface et \(b\) la largeur au fond.

Remarque Pédagogique

Commencez toujours par identifier et calculer les propriétés géométriques de base (surface, périmètre). Une erreur à ce stade initial se répercutera sur tous les calculs suivants. Visualisez la forme : un rectangle central de surface \(b \times y\) et deux triangles sur les côtés, chacun de surface \(\frac{1}{2}(my) \times y\).

Normes

Cet exercice est académique. Dans un projet réel, les dimensions du canal seraient dictées par des normes de conception (par ex. recommandations du CEREMA en France) qui assurent la stabilité des berges et la sécurité de l'ouvrage.

Formule(s)

Formule de la surface mouillée

\[ A = (b + my) \cdot y \]
Hypothèses

On suppose que la section du canal est parfaitement trapézoïdale et constante sur la longueur étudiée. On néglige toute irrégularité du fond ou des berges.

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs de l'énoncé :

  • Largeur au fond \(b = 3.0 \text{ m}\)
  • Fruit de berge \(m = 2.0\)
  • Hauteur d'eau \(y = 1.2 \text{ m}\)
Astuces

Pour mémoriser la formule, pensez à la surface comme celle d'un rectangle de largeur moyenne \((b+my)\) et de hauteur \(y\). C'est une façon intuitive de retrouver le calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Représentation des données d'entrée
b = 3.0 my = 1.2 mm = 2
Calcul(s)

Application numérique

\[ \begin{aligned} A &= (3.0 + 2.0 \times 1.2) \times 1.2 \\ &= (3.0 + 2.4) \times 1.2 \\ &= 5.4 \times 1.2 \\ &= 6.48 \text{ m}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Surface Mouillée (A)
A = 6.48 m²
Réflexions

Cette valeur de 6.48 m² est la "porte" à travers laquelle tout le débit doit passer. Si on veut faire passer plus d'eau sans augmenter la vitesse, il faudra inévitablement augmenter cette surface, soit en augmentant la hauteur d'eau, soit en élargissant le canal.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre le fruit de la berge \(m\) (sans dimension) avec une longueur en mètres. C'est un rapport (horizontal/vertical).

Points à retenir
  • La surface mouillée est la base de tous les calculs hydrauliques.
  • Sa formule pour un trapèze est \(A = (b + my)y\).
  • Elle représente la section de passage de l'écoulement.
Le saviez-vous ?

Les premiers grands canaux d'irrigation, comme ceux de Mésopotamie, utilisaient déjà des formes trapézoïdales il y a plus de 6000 ans. Cette forme est naturellement stable pour des berges en terre.

FAQ

Pourquoi utilise-t-on un fruit 'm' plutôt qu'un angle ?

En terrassement et génie civil, il est plus facile pour les praticiens sur le terrain de mesurer des distances horizontales et verticales (par exemple, "avancer de 2m pour chaque mètre de profondeur") que de mesurer des angles avec un inclinomètre. Le fruit \(m\) est donc plus pratique.

Résultat Final
La surface mouillée de l'écoulement est de 6.48 m².
A vous de jouer

Si la hauteur d'eau monte à 1.5 m, quelle serait la nouvelle surface mouillée ?

Question 2 : Calculer le périmètre mouillé P

Principe

Le périmètre mouillé, noté P, est la longueur de la paroi du canal qui est en contact avec l'eau. Il représente la source des forces de frottement qui ralentissent l'écoulement. Moins de périmètre pour une même surface, c'est moins de frottement et donc un meilleur écoulement.

Mini-Cours

Le terme \(\sqrt{1+m^2}\) vient du théorème de Pythagore. Pour une berge, si l'on descend d'une hauteur \(y\), on s'écarte horizontalement de \(my\). La longueur de la berge inclinée est donc l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés \(y\) et \(my\), soit \(\sqrt{y^2 + (my)^2} = y\sqrt{1+m^2}\).

