Analyse de l’Écoulement dans une Conduite

Comprendre l’analyse de l’Écoulement dans une Conduite

Une conduite d’eau horizontale de diamètre D = 0.5 m et de longueur L = 100 m transporte de l’eau à une température de 20°C. La viscosité cinématique de l’eau à cette température est \(\nu = 1 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\) La vitesse moyenne de l’eau dans la conduite est de 2 m/s.

Questions :

1. Calcul du nombre de Reynolds : Déterminez si l’écoulement dans la conduite est laminaire ou turbulent en calculant le nombre de Reynolds (Re).

2. Calcul de la perte de charge linéaire : Si l’écoulement est turbulent, utilisez la formule de Darcy-Weisbach pour calculer la perte de charge linéaire (h_f). Utilisez un coefficient de friction (f) estimé pour un écoulement turbulent dans une conduite lisse.

3. Impact d’un changement de diamètre : Supposons que la conduite se rétrécit jusqu’à un diamètre de 0.3 m sur une section de 30 m. Calculez le nouveau nombre de Reynolds et la nouvelle vitesse de l’eau dans cette section. Discutez de l’impact de ce changement sur le régime d’écoulement et la perte de charge.

4. Analyse des résultats : Interprétez les résultats obtenus en termes de régime d’écoulement et d’efficacité du système de conduite. Discutez des implications pratiques de ces résultats pour la conception et l’exploitation des systèmes de conduites hydrauliques.

Correction : analyse de l’Écoulement dans une Conduite

1. Calcul du nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds (Re) permet de déterminer le régime d’écoulement (laminaire ou turbulent). Il est défini par la formule :

\[ \text{Re} = \frac{U \times D}{\nu} \]

où :

\(U\) est la vitesse moyenne de l’écoulement (m/s),
\(D\) est le diamètre de la conduite (m),
\(\nu\) est la viscosité cinématique (m\(^2\)/s).

Données

\(U = 2\) m/s,
\(D = 0.5\) m,
\(\nu = 1\times 10^{-6}\) m\(^2\)/s.

Calcul

\[ \text{Re} = \frac{2 \text{ m/s} \times 0.5 \text{ m}}{1\times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s}} \] \[ \text{Re} = \frac{1 \text{ m}^2/\text{s}}{1\times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s}} \] \[ \text{Re} = 1\times 10^6 \]

Résultat

Le nombre de Reynolds est de 1 000 000, ce qui indique un écoulement turbulent (puisque Re > 4000).

2. Calcul de la perte de charge linéaire

Pour un écoulement turbulent dans une conduite, la perte de charge linéaire (\(h_f\)) peut être estimée en utilisant la formule de Darcy-Weisbach :

\[ h_f = f \times \left(\frac{L}{D}\right) \times \left(\frac{U^2}{2g}\right) \]

où :

\(f\) est le coefficient de friction (sans unité),
\(L\) est la longueur de la conduite (m),
\(D\) est le diamètre de la conduite (m),
\(U\) est la vitesse moyenne (m/s),
\(g\) est l’accélération de la pesanteur (≈ 9,81 m/s\(^2\)).

Le coefficient de friction pour un écoulement turbulent dans une conduite lisse peut être estimé à \(f = 0.02\) (valeur typique).

Données

\(f = 0.02\),
\(L = 100\) m,
\(D = 0.5\) m,
\(U = 2\) m/s,
\(g = 9,81\) m/s\(^2\).

Calcul

1. Calcul du rapport \(L/D\) :

\[ L/D = \frac{100 \text{ m}}{0.5 \text{ m}} = 200 \]

2. Calcul de \(U^2/(2g)\) :

\[ U^2 = (2 \text{ m/s})^2 = 4 \text{ m}^2/\text{s}^2 \]
\[ 2g = 2 \times 9,81 \text{ m/s}^2 = 19,62 \text{ m/s}^2 \]
\[ \frac{U^2}{2g} = \frac{4}{19,62} \approx 0,2039 \text{ m} \]

3. Calcul de \(h_f\) :

\[ h_f = 0.02 \times 200 \times 0,2039 \] \[ h_f = 4 \times 0,2039 \] \[ h_f \approx 0,8156 \text{ m} \]

Résultat

La perte de charge linéaire dans la conduite est d’environ 0,82 m.

3. Impact d’un changement de diamètre

La conduite se rétrécit sur une section de 30 m, passant d’un diamètre initial de 0.5 m à un diamètre réduit de 0.3 m. L’objectif est de calculer le nouveau nombre de Reynolds et la nouvelle vitesse dans cette section, puis d’évaluer l’impact sur le régime d’écoulement et la perte de charge.

3.1. Détermination de la nouvelle vitesse (\(U_{\text{new}}\))

Le débit volumique (\(Q\)) est conservé dans une conduite (principe de continuité). Le débit s’exprime par :

\[ Q = A \times U \]

où \(A\) est la section de la conduite (\(A = (\pi/4)\cdot D^2\)). On a d’abord calculé \(Q\) dans la section initiale, puis on en déduit la nouvelle vitesse dans la section rétrécie.

