Calcul l’indice des vides final

Comprendre le calcul l’indice des vides final

Vous travaillez sur un projet de construction d’une route dans une région à sol argileux. Avant de commencer la construction, il est essentiel de comprendre les propriétés du sol, notamment son indice des vides.

Pour comprendre le calcul de la Masse Volumique et Saturation des Sols, cliquez sur le lien.

Données de l’exercice :

Densité initiale du sol, \(ρ_{ini}\) : 1,8 g/cm³
Teneur en eau initiale, \(w_{ini}\) : 20%
Densité des particules solides, ρs : 2,65 g/cm³
Chargement supplémentaire appliqué : 200 kPa
Coefficient de compressibilité, av : 0,5 Mpa⁻¹
Épaisseur initiale de la couche de sol, \(H_{ini}\) : 2 m

Objectif de l’exercice : Calculer l’indice des vides final \((e_{\text{final}})\) du sol après l’application du chargement supplémentaire.

Questions :

1. Calculez l’indice des vides initial du sol \((e_{\text{ini}})\).

2. Déterminez le tassement du sol (ΔH) dû au chargement supplémentaire.

3. Calculez l’indice des vides final du sol \((e_{\text{final}})\) après le chargement.

Correction : calcul l’indice des vides final

1. Calcul de l’indice des vides initial \(\mathbf{(e_{\text{ini}})}\)

L’indice des vides \(e\) est défini comme le rapport du volume des vides \(V_v\) sur le volume des solides \(V_s\) :

\[ e = \frac{V_v}{V_s} = \frac{V_{\text{tot}} – V_s}{V_s} \]

Une relation très pratique qui lie l’indice des vides, la densité du sol, la densité des solides et la teneur en eau est donnée par :

\[ \rho = \frac{\rho_s (1+w)}{1+e} \]

En isolant \(e\), on obtient :

\[ e = \frac{\rho_s (1+w)}{\rho} – 1 \]

Substitution des données et calcul:

On a :

\(\rho_s = 2{,}65\; \text{g/cm}^3\),
\(w_{\text{ini}} = 0{,}20\) (car \(20\%\)),
\(\rho_{\text{ini}} = 1{,}8\; \text{g/cm}^3\).

Remplaçons dans la formule :

\[ e_{\text{ini}} = \frac{2{,}65 \times (1+0{,}20)}{1{,}8} – 1 \]

Calculons \(1+0{,}20 = 1{,}20\) puis :

\[ e_{\text{ini}} = \frac{2{,}65 \times 1{,}20}{1{,}8} – 1 \] \[ e_{\text{ini}} = \frac{3{,}18}{1{,}8} – 1 \] \[ e_{\text{ini}} \approx 1{,}7667 – 1 \] \[ e_{\text{ini}} = 0{,}7667 \]

On peut arrondir à :

\[ e_{\text{ini}} \approx 0{,}77 \]

2. Calcul du tassement du sol \(\mathbf{(\Delta H)}\)

Le tassement (ou déformation verticale) est souvent évalué à partir du coefficient de compressibilité. Dans cet exercice, on considère que la déformation verticale (strain) due au chargement supplémentaire est donnée par :

\[ \varepsilon_v = a_v \times \Delta \sigma \]

Le tassement absolu \(\Delta H\) s’obtient alors en multipliant la déformation par l’épaisseur initiale du sol :

\[ \Delta H = H_{\text{ini}} \times \varepsilon_v \] \[ \Delta H = H_{\text{ini}} \times a_v \times \Delta \sigma \]

Substitution des données et calcul

Avec :

\(H_{\text{ini}} = 2\; \text{m}\),
\(a_v = 0{,}5\; \text{MPa}^{-1}\),
\(\Delta \sigma = 0{,}2\; \text{MPa}\).

Calculons :

\[ \Delta H = 2 \times 0{,}5 \times 0{,}2 \] \[ \Delta H = 2 \times 0{,}1 \] \[ \Delta H = 0{,}2\; \text{m} \]

Le tassement est donc de :

\[ \Delta H = 0{,}2\; \text{m} \]

3. Calcul de l’indice des vides final \(\mathbf{(e_{\text{final}})}\)

Après l’application du chargement supplémentaire, la couche de sol se tasse et son épaisseur diminue. On suppose ici que l’aire au sol reste constante et que le volume des solides \(V_s\) ne change pas.

Volume initial du sol :

\[ V_{\text{ini}} = H_{\text{ini}} \times A \]

Volume final du sol :

\[ V_{\text{final}} = (H_{\text{ini}} – \Delta H) \times A = H_{\text{final}} \times A \]

avec \(H_{\text{final}} = H_{\text{ini}} – \Delta H\).

Le volume des solides reste constant et vaut :

\[ V_s = \frac{V_{\text{ini}}}{1+e_{\text{ini}}} \]

L’indice des vides final se calcule alors par :

\[ e_{\text{final}} = \frac{V_{\text{final}} – V_s}{V_s} = \frac{V_{\text{final}}}{V_s} – 1 \]

En remplaçant \(V_{\text{final}} = H_{\text{final}} \times A\) et \(V_{\text{ini}} = H_{\text{ini}} \times A\), on obtient :

\[ \frac{V_{\text{final}}}{V_s} = \frac{H_{\text{final}} \times A}{\frac{H_{\text{ini}} \times A}{1+e_{\text{ini}}}} = \frac{H_{\text{final}}}{H_{\text{ini}}}(1+e_{\text{ini}}) \]

D’où :

\[ e_{\text{final}} = \left(\frac{H_{\text{final}}}{H_{\text{ini}}}(1+e_{\text{ini}})\right) – 1 \]

Substitution des données et calcul

On a calculé précédemment :

\(e_{\text{ini}} \approx 0{,}77\)
\(H_{\text{ini}} = 2\; \text{m}\)
\(\Delta H = 0{,}2\; \text{m}\),

Donc :

\[ H_{\text{final}} = H_{\text{ini}} – \Delta H \] \[ H_{\text{final}} = 2 – 0{,}2 = 1{,}8\; \text{m} \]

En remplaçant dans la formule :

\[ e_{\text{final}} = \left(\frac{1{,}8}{2} \times (1+0{,}77)\right) – 1 \] \[ e_{\text{final}} = 1{,}593 – 1 \] \[ e_{\text{final}}= 0{,}593 \]

On peut arrondir à :

\[ e_{\text{final}} \approx 0{,}59 \]

Calcul l’indice des vides final

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