Remarque Pédagogique

Une erreur fréquente est d'inclure la largeur en surface (le contact eau/air) dans le périmètre mouillé. Il ne faut pas ! Le périmètre mouillé ne concerne que le contact eau/solide (fond et berges), car c'est là que se produit le frottement.

Normes

Les normes de conception des canaux cherchent souvent à optimiser la section pour minimiser le périmètre mouillé pour une surface donnée, afin de réduire les pertes de charge et les coûts de terrassement.

Formule(s)

Formule du périmètre mouillé

\[ P = b + 2y\sqrt{1+m^2} \]
Hypothèses

On suppose que le matériau constituant les parois est homogène, ce qui justifiera l'utilisation d'un seul coefficient de rugosité sur tout le périmètre.

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs de l'énoncé :

  • Largeur au fond \(b = 3.0 \text{ m}\)
  • Fruit de berge \(m = 2.0\)
  • Hauteur d'eau \(y = 1.2 \text{ m}\)
Astuces

Le calcul de \(\sqrt{1+m^2}\) peut être fait une seule fois. Pour m=2, c'est \(\sqrt{5} \approx 2.236\). Gardez cette valeur en mémoire, elle est courante pour les pentes 2:1.

Schéma (Avant les calculs)
Composantes du Périmètre Mouillé
bL bergeL berge
Calcul(s)

Application numérique

\[ \begin{aligned} P &= 3.0 + 2 \times 1.2 \sqrt{1 + 2.0^2} \\ &= 3.0 + 2.4 \sqrt{5} \\ &= 3.0 + 2.4 \times 2.236 \\ &= 3.0 + 5.366 \\ &= 8.366 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Périmètre Mouillé (P)
P = 8.37 m
Réflexions

Ce périmètre de 8.37 m est relativement grand par rapport à la surface de 6.48 m². Cela suggère que la section n'est pas hydrauliquement optimale. Une section semi-circulaire, pour la même surface, aurait un périmètre plus faible.

Points de vigilance

N'oubliez pas le facteur 2 devant le terme de la berge, car il y a deux berges ! C'est une omission classique.

Points à retenir
  • Le périmètre mouillé représente la source du frottement.
  • La formule \(P = b + 2y\sqrt{1+m^2}\) inclut le fond et les DEUX berges.
  • La surface libre (contact air-eau) n'est jamais incluse.
Le saviez-vous ?

Les canaux en béton ou maçonnés ont un périmètre très stable. À l'inverse, dans les rivières naturelles, le périmètre mouillé peut changer constamment à cause de l'érosion et de la sédimentation, ce qui rend les calculs hydrauliques beaucoup plus complexes.

FAQ

Pourquoi le frottement avec l'air n'est-il pas pris en compte ?

La viscosité de l'air est environ 55 fois plus faible que celle de l'eau, et sa densité environ 800 fois plus faible. Les forces de frottement exercées par l'air sur la surface de l'eau sont donc considérées comme totalement négligeables par rapport à celles exercées par les parois du canal.

Résultat Final
Le périmètre mouillé de l'écoulement est de 8.37 m.
A vous de jouer

Avec une hauteur d'eau de 1.5 m, quel serait le nouveau périmètre mouillé ?

Question 3 : En déduire le rayon hydraulique \(R_h\)

Principe

Le rayon hydraulique, noté \(R_h\), est un paramètre clé qui représente l'efficacité d'un canal à transporter l'eau. Il n'est pas un rayon au sens géométrique, mais un ratio : une grande surface (ce qui aide l'écoulement) divisée par un petit périmètre (ce qui freine l'écoulement).

Mini-Cours

Le concept de rayon hydraulique permet de comparer l'efficacité de sections de formes très différentes (rectangulaire, triangulaire, circulaire, etc.) avec une seule et même grandeur. Une section est dite "hydrauliquement favorable" ou "optimale" si, pour une surface A donnée, son rayon hydraulique est maximal (ce qui revient à minimiser le périmètre P).

