Tension maximale dans le tirant
📝 Situation du Projet
Dans le cadre de la réhabilitation de la grande Halle Saint-Lazare, un bâtiment industriel historique datant du début du XXe siècle, notre bureau d'études a été mandaté pour vérifier la capacité portante de la charpente métallique existante. La structure principale est constituée de fermes treillis (système triangulé) reposant sur des murs en maçonnerie porteurs. Afin de neutraliser les poussées horizontales qui pourraient déstabiliser ces murs et provoquer leur effondrement vers l'extérieur, des tirants métalliques horizontaux relient les pieds de chaque ferme.
Suite à une mise à jour des normes climatiques (Eurocode 1) et à l'ajout prévu d'une isolation en toiture, les charges de neige et permanentes ont été réévaluées à la hausse. Il est impératif de confirmer que les tirants d'origine, des barres rondes en acier doux, sont capables de résister à ces nouvelles sollicitations de traction pure sans atteindre leur limite de rupture (ELU) ni subir un allongement excessif (ELS) qui pourrait fissurer les plafonds suspendus envisagés.
En tant qu'Ingénieur Structure Confirmé, vous devez mener la vérification normative complète du tirant principal T1. Vous déterminerez les contraintes internes, le coefficient de sécurité réel sous les nouvelles charges pondérées, et l'allongement élastique total de la barre.
"Attention, il s'agit d'un élément critique de sécurité (Redondance nulle). Si ce tirant cède, les murs s'écartent et la toiture s'effondre. Ne prenez aucune marge sur les coefficients partiels de sécurité du matériau."
L'étude technique détaillée s'appuie sur une campagne de relevés dimensionnels effectuée in situ par télémétrie laser, ainsi que sur l'identification métallurgique des aciers en place par spectrométrie à fluorescence X portative. Ces investigations ont permis de figer les paramètres d'entrée du modèle de calcul avec une haute précision, indispensable pour un diagnostic de sécurité publique.
📚 Référentiel Normatif & Hypothèses
La vérification est conduite selon les principes des États Limites (EL) définis par les Eurocodes structurels. Bien que le bâtiment soit ancien, la réglementation actuelle impose de vérifier la non-ruine selon les critères modernes, plus sévères que les règles de l'époque (CM66).
Eurocode 0 (Bases de calcul) Eurocode 3 (Acier - EN 1993-1-1)Le tirant est constitué d'une barre lisse en acier doux de nuance S235 (anciennement E24), très courant dans les constructions rivetées/boulonnées du début du siècle. La longueur utile considérée correspond à l'entraxe exact entre les nœuds d'attache sur les arbalétriers. Le diamètre a été vérifié au pied à coulisse après décapage des couches de peinture au plomb : aucune corrosion signicative n'affecte la section résistante.
| GÉOMÉTRIE RELEVÉE | |
| Longueur libre entre axes d'attache | \( L = 12,00 \text{ m} \) |
| Diamètre nominal de la section courante | \( d = 20 \text{ mm} \) |
| PROPRIÉTÉS MÉCANIQUES (ACIER S235JR) | |
| Limite d'élasticité garantie | \( f_{\text{y}} = 235 \text{ MPa} \) |
| Module d'Young (Rigidité) | \( E = 210\,000 \text{ MPa} \) |
| Coefficient partiel de sécurité (Matériau) | \( \gamma_{\text{M0}} = 1,0 \) |
📐 Modélisation Mécanique
Pour les besoins du calcul manuel, le tirant est idéalisé comme une barre bi-articulée travaillant exclusivement en traction axiale. Nous négligeons à ce stade les effets de second ordre (poids propre générant une chaînette) ainsi que les moments parasites aux encastrements, considérant que l'effort normal est prépondérant pour la tenue de l'ouvrage.
⚖️ Descente de Charges (Sollicitations)
L'effort normal de calcul \(N_{\text{Ed}}\) résulte d'une combinaison de charges pondérée à l'État Limite Ultime (ELU), incluant le poids propre de la nouvelle couverture isolée (G) et la surcharge climatique de neige extrême (Q) propre à la région d'implantation (Zone C1).
