Analyse des forces en géotechnique
Comprendre l’analyse des forces en géotechnique
Vous êtes un ingénieur géotechnicien travaillant pour ABC Génie Civil. Votre mission est d’évaluer la stabilité d’une pente dans le cadre d’un projet de construction d’une route au Parc national des Hautes-Montagnes. L’objectif est de déterminer la stabilité de la pente et, si nécessaire, de proposer des mesures de stabilisation.
Pour comprendre l’Analyse de la stabilité d’une pente, cliquez sur le lien.
Données:
- Hauteur de la pente (H): 15 m
- Longueur de la pente (L): 30 m
- Angle de pente (α): 45 degrés
- Poids volumique du sol (γ): 18 kN/m³
- Cohésion du sol (c): 15 kPa (Note: convertir en kN/m² pour vos calculs)
- Angle de frottement interne du sol (φ): 30 degrés
- Niveau de la nappe phréatique: 5 m sous la surface du sol
Questions:
1. Force due au poids du sol:
Calculez la force parallèle à la pente due au poids du sol. Utilisez l’aire de la surface de la pente dans vos calculs et prenez en compte l’angle de la pente. Comment l’angle de la pente influence-t-il cette force?
2. Force de cohésion:
Déterminez la force de cohésion agissant le long de la surface potentielle de glissement. Considérez une tranche de 1 m de profondeur pour vos calculs. Comment la cohésion du sol contribue-t-elle à la stabilité de la pente?
3. Force de frottement:
Évaluez la force de frottement agissant le long de la surface de glissement. Prenez en compte le poids du sol normalement à la pente ainsi que l’angle de frottement interne du sol. Pourquoi cette force est-elle cruciale pour la stabilité de la pente?
4. Impact de la nappe phréatique:
a. Calculez la pression exercée par la nappe phréatique à sa profondeur.
b. Déterminez les forces horizontales et verticales résultantes de cette pression. Quel est l’effet de la nappe phréatique sur la stabilité de la pente?
Correction : Analyses des forces en géotechnique
1. Calcul de la force due au poids du sol
Pour une masse de sol posée sur une pente inclinée, le poids total se décompose en deux composantes :
-
Composante perpendiculaire à la pente (utile pour le calcul de la force normale).
-
Composante parallèle à la pente, responsable de la tendance au glissement.
La formule générale pour la composante parallèle est :
\[ F_{\text{par}} = P \times \sin(\alpha) \]
où
- \(P\) est le poids total du sol agissant sur la pente,
- \(\alpha\) est l’angle de la pente.
On considère une tranche de sol de largeur unitaire (1 mètre de largeur) et de profondeur « d’influence » égale à 1 m. Ainsi, l’aire de la surface de la pente est :
\[ A = L \times 1 \quad \text{avec } L = 30 \, \text{m} \]
Le volume de sol considéré est alors :
\[ V = A \times 1 = 30 \, \text{m}^3 \]
Le poids total (en kN) se calcule par :
\[ P = \gamma \times V \] avec \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\).
Calcul et substitution
1. Calcul du poids total :
\[ P = 18 \, \frac{\text{kN}}{\text{m}^3} \times 30 \, \text{m}^3 \] \[ P = 540 \, \text{kN} \]
2. Calcul de la composante parallèle :
On utilise l’angle de la pente donné \(\alpha = 45^\circ\) (noter que la force parallèle augmente avec \(\sin(\alpha)\) ; pour \(\alpha = 0^\circ\), \(\sin(0)=0\) et pour \(\alpha = 90^\circ\), \(\sin(90)=1\)).
\[ F_{\text{par}} = 540 \, \text{kN} \times \sin(45^\circ) \]
Sachant que \(\sin(45^\circ) \approx 0,7071\),
\[ F_{\text{par}} \approx 540 \times 0,7071 \] \[ F_{\text{par}} \approx 382 \, \text{kN} \]
Conclusion
La force parallèle au sol due au poids est d’environ 382 kN.
L’angle de la pente joue un rôle clé car plus il est élevé, plus la composante \(\sin(\alpha)\) augmente, et donc plus la force susceptible de provoquer un glissement est importante.
2. Calcul de la force de cohésion
La force de cohésion le long de la surface potentielle de glissement est calculée par :
\[ F_c = c \times A_c \]
où
- \(c\) est la cohésion du sol,
- \(A_c\) est l’aire de la surface de contact sur laquelle agit cette cohésion.
Dans notre cas, on considère une tranche de 1 mètre de profondeur (épaisseur de la surface de glissement) et la longueur de la pente sert de longueur de contact.
On rappelle que la cohésion est donnée en \(\text{kPa}\).