Remarque Pédagogique

Un bon moyen de comprendre l'intérêt du rayon hydraulique est de penser à un tuyau circulaire. S'il est plein, \(A=\pi r^2\) et \(P=2\pi r\), donc \(R_h = r/2\). S'il n'est rempli qu'à moitié, \(A=\pi r^2/2\) et \(P=\pi r\), donc \(R_h = r/2\) aussi ! Le rayon hydraulique capture bien plus que la simple hauteur d'eau.

Normes

Les abaques et logiciels de dimensionnement hydraulique utilisent systématiquement le rayon hydraulique comme variable d'entrée pour les calculs de vitesse et de débit.

Formule(s)

Formule du rayon hydraulique

\[ R_h = \frac{A}{P} \]
Hypothèses

Ce calcul suppose que les valeurs de A et P, calculées précédemment, sont exactes. Toute erreur sur A ou P sera directement reportée sur \(R_h\).

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs calculées précédemment :

  • Surface mouillée \(A = 6.48 \text{ m}^2\)
  • Périmètre mouillé \(P = 8.366 \text{ m}\)
Astuces

Ne confondez pas le Rayon Hydraulique (\(R_h = A/P\)) avec la Hauteur Hydraulique (\(D_h = A/T\)) que nous utiliserons pour le nombre de Froude. Ce sont deux grandeurs différentes avec des significations physiques distinctes.

Schéma (Avant les calculs)
Ratio A / P
A = 6.48 m²P = 8.37 m
Calcul(s)

Application numérique

\[ \begin{aligned} R_h &= \frac{6.48}{8.366} \\ &= 0.7745 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des longueurs
Hauteur d'eau (y)1.20 mRayon Hydraulique (Rh)0.775 m
Réflexions

Un rayon hydraulique plus grand signifie moins de frottement relatif pour une surface donnée, ce qui permet à l'eau de s'écouler plus facilement et plus rapidement. Dans la formule de Manning, le débit est proportionnel à \(R_h^{2/3}\), donc une petite augmentation du rayon hydraulique a un impact significatif.

Points de vigilance

Vérifiez les unités : une surface (\(\text{m}^2\)) divisée par une longueur (\(\text{m}\)) donne bien une longueur (\(\text{m}\)). C'est un bon moyen de s'assurer que la formule est correcte.

Points à retenir
  • Le rayon hydraulique \(R_h\) mesure l'efficacité de la section.
  • \(R_h = A/P\).
  • Plus \(R_h\) est grand, plus l'écoulement est efficace.
Le saviez-vous ?

Pour une surface donnée, la forme de canal ouvert qui possède le plus grand rayon hydraulique (et qui est donc la plus efficace) est le demi-cercle. Cependant, construire des canaux semi-circulaires en terre est très difficile, c'est pourquoi la forme trapézoïdale est un compromis pratique.

FAQ

Pourquoi l'appelle-t-on "rayon" ?

Le nom vient de l'étude des conduites circulaires pleines, où le rayon hydraulique vaut D/4 soit R/2 (la moitié du rayon géométrique). Le terme a été conservé par analogie pour les autres formes, même s'il ne correspond plus à un rayon physique.

Résultat Final
Le rayon hydraulique est de 0.775 m.
A vous de jouer

En utilisant vos résultats des sections "A vous de jouer" précédentes pour \(y=1.5\) m, quel serait le nouveau rayon hydraulique ?

Question 4 : Calculer la vitesse V et le débit Q

Principe

La formule de Manning-Strickler est une relation empirique (basée sur l'expérience) qui lie la vitesse de l'eau aux propriétés du canal. Elle exprime que la vitesse augmente avec le rayon hydraulique et la pente (moteurs de l'écoulement) et diminue avec la rugosité (frein de l'écoulement). Le débit est simplement cette vitesse multipliée par la surface de passage.

