Analyse des Poutres Encastrées

Une poutre encastrée est un élément structurel dont les extrémités sont rigidement fixées, empêchant tout mouvement ou rotation.

Ces conditions aux limites strictes permettent aux poutres encastrées de supporter des charges significatives sans subir de déformations importantes.

Cette introduction aborde les principes fondamentaux de l’analyse des poutres encastrées, les hypothèses sous-jacentes et leur importance dans le contexte du génie civil.

Hypothèses de Base

• Homogénéité et Isotropie:

La poutre est fabriquée à partir d’un matériau uniforme dont les propriétés mécaniques sont identiques dans toutes les directions.

• Comportement Élastique:

Les matériaux de la poutre répondent à la sollicitation selon un comportement élastique, ce qui signifie qu’ils reviennent à leur forme originale après le retrait de la charge.

• Flexion Plane:

Les déformations dues à la flexion se produisent dans un seul plan, généralement le plan vertical.

• Petites Déformations:

Les déformations subies par la poutre sont suffisamment petites pour que les équations linéaires de l’élasticité soient valides.

Pour comprendre le calcul d’une Poutre encastrée et Diagramme des Moments, cliquez sur le lien.

1. Moment Fléchissant

Le moment fléchissant \( M \) quantifie l’effet de la flexion causée par des forces extérieures sur la poutre.

Pour une charge uniformément répartie \( w \), et une poutre de longueur \( l \), le moment est donné par la formule:

\[ M = \frac{w \times l^2}{8} \]

Cette équation est dérivée en considérant les conditions d’équilibre sous la charge répartie.

2. Flèche d’une Poutre

La flèche \( \delta_{\text{max}} \) représente la déformation verticale maximale de la poutre sous l’effet d’une charge.

Pour une charge uniformément répartie, elle est calculée par:

\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5wl^4}{384EI} \]

où \( E \) est le module d’élasticité et \( I \) le moment d’inertie de la section. Ce résultat provient de l’intégration des équations de la courbure de la poutre.

3. Moment d’Inertie

Le moment d’inertie \( I \) est une mesure de la résistance d’une section à la flexion. Pour un rectangle de base \( b \) et hauteur \( h \):

\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]

Exemple Pratique

Considérons une poutre encastrée de 4 m de longueur, avec une section rectangulaire de 100 mm de base et 200 mm de hauteur, soumise à une charge répartie de 5 kN/m.

• Moment fléchissant:

\[ M = \frac{5 \times 4^2}{8} = 10 \text{kNm} \]

• Moment d’inertie:

\[ I = \frac{0.1 \times 0.2^3}{12} = 6.67 \times 10^{-4} \text{m}^4 \]

• Flèche maximale:

\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \times 5 \times 4^4}{384 \times E \times 6.67 \times 10^{-4}} \]

Conclusion

Les poutres encastrées sont essentielles dans les structures modernes, permettant des conceptions robustes face à des charges importantes.

La compréhension des principes de mécanique des matériaux est cruciale pour analyser correctement ces éléments structuraux.

Analyse des Poutres Encastrées

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