Analyse des Contraintes par le Cercle de Mohr

Comprendre l’Analyse des Contraintes par le Cercle de Mohr

Dans le cadre d’un projet de génie civil, un ingénieur doit analyser les contraintes dans une poutre en béton armé soumise à diverses charges. La section considérée est soumise à des contraintes normales et des contraintes de cisaillement. Pour évaluer l’état de contrainte en un point spécifique de cette section, l’ingénieur doit utiliser le cercle de Mohr.

Creation de Cercle de Mohr : Exercice – Corrigé, cliquez sur le lien.

Données:

Les contraintes en un point donné de la poutre sont les suivantes :

Contrainte normale dans la direction \( x \) : \(\sigma_x = 30 \, \text{MPa}\)
Contrainte normale dans la direction \( y \) : \(\sigma_y = -20 \, \text{MPa}\) (compression)
Contrainte de cisaillement dans le plan \( xy \) : \(\tau_{xy} = 15 \, \text{MPa}\)

Questions:

1. Tracer le cercle de Mohr pour les contraintes données.

2. Déterminer les contraintes principales (maximales et minimales).

3. Déterminer les plans principaux (les orientations des plans où les contraintes de cisaillement sont nulles).

4. Calculer la contrainte de cisaillement maximale dans le matériau.

Correction : Analyse des Contraintes par le Cercle de Mohr

1. Tracé du cercle de Mohr

a) Calcul du centre du cercle

Le centre \(C\) du cercle de Mohr se trouve par :

\[ C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \]

Données :

\(\sigma_x = 30\) MPa
\(\sigma_y = -20\) MPa.

Calcul :

\[ C = \frac{30 + (-20)}{2} \] \[ C = \frac{10}{2} = 5 \, \text{MPa} \]

Le centre du cercle est donc situé en \((5,\,0)\) sur le repère \((\sigma,\,\tau)\).

b) Calcul du rayon du cercle

Le rayon \(R\) du cercle est donné par :

\[ R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x – \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \]

Calcul intermédiaire :

\[ \frac{\sigma_x – \sigma_y}{2} = \frac{30 – (-20)}{2} = \frac{50}{2} = 25 \, \text{MPa} \]

Calcul du rayon :

\[ R = \sqrt{25^2 + 15^2} \] \[ R = \sqrt{625 + 225} \] \[ R = \sqrt{850} \approx 29{,}15 \, \text{MPa} \]

c) Construction graphique

Centre du cercle : \((5,\,0)\)
Rayon du cercle : \(R \approx 29{,}15\) MPa

Les points représentant l’état de contrainte sur les plans \(x\) et \(y\) sont :

Pour la face \(x\) : \(A(\sigma_x,\,\tau_{xy}) = (30,\,15)\)
Pour la face \(y\) : \(B(\sigma_y,\,-\tau_{xy}) = (-20,\,-15)\)

Ces deux points se trouvent sur le cercle de Mohr que vous tracez avec un centre à \( (5, 0) \) et un rayon d’environ 29,15 MPa.

Analyse des Contraintes par le Cercle de Mohr

2. Détermination des contraintes principales

Les contraintes principales, \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\), sont les extrémités du diamètre horizontal du cercle et se calculent par :

\[ \sigma_{1,2} = C \pm R \]

Calcul :

Contrainte principale maximale :

\[ \sigma_1 = 5 + 29{,}15 \approx 34{,}15 \, \text{MPa} \]

Contrainte principale minimale :

\[ \sigma_2 = 5 – 29{,}15 \approx -24{,}15 \, \text{MPa} \]

Conclusion :
Les contraintes principales sont :

\(\sigma_1 \approx 34{,}15\) MPa (maximale)
\(\sigma_2 \approx -24{,}15\) MPa (minimale)

3. Détermination des plans principaux (orientations où le cisaillement est nul)

Les plans principaux correspondent aux orientations pour lesquelles la contrainte de cisaillement est nulle. L’angle \(\theta_p\) (mesuré dans l’élément de matériau, c’est-à-dire l’angle de rotation par rapport à l’axe \(x\)) est donné par :

\[ \tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x – \sigma_y} \]

Données :

\(\tau_{xy} = 15\) MPa
\(\sigma_x – \sigma_y = 30 – (-20) = 50\) MPa

Calcul :

\[ \tan(2\theta_p) = \frac{2 \times 15}{50} = \frac{30}{50} = 0,6 \] \[ 2\theta_p = \arctan(0,6) \approx 31^\circ \] \[ \theta_p \approx \frac{31^\circ}{2} \approx 15{,}5^\circ \]

Conclusion :

Le plan sur lequel agit la contrainte principale maximale \(\sigma_1\) est orienté d’environ \(15{,}5^\circ\) par rapport à l’axe \(x\).
Le plan orthogonal (à \(15{,}5^\circ + 90^\circ \approx 105{,}5^\circ\)) correspond à la contrainte principale minimale \(\sigma_2\).

4. Calcul de la contrainte de cisaillement maximale

La contrainte de cisaillement maximale \(\tau_{\text{max}}\) est égale au rayon \(R\) du cercle de Mohr.

\[ \tau_{\text{max}} = R \approx 29{,}15 \, \text{MPa} \]

Résumé des résultats

Cercle de Mohr :

Centre : \( (5,\,0) \)
Rayon : \( \approx 29{,}15 \) MPa
Points sur le cercle : \( (30,\,15) \) et \( (-20,\,-15) \)

Contraintes principales :

\(\sigma_1 \approx 34{,}15\) MPa (maximale)
\(\sigma_2 \approx -24{,}15\) MPa (minimale)

Plans principaux :

Orientation du plan de \(\sigma_1\) : \(\theta_p \approx 15{,}5^\circ\) par rapport à l’axe \(x\)
Orientation du plan de \(\sigma_2\) : perpendiculaire, soit \(15{,}5^\circ + 90^\circ \approx 105{,}5^\circ\)

Contrainte de cisaillement maximale :