Mini-Cours

Le coefficient de Manning \(n\) (ou son inverse, le coefficient de Strickler \(K\)) représente l'état de surface des parois. Un béton lisse aura un \(n\) faible (ex: 0.013), tandis qu'un canal naturel avec des herbes et des rochers aura un \(n\) beaucoup plus élevé (ex: 0.035). Ce choix est crucial et a un impact majeur sur le résultat.

Remarque Pédagogique

L'ordre des opérations est important. Calculez d'abord les termes avec exposants (\(R_h^{2/3}\) et \(S_0^{1/2}\)) avant de tout multiplier. Assurez-vous que votre calculatrice gère correctement les exposants fractionnaires.

Normes

Des guides et normes techniques (comme le "Guide to Roughness Coefficients" de l'ASCE) fournissent des valeurs tabulées pour le coefficient \(n\) de Manning pour une très grande variété de matériaux et de conditions de canaux.

Formule(s)

Formule du débit (Manning-Strickler)

\[ Q = A \cdot \frac{1}{n} \cdot R_h^{2/3} \cdot S_0^{1/2} \]

Formule de la vitesse moyenne

\[ V = \frac{Q}{A} \]
Hypothèses

Cette formule est valable pour un écoulement dit "uniforme", c'est-à-dire un écoulement où la hauteur d'eau et la vitesse ne changent pas le long du canal. On suppose donc que nous sommes loin de toute perturbation (vanne, chute, changement de section...).

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs suivantes pour le calcul :

  • \(A = 6.48 \text{ m}^2\)
  • \(R_h = 0.7745 \text{ m}\)
  • \(n = 0.015 \text{ s/m}^{1/3}\)
  • \(S_0 = 0.001 \text{ m/m}\)
Astuces

On peut aussi calculer la vitesse d'abord avec \(V = \frac{1}{n} R_h^{2/3} S_0^{1/2}\), puis en déduire le débit par \(Q = V \times A\). C'est mathématiquement identique et parfois plus simple à suivre.

Schéma (Avant les calculs)
Profil en long du canal
LS0 x LPente S0 = 0.001
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du débit Q

\[ \begin{aligned} Q &= 6.48 \times \frac{1}{0.015} \times (0.7745)^{2/3} \times (0.001)^{1/2} \\ &= 6.48 \times 66.67 \times 0.842 \times 0.0316 \\ &= 11.48 \text{ m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la vitesse V

\[ \begin{aligned} V &= \frac{Q}{A} \\ &= \frac{11.48}{6.48} \\ &= 1.77 \text{ m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du débit et de la vitesse
V = 1.77 m/sQ = 11.48 m³/s
Réflexions

Un débit de près de 11.5 m³/s est considérable, il s'agit d'un petit cours d'eau. La vitesse de 1.77 m/s (environ 6.4 km/h) est assez élevée et pourrait commencer à causer de l'érosion si le canal n'était pas revêtu de béton.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est dans la gestion des unités, notamment pour le coefficient \(n\). Assurez-vous que toutes vos longueurs sont en mètres pour que le résultat soit en m³/s.

Points à retenir
  • La formule de Manning-Strickler est la clé pour passer de la géométrie au débit.
  • Le débit augmente avec la surface, le rayon hydraulique et la pente.
  • Le débit diminue quand la rugosité (n) augmente.
Le saviez-vous ?

L'ingénieur irlandais Robert Manning a proposé sa formule en 1890. Il l'a établie non pas par la théorie, mais en analysant de très nombreuses données de mesures sur des rivières et canaux. C'est l'un des exemples les plus réussis de formule empirique en ingénierie.

FAQ

Cette formule fonctionne-t-elle pour des tuyaux ?

Oui, la formule de Manning est aussi très utilisée pour les réseaux d'assainissement, qui sont des tuyaux ne fonctionnant généralement pas à pleine section (il y a une surface libre). Elle est donc tout à fait adaptée.