Nota : Cet effort est une donnée d'entrée issue de la note de calcul globale de la charpente.
E. Protocole de Résolution
Pour garantir la stabilité de l'ouvrage, nous allons procéder selon une méthode déductive rigoureuse, partant de la géométrie pour arriver à la vérification normative finale.
Calcul Géométrique
Détermination de la section résistante brute \( A \) disponible pour encaisser l'effort.
Calcul de la Contrainte Normale
Évaluation de l'intensité des forces internes \( \sigma \) sous la charge de projet.
Vérification ELU (Critère de Rupture)
Comparaison de la contrainte ou de l'effort admissible avec la limite élastique de l'acier.
Vérification ELS (Déformation)
Calcul de l'allongement total \( \Delta L \) pour valider la compatibilité avec les éléments architecturaux.
Tension maximale dans le tirant
🎯 Objectif Détaillé
Dans toute analyse de résistance des matériaux (RDM), la première étape consiste systématiquement à quantifier la géométrie de la pièce étudiée. Ici, notre objectif est de déterminer avec précision la section transversale brute (A) du tirant. C'est cette surface de matière qui va directement s'opposer à l'effort de traction. Plus la surface est grande, plus la contrainte interne sera faible pour un même effort. Nous devons transformer une donnée dimensionnelle linéaire (le diamètre \(d\)) en une donnée surfacique (l'aire \(A\)) exploitable pour les calculs de contrainte.
📚 Référentiel
- Géométrie Euclidienne : Calculs d'aires de figures simples (disque).
- ISO 80000-1 : Système international d'unités (utilisation du mm et mm²).
Nous sommes face à une barre cylindrique pleine. La coupe perpendiculaire à l'axe longitudinal est donc un disque parfait. Bien que le calcul semble élémentaire, il est la fondation de toute la note de calcul. Une erreur ici se propagerait linéairement à tous les résultats ultérieurs (contrainte, résistance, déformation).
Stratégie : Nous allons utiliser la formule classique de l'aire d'un disque. Cependant, par convention en génie civil et construction métallique, nous privilégions l'expression utilisant le diamètre (\(d\)) plutôt que le rayon (\(r\)), car c'est le diamètre qui est mesuré sur chantier et spécifié dans les catalogues fournisseurs. De plus, nous travaillerons exclusivement en millimètres (mm) pour obtenir une aire en mm², ce qui simplifiera considérablement le passage aux contraintes en MégaPascals (1 MPa = 1 N/mm²).
En RDM, la section transversale \(A\) est l'intersection de la poutre avec un plan perpendiculaire à sa ligne moyenne. Pour une pièce soumise à de la traction pure, on considère que la contrainte est uniforme sur toute cette section (Hypothèse de Navier-Bernoulli). La capacité de la pièce à résister est donc directement proportionnelle à cette aire \(A\). Si l'aire double, la résistance double.
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Diamètre nominal de la barre | \(d\) | \( 20 \) | \( \text{mm} \) |
Évitez de convertir le diamètre en mètres (\( 0,02 \text{ m} \)). Cela donnerait une aire en \( \text{m}^2 \) très petite (ex: \( 0,000314 \text{ m}^2 \)), difficile à manipuler et source d'erreurs de puissance de 10 lors de la conversion en contrainte. Restez en mm et mm², c'est le standard de la profession.
📝 Calcul Détaillé
Nous remplaçons \(d\) par \( 20 \text{ mm} \) dans la formule. Nous effectuons le calcul pas à pas pour vérifier l'ordre de grandeur.
Calcul de l'aire A :Interprétation Post-Calcul : La barre de \( 20 \text{ mm} \) de diamètre offre une surface de matière d'environ \( 314 \text{ mm}^2 \) pour répartir l'effort. Nous arrondirons à \( 314,16 \text{ mm}^2 \) pour la suite des calculs par souci de précision.
