Dimensionnement d’une Longrine
Comprendre le dimensionnement d’une longrine
Vous êtes ingénieur(e) civil(e) en charge de la conception d’une longrine en béton armé destinée à un nouvel atelier artisanal.
Situé dans une zone caractérisée par un sol d’argile moyennement ferme, le projet exige une attention particulière au dimensionnement de ses fondations pour assurer la stabilité de la structure.
L’atelier comprendra un toit plat, supporté par trois poteaux alignés, avec un espacement de 5 mètres entre chacun. Il est essentiel de garantir une répartition efficace des charges sur le sol.
Pour comprendre le calcul du Ferraillage fondation en béton armé et le Calcul des armatures d’une poutre, cliquez sur les liens.
Données du Projet:
- Charges sur chaque poteau :
- Charge permanente (G) : 150 kN
- Charge d’exploitation (Q) : 100 kN
- Sol : Argile moyennement ferme, avec une contrainte admissible de 150 kPa.
- Matériaux : Béton C25/30 et acier Fe500.
- Coefficients de sécurité :
- Pour le béton (γG) = 1.35
- Pour les charges d’exploitation (γQ) = 1.5
- Pour la résistance du béton (γc) = 1.5
- Dimensions initiales proposées pour la longrine :
- Hauteur = 0.5 m
- Largeur = 0.6 m
Hypothèses:
- La longrine est considérée comme simplement appuyée entre les poteaux.
- Le poids propre de la longrine est inclus dans les calculs des réactions d’appui.
- Les charges sont appliquées au centre des poteaux.
Questions:
1. Calculer les charges totales appliquées à la longrine.
2. Déterminer les moments fléchissants maximaux dans la longrine.
3. Vérifier si la section proposée de la longrine est suffisante pour résister au moment fléchissant maximum, en utilisant les formules de dimensionnement des sections rectangulaires en flexion simple.
4. Déterminer les dimensions minimales requises de la longrine si la section initiale n’est pas suffisante.
5. Proposer une disposition et un diamètre minimal pour les aciers longitudinaux (armatures), en respectant les règles de l’Eurocode 2 pour le béton armé.
6. Calculer les réactions d’appui aux extrémités de la longrine et vérifier la contrainte du sol sous les fondations correspondantes, en proposant des ajustements si nécessaire.
Correction de Dimensionnement d’une Longrine
1. Calcul des Charges Totales Appliquées à la Longrine
Charges sur chaque poteau :
- Charge permanente \(G\) : 150 kN
- Charge d’exploitation \(Q\) : 100 kN
Coefficients de sécurité :
- Pour le béton (\(\gamma_G\)) = 1.35
- Pour les charges d’exploitation (\(\gamma_Q\)) = 1.5
Calcul de la charge totale sur un poteau :
\[ F_{\text{totale, poteau}} = \gamma_G \cdot G + \gamma_Q \cdot Q \] \[ F_{\text{totale, poteau}} = 1.35 \cdot 150 + 1.5 \cdot 100 \] \[ F_{\text{totale, poteau}} = 202.5 + 150 \] \[ F_{\text{totale, poteau}} = 352.5 \, \text{kN} \]
Charge totale sur la longrine pour 3 poteaux :
\[ F_{\text{totale, longrine}} = 3 \cdot F_{\text{totale, poteau}} \] \[ F_{\text{totale, longrine}} = 3 \cdot 352.5 \] \[ F_{\text{totale, longrine}} = 1057.5 \, \text{kN} \]
2. Détermination des Moments Fléchissants Maximaux
Avec un espacement de 5 m entre les poteaux, le moment fléchissant maximal est situé au milieu de chaque portée.
\[ M_{\text{max}} = \frac{F_{\text{totale, poteau}} \cdot l}{4} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{352.5 \cdot 5}{4} \] \[ M_{\text{max}} = 440.625 \, \text{kNm} \]
3. Vérification de la Section Proposée de la Longrine
Résistance en compression du béton (\(f_{cd}\)) :
\[ f_{cd} = \frac{f_{ck}}{\gamma_c} \] \[ f_{cd} = \frac{25}{1.5} \] \[ f_{cd} \approx 16.67 \, \text{MPa} \]
Distance utile (d) avec enrobage de 50 mm et diamètre d’armature de 16 mm :
\[ d = h – c – \frac{\phi}{2} \] \[ d = 0.5 – 0.05 – 0.008 \] \[ d = 0.442 \, \text{m} \]
4. Dimensions Minimales Requises de la Longrine
Pour que \(MRd \geq M_{\text{max}}\), augmentons la hauteur de la longrine à 0.7 m pour respecter le moment fléchissant maximal.
5. Disposition et Diamètre Minimal pour les Aciers Longitudinaux
Aire minimale d’acier requise (\(A_{s,\text{min}}\)) :
\[ A_{s,\text{min}} = 0.0015 \times b \times h \] \[ A_{s,\text{min}} = 0.0015 \times 0.6 \times 0.7 \] \[ A_{s,\text{min}} = 0.00063 \, \text{m}^2 \]
Choix des barres d’acier de 16 mm (\(\phi 16\)) :
\[ A_{s,16mm} = \pi \times \left(\frac{16}{2}\right)^2 \times 10^{-6} \] \[ A_{s,16mm} = 201.06 \, \text{mm}^2 \] \[ A_{s,16mm} = 0.000201 \, \text{m}^2 \]
Nombre de barres nécessaires :
\[ n = \frac{A_{s,\text{min}}}{A_{s,16mm}} \] \[ n = \frac{0.00063}{0.000201} \approx 3.13 \]
Arrondi à 4 barres pour respecter les exigences minimales.
6. Réactions d’Appui et Vérification de la Contrainte du Sol
Réactions d’appui aux extrémités :
\[ R = \frac{F_{\text{totale, longrine}}}{4} \] \[ R = \frac{1057.5}{4} \] \[ R = 264.375 \, \text{kN} \]
Contrainte du sol (\(\sigma\)) sous les fondations :
\[ \sigma = \frac{R}{A} \]
Pour une largeur de fondation de 1 m et une longueur ajustée à 0.7 m :
\[ A = 1 \times 0.7 = 0.7 \, \text{m}^2 \]
\[ \sigma = \frac{264.375}{0.7} \] \[ \sigma \approx 377.68 \, \text{kPa} \]
La contrainte calculée est supérieure à la contrainte admissible de 150 kPa, indiquant la nécessité d’ajuster la conception des fondations.
Propositions d’Ajustement pour la Fondation
- Augmenter la largeur de la fondation pour réduire la contrainte sur le sol.
- Amélioration du sol pour augmenter sa capacité portante, si possible.
- Considérer des fondations profondes (pieux ou radiers) pour mieux distribuer les charges.
Dimensionnement d’une longrine
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