Résultat Final
La vitesse moyenne de l'écoulement est de 1.77 m/s et le débit est de 11.48 m³/s.
A vous de jouer

Si la pente du canal était deux fois plus forte (\(S_0=0.002\)), quel serait le nouveau débit ? (Indice : le débit n'est pas simplement doublé).

Question 5 : Calculer le nombre de Froude et qualifier le régime

Principe

Le nombre de Froude compare la vitesse de l'écoulement (\(V\)) à la vitesse à laquelle une petite vague peut se propager à la surface de cet écoulement (\(c = \sqrt{gD_h}\)). Si l'eau va plus vite que les vagues (\(Fr>1\)), l'écoulement est dit "torrentiel". Si les vagues vont plus vite que l'eau (\(Fr<1\)), l'écoulement est "fluvial".

Mini-Cours

La transition entre le régime fluvial et torrentiel se fait au régime "critique" (\(Fr=1\)). C'est un état d'instabilité qui se produit souvent au-dessus des déversoirs. Le passage brutal d'un régime torrentiel à un régime fluvial est un phénomène spectaculaire appelé "ressaut hydraulique", qui dissipe énormément d'énergie.

Remarque Pédagogique

Pensez à un bateau sur une rivière. En régime fluvial (\(Fr<1\)), les vagues de son sillage peuvent remonter le courant. En régime torrentiel (\(Fr>1\)), même les vagues allant vers l'amont sont emportées par le courant. C'est la différence fondamentale entre les deux régimes.

Normes

La conception des ouvrages hydrauliques doit impérativement prendre en compte le régime d'écoulement. Par exemple, la conception d'un radier de dissipation en aval d'un barrage vise à gérer le ressaut hydraulique pour éviter l'affouillement.

Formule(s)

Formule de la largeur au miroir

\[ T = b + 2my \]

Formule de la hauteur hydraulique

\[ D_h = \frac{A}{T} \]

Formule du nombre de Froude

\[ Fr = \frac{V}{\sqrt{g \cdot D_h}} \]
Hypothèses

On suppose que la vitesse \(V\) calculée à la question précédente est bien la vitesse moyenne de la section, et que la gravité \(g\) est constante.

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs suivantes pour le calcul :

  • Vitesse \(V = 1.77 \text{ m/s}\)
  • Surface mouillée \(A = 6.48 \text{ m}^2\)
  • Largeur au fond \(b = 3.0 \text{ m}\)
  • Fruit de berge \(m = 2.0\)
  • Hauteur d'eau \(y = 1.2 \text{ m}\)
  • Gravité \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)
Astuces

Pour un canal rectangulaire très large, la hauteur hydraulique \(D_h\) est quasiment égale à la hauteur d'eau \(y\). C'est une bonne approximation pour vérifier un ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)
Grandeurs pour le calcul de Froude
T = ?A = 6.48 m²V = 1.77 m/s
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la largeur au miroir T

\[ \begin{aligned} T &= 3.0 + 2 \times 2.0 \times 1.2 \\ &= 3.0 + 4.8 \\ &= 7.8 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la hauteur hydraulique \(D_h\)

\[ \begin{aligned} D_h &= \frac{A}{T} \\ &= \frac{6.48}{7.8} \\ &= 0.831 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul du nombre de Froude Fr

\[ \begin{aligned} Fr &= \frac{V}{\sqrt{g \cdot D_h}} \\ &= \frac{1.77}{\sqrt{9.81 \times 0.831}} \\ &= \frac{1.77}{\sqrt{8.152}} \\ &= \frac{1.77}{2.855} \\ &= 0.62 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison Vitesse Courant vs Vitesse Onde
Comparaison des vitessesV (courant) = 1.77 m/sc (onde) = 2.86 m/sV < c ==> Régime Fluvial
Réflexions

Le nombre de Froude est inférieur à 1 (\(0.62 < 1\)), ce qui signifie que les forces de gravité sont dominantes par rapport aux forces d'inertie. C'est un écoulement tranquille, typique des canaux d'irrigation ou de navigation. Une perturbation à l'aval (comme la fermeture partielle d'une vanne) peut influencer le niveau de l'eau vers l'amont (remous).