✅ Interprétation Globale
Nous avons établi la caractéristique géométrique fondamentale du tirant. Cette valeur de \( 314,16 \text{ mm}^2 \) est la "ressource" disponible pour combattre la charge. Si cette surface est trop petite, la contrainte explosera. Si elle est suffisante, la structure tiendra.
Vérifions mentalement : Pour une barre de \( 10 \text{ mm} \) (rayon \( 5 \text{ mm} \)), l'aire est \( 25\pi \approx 75 \text{ mm}^2 \). Pour \( 20 \text{ mm} \) (double diamètre), l'aire doit être quadruplée (\( 2^2 = 4 \)). \( 78 \times 4 = 312 \). Notre résultat de \( 314,16 \) est donc parfaitement cohérent.
Attention si le tirant comportait un filetage (pas de vis). Dans ce cas, il faudrait utiliser la section "résistante" ou "noyau" du filetage, qui est plus faible que la section brute. Ici, l'énoncé précise une barre lisse et nous vérifions la partie courante, donc nous prenons le diamètre nominal complet.
🎯 Objectif Détaillé
L'objectif de cette étape est de calculer la "pression" interne que subit le matériau. L'effort total de \( 65 \text{ kN} \) est une force externe. Pour savoir si l'acier va résister, nous devons ramener cette force à l'échelle microscopique, c'est-à-dire calculer la force par unité de surface. C'est ce qu'on appelle la contrainte normale, notée \(\sigma\) (sigma). C'est cette valeur qui sera directement comparable à la résistance intrinsèque du matériau (limite élastique).
📚 Référentiel
- Théorie des Poutres : Définition de la contrainte normale uniforme.
- Eurocode 3 (EN 1993-1-1) : Notation et unités standards pour les structures métalliques.
Nous supposons que l'effort est parfaitement centré (pas de moment de flexion parasite). Dans ces conditions, la contrainte est constante sur toute la section : chaque \( \text{mm}^2 \) de métal "porte" la même part de l'effort total. Le calcul est donc une simple division : Force / Surface.
Stratégie Critique sur les Unités : C'est ici que se joue la justesse du calcul. L'effort \(N_{\text{Ed}}\) est fourni en kiloNewtons (kN), l'unité usuelle des charges de bâtiment. Or, la résistance de l'acier est donnée en MégaPascals (MPa), qui équivaut à des N/mm². Pour pouvoir diviser des pommes par des poires, nous DEVONS impérativement convertir les kN en Newtons (N) avant de diviser par des mm². Ne pas le faire conduirait à un résultat 1000 fois trop petit !
La contrainte normale \(\sigma\) exprime l'intensité des forces de cohésion internes qui maintiennent les atomes du matériau ensemble face à l'effort extérieur qui tente de les séparer (traction). Elle s'exprime en Pascals (Pa), mais en RDM, les valeurs sont si élevées qu'on utilise le MégaPascal (MPa).
La contrainte est le rapport de l'effort normal \(N_{\text{Ed}}\) sur l'aire de la section \(A\).
Conditions d'application : \(N_{\text{Ed}}\) doit être en Newtons [N] et \(A\) en [mm²]. Le résultat sera en [MPa].
Détail de la Démarche & DérivationAnalyse dimensionnelle (Preuve des unités) : La formule est \( \sigma = \frac{F}{S} \). Si F est en Newtons [N] et S en millimètres carrés [mm²], alors le rapport est en \( \frac{\text{N}}{\text{mm}^2} \). Or, \( 1 \text{ Pa} = 1 \text{ N/m}^2 \). Comme \( 1 \text{ m}^2 = 10^6 \text{ mm}^2 \), alors :
C'est pourquoi il est impératif de convertir les kN en N (\(\times 1000\)) avant le calcul.
