Propriétés Mécaniques des Matériaux
Contexte sur les propriétés mécaniques des matériaux
Vous êtes un ingénieur travaillant sur la conception d’une poutre pour un petit pont. La poutre est faite d’un acier standard, et elle doit supporter une charge uniformément répartie, incluant le poids du pont et une charge supplémentaire due au trafic.
Pour comprendre l’Analyse d’une Poutre en Acier, cliquez sur le lien.
Données :
- Matériau de la poutre : Acier
- Module de Young de l’acier : 210 GPa
- Limite élastique de l’acier : 250 MPa
- Longueur de la poutre : 10 m
- Largeur de la poutre : 0.3 m
- Hauteur de la poutre : 0.6 m
- Charge uniformément répartie (y compris le poids du pont) : 30 kN/m
Questions :
- Calculez le moment d’inertie de la section de la poutre.
- Déterminez la charge maximale supplémentaire que la poutre peut supporter sans dépasser la limite élastique de l’acier.
- Calculez la flèche maximale de la poutre sous cette charge supplémentaire, en supposant un comportement élastique linéaire.
Correction : propriétés mécaniques des matériaux
1. Calcul du Moment d’Inertie de la Section de la Poutre
La formule pour calculer le moment d’inertie \(I\) d’une section rectangulaire autour de son axe central est:
\[I = \frac{1}{12} \times b \times h^3\]
où \(b\) est la largeur de la poutre et \(h\) est sa hauteur.
- Largeur de la poutre, \(b\): 0.3 m
- Hauteur de la poutre, \(h\): 0.6 m
Substitution des valeurs:
\[I = \frac{1}{12} \times 0.3 \times (0.6)^3 \] \[I = 0.0054 \, m^4\]
Le moment d’inertie de la section de la poutre est donc \(0.0054 \, m^4\).
2. Charge Maximale Supplémentaire Supportable
Pour déterminer la charge maximale supplémentaire que la poutre peut supporter sans dépasser la limite élastique de l’acier, nous utilisons la formule de la contrainte de flexion en un point le plus éloigné de l’axe neutre:
\[\sigma = \frac{M \times y}{I}\]
où:
- \(\sigma\) est la contrainte de flexion,
- \(M\) est le moment de flexion,
- \(y\) est la distance du centre neutre (dans ce cas, \(y = \frac{h}{2}\)),
- \(I\) est le moment d’inertie de la section.
Le moment de flexion maximal supportable sans dépasser la limite élastique, \(M\), peut être exprimé en fonction de la charge uniformément répartie totale, \(q_{\text{total}}\), comme suit:
\[M = \frac{q_{\text{total}} \times L^2}{8}\]
En réarrangeant pour trouver la charge additionnelle supportable, \(q_{\text{add}}\), nous avons:
\[q_{\text{add}} = \left(\frac{\sigma_{\text{max}} \times 8 \times I}{L^2 \times y}\right) – q_{\text{existante}}\]
- Limite élastique de l’acier, \(\sigma_{\text{max}}: 250\, MPa = 250\times10^6 \, Pa\)
- Longueur de la poutre, \(L : 10\, m\)
- Charge existante, \(q_{\text{existante}}: 30\, kN/m = 30\times10^3 \, N/m\)
Substitution des valeurs:
\[q_{\text{add}} = \left(\frac{250 \times 10^6 \times 8 \times 0.0054}{10^2 \times 0.3}\right) – 30 \times 10^3 \] \[q_{\text{add}} = 330 \, kN/m\]
La poutre peut supporter une charge maximale supplémentaire de \(330 \, kN/m\) sans dépasser la limite élastique de l’acier.
3. Calcul de la Flèche Maximale de la Poutre
La flèche maximale, \(\delta\), sous une charge uniformément répartie est donnée par la formule:
\[\delta = \frac{5 \times q \times L^4}{384 \times E \times I}\]
- Charge totale, \(q\): 30 kN/m (existante) + 330 kN/m (supplémentaire) = 360 kN/m
- Module de Young de l’acier, \(E\): 210 GPa = \(210\times10^9 \, Pa\)
- Moment d’inertie, \(I\): \(0.0054 m^4\)
Substitution des valeurs:
\[\delta = \frac{5 \times 360 \times 10^3 \times 10^4}{384 \times 210 \times 10^9 \times 0.0054} \] \[\delta = 41.34 \, mm\]
La flèche maximale de la poutre sous la charge totale est d’environ 41.34 mm.
Propriétés mécaniques des matériaux
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