Analyse des Poutres Encastrées

Une poutre encastrée est un élément structurel dont les extrémités sont rigidement fixées, empêchant tout mouvement ou rotation.

Ces conditions aux limites strictes permettent aux poutres encastrées de supporter des charges significatives sans subir de déformations importantes.

Cette introduction aborde les principes fondamentaux de l’analyse des poutres encastrées, les hypothèses sous-jacentes et leur importance dans le contexte du génie civil.

Hypothèses de Base

• Homogénéité et Isotropie:

La poutre est fabriquée à partir d’un matériau uniforme dont les propriétés mécaniques sont identiques dans toutes les directions.

• Comportement Élastique:

Les matériaux de la poutre répondent à la sollicitation selon un comportement élastique, ce qui signifie qu’ils reviennent à leur forme originale après le retrait de la charge.

• Flexion Plane:

Les déformations dues à la flexion se produisent dans un seul plan, généralement le plan vertical.

• Petites Déformations:

Les déformations subies par la poutre sont suffisamment petites pour que les équations linéaires de l’élasticité soient valides.

Pour comprendre le calcul d’une Poutre encastrée et Diagramme des Moments, cliquez sur le lien.

1. Moment Fléchissant

Le moment fléchissant \( M \) quantifie l’effet de la flexion causée par des forces extérieures sur la poutre.

Cette mesure est essentielle pour l’analyse structurelle et la conception de poutres dans les constructions civiles.

Pour une poutre encastrée sous une charge uniformément répartie \( w \) et de longueur \( l \), le moment fléchissant maximal au centre de la poutre est donné par la formule :

\[ M = \frac{w \times l^2}{12} \]

Cette équation est spécifiquement dérivée pour des poutres encastrées, en tenant compte des conditions d’équilibre et des réactions aux appuis qui empêchent tout mouvement vertical ou rotation aux extrémités de la poutre. Cette formulation reflète la capacité de la poutre à résister à la flexion en ses points d’encastrement, où le moment est maximal.

2. Flèche d’une Poutre

La flèche \( \delta_{\text{max}} \) représente la déformation verticale maximale de la poutre sous l’effet d’une charge.

Pour une charge uniformément répartie, elle est calculée par:

\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5wl^4}{384EI} \]

où \( E \) est le module d’élasticité et \( I \) le moment d’inertie de la section. Ce résultat provient de l’intégration des équations de la courbure de la poutre.

3. Moment d’Inertie

Le moment d’inertie \( I \) est une mesure de la résistance d’une section à la flexion. Pour un rectangle de base \( b \) et hauteur \( h \):

\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]

Exemple Pratique

Considérons une poutre encastrée de 4 m de longueur, avec une section rectangulaire de 100 mm de base et 200 mm de hauteur, soumise à une charge répartie de 5 kN/m.

• Moment fléchissant maximal (M):

Pour une poutre encastrée, le moment fléchissant maximal est au centre de la poutre et se calcule avec la formule:

\[ M = \frac{q \times L^2}{12} \]

En substituant les valeurs :

\[ M = \frac{5 \, \text{kN/m} \times (4 \, \text{m})^2}{12} \] \[ M = \frac{5 \times 16}{12} \] \[ M = \frac{80}{12} \] \[ M \approx 6.67 \, \text{kNm} \]

• Moment d’inertie (I):

Le moment d’inertie pour une section rectangulaire est calculé par :

\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]

où \(b\) est la largeur de la section et \(h\) est la hauteur.

En substituant les valeurs :

\[ I = \frac{0.1 \, \text{m} \times (0.2 \, \text{m})^3}{12} \] \[ I = \frac{0.1 \times 0.008}{12} \] \[ I = 6.67 \times 10^{-5} \, \text{m}^4 \]

• Flèche maximale (\(\delta_{max}\)):

Pour une poutre encastrée sous une charge répartie uniforme, la flèche maximale est calculée par la formule :

\[ \delta_{max} = \frac{5 \times q \times L^4}{384 \times E \times I} \]

En utilisant les valeurs, nous avons :

\[ \delta_{max} = \frac{5 \times 5 \, \text{kN/m} \times (4 \, \text{m})^4}{384 \times E \times 6.67 \times 10^{-5} \, \text{m}^4} \] \[ \delta_{max} = \frac{5 \times 5 \times 256}{384 \times E \times 6.67 \times 10^{-5}} \]

Cette expression pour \(\delta_{max}\) dépend du module d’élasticité \(E\), qui est une propriété matérielle spécifique que vous devez fournir pour compléter le calcul.

Conclusion

Les poutres encastrées sont essentielles dans les structures modernes, permettant des conceptions robustes face à des charges importantes.

La compréhension des principes de mécanique des matériaux est cruciale pour analyser correctement ces éléments structuraux.

Analyse des Poutres Encastrées

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