Calcul du débit \(Q\) dans la conduite initiale

Section initiale :

\[ A_1 = \frac{\pi}{4} \times (0.5 \text{ m})^2 \] \[ A_1 = \frac{\pi}{4} \times 0,25 \] \[ A_1 \approx 0,19635 \text{ m}^2 \]

Débit :

\[ Q = A_1 \times U \] \[ Q = 0,19635 \text{ m}^2 \times 2 \text{ m/s} \] \[ Q = 0,3927 \text{ m}^3/\text{s} \]

Calcul de la nouvelle vitesse \(U_{\text{new}}\) dans la section rétrécie

Section rétrécie :

\[ A_2 = \frac{\pi}{4} \times (0.3 \text{ m})^2 \] \[ A_2 = \frac{\pi}{4} \times 0,09 \] \[ A_2 \approx 0,0706858 \text{ m}^2 \]

Nouvelle vitesse :

\[ U_{\text{new}} = \frac{Q}{A_2} \] \[ U_{\text{new}} = \frac{0,3927 \text{ m}^3/\text{s}}{0,0706858 \text{ m}^2} \] \[ U_{\text{new}} \approx 5,556 \text{ m/s} \]

3.2. Calcul du nouveau nombre de Reynolds (\(\text{Re}_{\text{new}}\))

Formule

\[ \text{Re}_{\text{new}} = \frac{U_{\text{new}} \times D_{\text{new}}}{\nu} \]

Données

\(U_{\text{new}} \approx 5,556\) m/s,
\(D_{\text{new}} = 0,3\) m,
\(\nu = 1\times 10^{-6}\) m\(^2\)/s.

Calcul

\[ \text{Re}_{\text{new}} = \frac{5,556 \text{ m/s} \times 0,3 \text{ m}}{1\times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s}} \] \[ \text{Re}_{\text{new}} = \frac{1,6668 \text{ m}^2/\text{s}}{1\times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s}} \] \[ \text{Re}_{\text{new}} \approx 1,67\times 10^6 \]

3.3. Calcul de la perte de charge dans la section rétrécie

Formule (Darcy-Weisbach)

\[ h_{f,\text{new}} = f \times \left(\frac{L_{\text{new}}}{D_{\text{new}}}\right) \times \left(\frac{U_{\text{new}}^2}{2g}\right) \]

Données

\(f = 0.02\) (même estimation que précédemment),
\(L_{\text{new}} = 30\) m,
\(D_{\text{new}} = 0.3\) m,
\(U_{\text{new}} \approx 5,556\) m/s,
\(g = 9,81\) m/s\(^2\).

Calcul

1. Calcul du rapport \(L_{\text{new}}/D_{\text{new}}\) :

\[ \frac{L_{\text{new}}}{D_{\text{new}}} = \frac{30 \text{ m}}{0,3 \text{ m}} = 100 \]

2. Calcul de \(\frac{U_{\text{new}}^2}{2g}\) :

\[ U_{\text{new}}^2 = (5,556 \text{ m/s})^2 \approx 30,86 \text{ m}^2/\text{s}^2 \]
\[ 2g = 19,62 \text{ m/s}^2 \]
\[ \frac{U_{\text{new}}^2}{2g} \approx \frac{30,86}{19,62} \approx 1,572 \text{ m} \]

3. Calcul de \(h_{f,\text{new}}\) :

\[ h_{f,\text{new}} = 0.02 \times 100 \times 1,572 \] \[ h_{f,\text{new}} = 2 \times 1,572 \] \[ h_{f,\text{new}} \approx 3,144 \text{ m} \]

Résultats dans la section rétrécie

Nouvelle vitesse \(U_{\text{new}} \approx \textbf{5,56 m/s}\),
Nouveau nombre de Reynolds \(\text{Re}_{\text{new}} \approx \textbf{1,67}\times 10^6\) (toujours turbulent),
Perte de charge \(h_{f,\text{new}} \approx \textbf{3,14 m}\).

4. Analyse des résultats

Régime d’écoulement

Conduite initiale :
- Avec un nombre de Reynolds de 1×10⁶, l’écoulement est clairement turbulent.
Section rétrécie :
- Le nombre de Reynolds passe à environ 1,67×10⁶ en raison de l’augmentation de la vitesse. L’écoulement reste donc turbulent.

Impact sur la perte de charge

Conduite initiale (100 m, D = 0.5 m) :
- La perte de charge est d’environ 0,82 m.
Section rétrécie (30 m, D = 0.3 m) :
- La perte de charge augmente sensiblement pour atteindre environ 3,14 m.
- Cette augmentation s’explique par la relation directe de la perte de charge avec le carré de la vitesse et l’inverse du diamètre : la contraction entraîne une accélération de l’écoulement et par conséquent une plus grande dissipation d’énergie par frottement.

Implications pratiques pour la conception

Efficacité du système :
- Une augmentation de la perte de charge signifie que la pompe devra fournir une énergie supplémentaire pour compenser cette chute de pression.
Usure et érosion :
- Les vitesses plus élevées dans la section rétrécie peuvent accroître l’érosion interne de la conduite.
Dimensionnement des conduites :
- Lors de la conception de systèmes hydrauliques, il est crucial de prendre en compte non seulement le diamètre nominal, mais également les variations (rétrécissements ou élargissements) qui peuvent entraîner des pertes de charge supplémentaires et affecter l’efficacité globale du système.