Propriétés Mécaniques des Matériaux
Contexte sur les propriétés mécaniques des matériaux
Vous êtes un ingénieur travaillant sur la conception d’une poutre pour un petit pont. La poutre est faite d’un acier standard, et elle doit supporter une charge uniformément répartie, incluant le poids du pont et une charge supplémentaire due au trafic.
Pour comprendre l’Analyse d’une Poutre en Acier, cliquez sur le lien.
Données :
- Matériau de la poutre : Acier
- Module de Young de l’acier : 210 GPa
- Limite élastique de l’acier : 250 MPa
- Longueur de la poutre : 10 m
- Largeur de la poutre : 0.3 m
- Hauteur de la poutre : 0.6 m
- Charge uniformément répartie (y compris le poids du pont) : 30 kN/m
Questions :
1. Calculez le moment d’inertie de la section de la poutre.
2. Déterminez la charge maximale supplémentaire que la poutre peut supporter sans dépasser la limite élastique de l’acier.
3. Calculez la flèche maximale de la poutre sous cette charge supplémentaire, en supposant un comportement élastique linéaire.
Correction : propriétés mécaniques des matériaux
1. Calcul du moment d’inertie de la section
Pour une section rectangulaire, le moment d’inertie \( I \) par rapport à l’axe neutre (horizontal passant par le centre) se calcule avec la formule
\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]
où
- \( b \) est la largeur,
- \( h \) est la hauteur de la section.
Données :
- \( b = 0.3 \, \text{m} \)
- \( h = 0.6 \, \text{m} \)
Calcul :
1. Calcul de \( h^3 \) :
\[ h^3 = (0.6)^3 = 0.216 \, \text{m}^3 \]
2. Multiplication par la largeur :
\[ b \times h^3 = 0.3 \times 0.216 \] \[ = 0.0648 \, \text{m}^4 \]
3. Division par 12 :
\[ I = \frac{0.0648}{12} = 0.0054 \, \text{m}^4 \]
Résultat :
Le moment d’inertie de la section est \( I = 0.0054 \, \text{m}^4 \).
2. Détermination de la charge maximale supplémentaire
Pour éviter que la contrainte due au moment de flexion ne dépasse la limite élastique de l’acier, on doit respecter la relation :
\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{max}} \times c}{I} \leq \sigma_{y} \]
où
- \( M_{\text{max}} \) est le moment de flexion maximal,
- \( c = \frac{h}{2} \) est la distance du centre à la fibre extrême,
- \( I \) est le moment d’inertie,
\item \( \sigma_{y} \) est la limite élastique.
Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, le moment maximal est :
\[ M_{\text{max}} = \frac{q_{\text{total}} \times L^2}{8} \]
En substituant dans la formule de la contrainte :
\[ \sigma_{y} = \frac{q_{\text{total}} \times L^2}{8} \times \frac{h}{2} \times \frac{1}{I} \] \[ \sigma_{y} = \frac{q_{\text{total}} \times L^2 \times h}{16 \, I} \]
D’où, pour ne pas dépasser \( \sigma_{y} \) :
\[ q_{\text{total}} = \frac{\sigma_{y} \times 16 \, I}{L^2 \times h} \]
Données :
- Limite élastique : \( \sigma_{y} = 250 \, \text{MPa} = 250 \times 10^6 \, \text{Pa} \)
- \( I = 0.0054 \, \text{m}^4 \)
- Longueur de la poutre : \( L = 10 \, \text{m} \)
- Hauteur : \( h = 0.6 \, \text{m} \)
- Charge uniformément répartie initiale : \( q_{\text{initial}} = 30 \, \text{kN/m} = 30\,000 \, \text{N/m} \)
Calcul :
1. Calcul du numérateur :
\[ 16 \times I = 16 \times 0.0054 \] \[ = 0.0864 \, \text{m}^4 \]
\[ \sigma_{y} \times 16I = 250 \times 10^6 \times 0.0864 \] \[ = 21.6 \times 10^6 \, \text{N/m} \]
2. Calcul du dénominateur :
\[ L^2 \times h = (10)^2 \times 0.6 \] \[ = 100 \times 0.6 = 60 \, \text{m}^3 \]
3. Calcul de \( q_{\text{total}} \) :
\[ q_{\text{total}} = \frac{21.6 \times 10^6}{60} \] \[ q_{\text{total}} = 360\,000 \, \text{N/m} \] \[ q_{\text{total}} = 360 \, \text{kN/m} \]
La charge supplémentaire maximale que la poutre peut supporter est donc la différence entre cette charge totale admissible et la charge initiale :
\[ q_{\text{supplémentaire}} = q_{\text{total}} – q_{\text{initial}} \] \[ q_{\text{supplémentaire}} = 360 \, \text{kN/m} – 30 \, \text{kN/m} \] \[ q_{\text{supplémentaire}} = 330 \, \text{kN/m} \]
Résultat :
La poutre peut supporter une charge supplémentaire maximale de \( 330 \, \text{kN/m} \) sans dépasser la limite élastique de l’acier.
3. Calcul de la flèche maximale sous la charge supplémentaire
La flèche maximale d’une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie est donnée par :
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \, q \, L^4}{384 \, E \, I} \]
où
- \( q \) est la charge uniformément répartie (ici la charge supplémentaire \( q_{\text{supplémentaire}} \)),
- \( L \) est la longueur de la poutre,
- \( E \) est le module de Young,
- \( I \) est le moment d’inertie.
Données :
- \( q = 330 \, \text{kN/m} = 330\,000 \, \text{N/m} \)
- \( L = 10 \, \text{m} \)
- Module de Young de l’acier : \( E = 210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^9 \, \text{Pa} \)
- \( I = 0.0054 \, \text{m}^4 \)
Calcul :
1. Calcul de \( L^4 \) :
\[ L^4 = (10)^4 = 10\,000 \, \text{m}^4 \]
2. Calcul du numérateur :
\[ 5 \times q \times L^4 = 5 \times 330\,000 \times 10\,000 \] \[ = 16.5 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^3 \]
3. Calcul du dénominateur :
\[ 384 \times E \times I = 384 \times 210 \times 10^9 \times 0.0054 \] \[ = 384 \times 1.134 \times 10^9 \] \[ = 435.456 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2\]
4. Calcul de la flèche :
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{16.5 \times 10^9}{435.456 \times 10^9} \approx 0.0379 \, \text{m} \]
Ce qui correspond à environ \( 3.79 \, \text{cm} \).
Résultat :
La flèche maximale de la poutre sous la charge supplémentaire est d’environ
\[ \delta_{\text{max}} \approx 0.0379 \, \text{m} \quad (\text{soit 3.79 cm}). \]
Propriétés mécaniques des matériaux
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