Conversion :
\[ 1 \, \text{kPa} = 1 \, \frac{\text{kN}}{\text{m}^2} \quad \Rightarrow \quad c = 15 \, \text{kPa} = 15 \, \frac{\text{kN}}{\text{m}^2} \]
Calcul et substitution
La surface de contact (pour une largeur unitaire) est :
\[ A_c = L \times 1 = 30 \, \text{m}^2 \]
Ainsi,
\[ F_c = 15 \, \frac{\text{kN}}{\text{m}^2} \times 30 \, \text{m}^2 \] \[ F_c = 450 \, \text{kN} \]
Conclusion
La force de cohésion agissant le long de la surface potentielle de glissement est de 450 kN.
La cohésion du sol aide à maintenir la stabilité en fournissant une résistance intrinsèque au glissement.
3. Calcul de la force de frottement
La force de frottement s’exprime par la formule :
\[ F_{\text{frott}} = N \times \tan(\phi) \]
où
- \(N\) est la force normale (composante perpendiculaire du poids du sol),
- \(\phi\) est l’angle de frottement interne du sol.
La force normale se calcule par :
\[ N = P \times \cos(\alpha) \]
avec \(P = 540 \, \text{kN}\) et \(\alpha = 45^\circ\).
Calcul et substitution
1. Calcul de la force normale :
\[ N = 540 \, \text{kN} \times \cos(45^\circ) \]
Sachant que \(\cos(45^\circ) \approx 0,7071\),
\[ N \approx 540 \times 0,7071 \] \[ N \approx 382 \, \text{kN} \]
2. Calcul de la force de frottement :
On a \(\phi = 30^\circ\) donc \(\tan(30^\circ) \approx 0,5774\),
\[ F_{\text{frott}} = 382 \, \text{kN} \times 0,5774 \] \[ F_{\text{frott}} \approx 220,5 \, \text{kN} \]
Conclusion
La force de frottement agissant le long de la surface de rupture est d’environ 220,5 kN.
Cette force est cruciale car elle offre une résistance additionnelle contre le glissement, en complément de la cohésion, et dépend directement de la force normale et de l’angle de frottement interne.
4. Impact de la nappe phréatique
La présence de la nappe phréatique modifie la distribution des pressions dans le sol et influe sur sa stabilité.
4.a) Calcul de la pression exercée par la nappe
La pression hydrostatique dans un fluide s’exprime par :
\[ P = \gamma_{e} \times h \]
où
- \(\gamma_{e}\) est le poids volumique de l’eau. En géotechnique, on utilise souvent \(\gamma_{e} = 10 \, \text{kN/m}^3\) (approximation courante),
- \(h\) est la profondeur considérée.
Calcul et substitution
Pour \(h = 5 \, \text{m}\) :
\[ P = 10 \, \frac{\text{kN}}{\text{m}^3} \times 5 \, \text{m} \] \[ P = 50 \, \text{kN/m}^2 \]
Conclusion
La pression hydrostatique au niveau de la nappe (5 m de profondeur) est de 50 kN/m².
4.b) Détermination des forces horizontales et verticales résultantes
Sur une surface verticale (ou quasi verticale) de largeur unitaire et de hauteur \(h\), la distribution de la pression hydrostatique est linéaire (nulle en haut et maximale en bas). La force résultante (horizontale) se calcule par :
\[ F_{\text{horiz}} = \frac{1}{2} \, P_{\text{max}} \times h \]
où \(P_{\text{max}}\) est la pression maximale au bas de la surface (ici 50 kN/m\(^2\)).
Sur une surface strictement verticale, la résultante de la pression agit horizontalement et il n’y a pas de composante verticale nette (la distribution de pression sur une surface verticale ne crée pas de force verticale résultante).
Calcul et substitution
Pour \(h = 5 \, \text{m}\) :
\[ F_{\text{horiz}} = \frac{1}{2} \times 50 \, \text{kN/m}^2 \times 5 \, \text{m} \] \[ F_{\text{horiz}} = \frac{1}{2} \times 250 \, \text{kN/m} \] \[ F_{\text{horiz}} = 125 \, \text{kN/m} \]
Remarque : Sur une surface inclinée, la décomposition de la force résultante donnerait des composantes horizontales et verticales, mais ici, en considérant une face verticale pour simplifier l’analyse, seule la composante horizontale est significative.
Conclusion
-
Force horizontale résultante due à la pression de la nappe : 125 kN/m (pour une largeur unitaire).
-
Force verticale résultante sur une surface verticale est nulle.
L’effet de la nappe phréatique sur la stabilité de la pente est double :
-
Réduction de l’effort effectif dans le sol (la pression interstitielle s’oppose à la contrainte totale, diminuant ainsi la résistance au glissement).
-
Augmentation de la poussée sur des parois ou des zones de rupture, contribuant potentiellement à la déstabilisation.
Analyse des forces en géotechnique
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