Points de vigilance

Ne pas confondre la hauteur d'eau \(y\) avec la hauteur hydraulique \(D_h\) dans la formule de Froude est l'erreur la plus critique à ce stade. Pour un trapèze, elles ne sont jamais égales.

Points à retenir
  • Le nombre de Froude compare la vitesse du courant à la vitesse des ondes.
  • \(Fr < 1\) \(\Rightarrow\) Régime Fluvial (subcritique).
  • \(Fr > 1\) \(\Rightarrow\) Régime Torrentiel (supercritique).
  • \(Fr = 1\) \(\Rightarrow\) Régime Critique.
Le saviez-vous ?

Le nombre de Froude n'est pas seulement utilisé en hydraulique ! En architecture navale, il sert à étudier la résistance des vagues sur la coque d'un navire. Il est aussi utilisé pour modéliser le déplacement des troupeaux d'animaux ou des bancs de poissons.

FAQ

Quelle est l'utilité de connaître le régime d'écoulement ?

C'est fondamental. Les méthodes de calcul des lignes d'eau (comment la hauteur d'eau varie le long du canal) sont complètement différentes en régime fluvial et torrentiel. De plus, la stabilité des ouvrages, le transport des sédiments et les forces exercées sur les structures en dépendent directement.

Résultat Final
Le nombre de Froude est de 0.62. L'écoulement est donc en régime fluvial (subcritique).
A vous de jouer

Si, à cause d'un rétrécissement, la vitesse de l'eau montait à 3.0 m/s (pour la même géométrie), quel serait le nouveau nombre de Froude ? Le régime changerait-il ?

Outil Interactif : Simulateur de Débit

Utilisez les curseurs pour faire varier la hauteur d'eau et la largeur du fond du canal. Observez en temps réel l'impact sur le débit et le régime d'écoulement (Nombre de Froude). Le graphique montre la relation entre la hauteur d'eau et le débit.

Paramètres d'Entrée
1.2 m
3 m
Résultats Clés
Débit (Q) - m³/s
Nombre de Froude (Fr) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente la rugosité (coefficient n) d'un canal, que se passe-t-il pour le débit, toutes choses étant égales par ailleurs ?

2. Qu'est-ce que le rayon hydraulique ?

3. Un nombre de Froude de 1.5 indique un régime :

4. Dans la formule de Manning, le débit est le plus sensible à une variation de quel paramètre ?

5. Pour un canal trapézoïdal, si la hauteur d'eau (y) augmente, comment évolue la largeur au miroir (T) ?

Nombre de Froude (Fr)
Nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces de gravité. Il permet de caractériser le régime d'écoulement (fluvial si Fr < 1, critique si Fr = 1, torrentiel si Fr > 1).
Périmètre Mouillé (P)
La longueur totale de la paroi et du fond du canal qui est en contact direct avec le fluide en écoulement.
Rayon Hydraulique (Rh)
Rapport entre la surface mouillée (A) et le périmètre mouillé (P). C'est un indicateur de l'efficacité hydraulique d'un canal.
Régime Fluvial (Subcritique)
Un régime d'écoulement lent et profond, caractérisé par un Nombre de Froude inférieur à 1. Les ondes de surface peuvent se propager vers l'amont.
Régime Torrentiel (Supercritique)
Un régime d'écoulement rapide et peu profond, caractérisé par un Nombre de Froude supérieur à 1. Les ondes de surface sont emportées vers l'aval.
Surface Mouillée (A)
La surface de la section transversale de l'écoulement du fluide, perpendiculaire à la direction du mouvement.
Analyse des Propriétés Hydrauliques

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