Étape 1 : Données et Conversion
| Paramètre | Valeur Initiale | Opération | Valeur Convertie (SI) |
|---|---|---|---|
| Effort Normal (\(N_{\text{Ed}}\)) | \( 65 \text{ kN} \) | \( \times 1000 \) | \( 65\,000 \text{ N} \) |
| Aire de la section (\(A\)) | \( 314,16 \text{ mm}^2 \) | - | \( 314,16 \text{ mm}^2 \) |
Pour diviser mentalement \( 65\,000 \) par \( 314 \), arrondissez l'aire à \( 300 \). \( 65\,000 / 300 \) revient à \( 650 / 3 \approx 216 \). Si votre calculatrice affiche \( 0,2 \) ou \( 200\,000 \), vous saurez immédiatement que vous avez fait une erreur d'unité. Le résultat doit être proche de \( 200 \).
📝 Calcul Détaillé
Nous divisons maintenant l'effort en Newtons par l'aire en mm².
Application numérique :Interprétation Post-Calcul : La contrainte de travail est d'environ \( 207 \text{ MPa} \). Cela signifie que chaque millimètre carré de la section de la barre subit une traction équivalente à une masse d'environ \( 21 \text{ kg} \) suspendue à ce seul \( \text{mm}^2 \).
✅ Interprétation Globale
Nous avons quantifié la sévérité de la charge pour le matériau. Cette valeur de \( 206,9 \text{ MPa} \) est élevée mais semble réaliste pour de l'acier de construction. Elle servira de base à la vérification de rupture.
Les aciers de construction courants (S235, S355) ont des résistances comprises entre \( 200 \) et \( 400 \text{ MPa} \). Trouver une contrainte de \( 207 \text{ MPa} \) est donc tout à fait dans l'ordre de grandeur attendu. Si nous avions trouvé \( 0,2 \text{ MPa} \) (erreur de conversion kN) ou \( 200\,000 \text{ MPa} \) (erreur d'unité m²), nous aurions dû nous alarmer.
Ne confondez jamais MPa (MégaPascal) et Pa (Pascal). \( 1 \text{ MPa} = 1\,000\,000 \text{ Pa} \). En construction métallique, on ne parle qu'en MPa ou en daN/mm² (ancienne unité, \( 1 \text{ daN/mm}^2 = 10 \text{ MPa} \)).
🎯 Objectif Détaillé
C'est l'heure de vérité (ou le "crash test" numérique). Nous devons déterminer si le tirant va tenir ou rompre sous la charge extrême (ELU). Pour cela, nous allons confronter la "Demande" (l'effort appliqué \(N_{\text{Ed}}\)) à la "Capacité" (l'effort résistant \(N_{\text{pl,Rd}}\)) de l'élément. L'objectif est de calculer le taux d'utilisation de la barre : à quel pourcentage de sa capacité maximale travaillons-nous ?
📚 Référentiel
- Eurocode 3 (EN 1993-1-1, Art 6.2.3) : Vérification des barres tendues.
- Critère de Von Mises : Pour la traction uniaxiale, équivalent à \(\sigma \le f_{\text{y}}\).
Nous utilisons de l'acier S235. Le chiffre "235" indique sa limite d'élasticité \(f_{\text{y}}\) en MPa. Tant que la contrainte reste inférieure à \( 235 \text{ MPa} \), l'acier est élastique (il revient à sa forme initiale si on relâche). Si on dépasse, il se plastifie (déformation permanente) et l'intégrité structurelle est compromise. L'Eurocode introduit une sécurité supplémentaire via le coefficient partiel \(\gamma_{\text{M0}}\). Pour une section brute, ce coefficient vaut 1,0, ce qui signifie que nous prenons la pleine capacité du matériau sans réduction arbitraire (hors imperfections géométriques gérées ailleurs).
L'ELU correspond à la limite avant la ruine (effondrement) de la structure. En traction, la ruine est définie par la plastification généralisée de la section. On ne cherche pas à savoir si ça se déforme un peu, on cherche à savoir si ça CASSE. Le critère est binaire : Passe ou Casse.
La force maximale \(N_{\text{pl,Rd}}\) que peut encaisser la barre est le produit de son aire par sa limite élastique, divisé par le coefficient de sécurité.
Résultat en Newtons [N].
Détail de la Démarche & DérivationConstruction de la formule Eurocode : 1. La force limite théorique est simplement la surface fois la résistance du matériau : \( F_{\text{limite}} = A \times f_{\text{y}} \). 2. Pour garantir la sécurité, la norme impose de réduire cette valeur par un coefficient de sécurité \( \gamma_{\text{M0}} \). 3. On obtient la résistance de calcul (Design) :
La condition de sécurité fondamentale est :
Si le rapport est inférieur à 1, la barre tient.
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Aire calculée (\(A\)) | \( 314,16 \text{ mm}^2 \) |
| Limite élastique (\(f_{\text{y}}\)) | \( 235 \text{ MPa} \) (N/mm²) |
| Coeff. sécurité (\(\gamma_{\text{M0}}\)) | \( 1,0 \) |
| Effort Appliqué (\(N_{\text{Ed}}\)) | \( 65\,000 \text{ N} \) |
Il est souvent plus "parlant" pour un client de présenter le "Taux de Travail" en pourcentage (ex: \( 88\% \)) plutôt qu'une simple valeur binaire OK/KO. Cela permet de voir si l'on est proche de la limite.
📝 Calculs Détaillés
Nous calculons d'abord quelle force ferait céder la barre.
Calcul de N_pl,Rd :La barre peut tenir jusqu'à \( 73,83 \text{ kN} \) avant plastification.
2. Calcul du Ratio (Vérification)Nous comparons la charge réelle (\( 65 \text{ kN} \)) à cette capacité (\( 73,83 \text{ kN} \)).
Calcul du Taux de Travail :Interprétation Post-Calcul : La barre est sollicitée à \( 88\% \) de sa capacité maximale. La condition \( 0,88 < 1,0 \) est vérifiée. Il reste une marge de sécurité de \( 12\% \).
✅ Interprétation Globale
La section de \( 20 \text{ mm} \) est suffisante vis-à-vis des critères de résistance de l'Eurocode 3. Le tirant ne rompra pas et ne se plastifiera pas sous la charge de projet.
Nous avions trouvé une contrainte de \( 207 \text{ MPa} \). La limite est \( 235 \text{ MPa} \). Comme \( 207 < 235 \), le tirant tient forcément. Le ratio \( 207/235 = 0,88 \). Nous retrouvons exactement le même résultat (\( 88\% \)) par les deux méthodes (comparaison des contraintes ou comparaison des forces). Tout est parfaitement cohérent.
Ce calcul valide la section *courante* (la partie lisse de la barre). Il faudrait impérativement vérifier aussi les attaches (filetages, soudures, axes) qui sont souvent les points faibles réels d'un tirant.
🎯 Objectif Détaillé
La résistance (ne pas casser) est une condition nécessaire mais non suffisante. Un bâtiment doit aussi être rigide. Si le tirant s'allonge trop sous l'effet de la charge, les murs sur lesquels il s'accroche vont s'écarter, ce qui pourrait fissurer la maçonnerie ou faire s'effondrer les appuis de la charpente. Nous devons donc calculer la déformation longitudinale \(\Delta L\) de la barre pour vérifier qu'elle reste dans des limites acceptables pour la structure (État Limite de Service).
📚 Référentiel
- Loi de Hooke : Relation linéaire entre contrainte et déformation.
- Module de Young (E) : Constante de rigidité du matériau.
Nous avons prouvé à l'étape précédente que l'acier reste dans son domaine élastique (contrainte < limite élastique). Nous pouvons donc appliquer la Loi de Hooke (\(\sigma = E \cdot \epsilon\)) qui stipule que l'allongement est directement proportionnel à la force appliquée. C'est le principe du ressort. Pour calculer l'allongement total, nous avons besoin de la raideur du matériau (Module de Young \(E\), constant pour tous les aciers à \( 210\,000 \text{ MPa} \)) et de la géométrie de la barre.
L'allongement relatif \(\epsilon\) (epsilon) est le rapport \(\Delta L / L\). La loi de Hooke nous dit que \(\epsilon = \sigma / E\). En combinant tout cela, on trouve la formule de l'allongement total d'une barre soumise à un effort axial constant.
L'allongement \(\Delta L\) (Delta L) se calcule ainsi :
Unités impératives : Force en [N], Longueur en [mm], Module E en [MPa], Aire en [mm²]. Le résultat sort en [mm].
Détail de la Démarche & DérivationDérivation de la formule finale : 1. On part de la Loi de Hooke : \( \sigma = E \cdot \epsilon \). 2. On remplace \( \sigma \) par \( \frac{N}{A} \) et \( \epsilon \) par \( \frac{\Delta L}{L} \). Cela donne : \( \frac{N}{A} = E \cdot \frac{\Delta L}{L} \). 3. On isole \( \Delta L \) en multipliant par \( L \) et en divisant par \( E \) :
Étape 1 : Données et Conversion
Attention, la longueur de la barre est donnée en mètres. Il faut la convertir en millimètres pour être homogène avec le module d'Young (MPa = N/mm²).
| Paramètre | Valeur Initiale | Valeur Convertie (mm) |
|---|---|---|
| Longueur libre (\(L\)) | \( 12,00 \text{ m} \) | \( 12\,000 \text{ mm} \) |
| Module d'Young (\(E\)) | \( 210\,000 \text{ MPa} \) | - |
Une astuce pour vérifier vos calculs : Pour de l'acier courant, sous une contrainte proche de la limite (\( 200 \text{ MPa} \)), l'allongement est d'environ \( 1 \text{ mm} \) par mètre de longueur. Ici on a \( 12 \text{ m} \), on s'attend donc à trouver un résultat proche de \( 12 \text{ mm} \).
📝 Calculs Détaillés
Nous appliquons la formule avec toutes les valeurs en unités cohérentes (N et mm).
Calcul de Delta L :Interprétation Post-Calcul : Sous la charge maximale de neige, le tirant va s'allonger physiquement de \( 11,8 \text{ mm} \), soit un peu plus d'un centimètre.
✅ Interprétation Globale
Un allongement de \( 12 \text{ mm} \) sur une portée de \( 12 \text{ mètres} \) représente un ratio de \( 1/1000 \) (\(L/1000\)). C'est une valeur généralement acceptable pour une structure industrielle flexible. Cependant, il faudra s'assurer que les fixations des murs peuvent tolérer ce léger mouvement sans fissuration.
Notre astuce prédisait environ \( 1 \text{ mm/m} \), soit \( 12 \text{ mm} \) pour \( 12 \text{ m} \). Nous trouvons \( 11,8 \text{ mm} \). Le calcul est parfaitement cohérent avec les ordres de grandeur de la physique de l'acier.
Cet allongement est "élastique". Il disparaît si on enlève la neige. Il ne faut pas le confondre avec le fluage (déformation dans le temps) ou la déformation thermique (dilatation due à la chaleur), qui s'ajoutent à ce calcul.
Récapitulatif graphique des états de contrainte et de déformation du tirant.
📄 6. Livrable Final (Note de Calculs EXE)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 24/10/24 | Création du document / Vérification tirant diam. 20 | Ing. Structure |
- Eurocode 3 : Calcul des structures en acier (EN 1993-1-1)
- Acier de nuance S235 (\( f_{\text{y}} = 235 \text{ MPa} \))
| Effort de Traction (ELU) | \( 65,00 \text{ kN} \) |
| Diamètre du tirant | \( 20 \text{ mm} \) |
| Longueur libre | \( 12,00 \text{ m} \) |
Vérification de la résistance en traction simple de la section courante.
L'Ingénieur Stagiaire
Chef de Projet Structure
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