Calcul du moment de résistance à la flexion

Comprendre le Calcul du moment de résistance à la flexion

Dans le cadre de la construction d’un nouveau pont piétonnier sur une petite rivière, il est nécessaire de calculer la résistance à la flexion des poutres en béton armé qui supporteront la structure du pont. Le pont doit pouvoir supporter non seulement le poids des piétons mais également celui des équipements légers tels que des vélos et des petits véhicules de maintenance.

Pour comprendre le Comportement en flexion d’une poutre et le calcul des Charges permanentes et d’exploitation, cliquez sur les liens.

Données fournies:

Longueur de la poutre, \( L \): 10 mètres
Largeur de la section transversale de la poutre, \( b \): 300 mm
Hauteur de la section transversale de la poutre, \( h \): 500 mm
Couverture du béton, \( c \): 40 mm
Diamètre des barres d’armature, \( d_b \): 20 mm
Nombre de barres d’armature en tension, \( n \): 4
Résistance caractéristique du béton à la compression, \( f’c \): 25 MPa
Limite d’élasticité de l’acier d’armature, \( f_y \): 415 MPa
Module d’élasticité de l’acier, \( E_s \): 200 GPa

Calcul du moment de résistance à la flexion

Question:

Déterminer le moment de résistance à la flexion (MR) de la poutre en béton armé en utilisant les formules appropriées pour les sections en T et rectangulaires.
Assumer que la section de la poutre est rectangulaire et que toutes les barres d’armature sont placées à la même distance de la face inférieure de la poutre.

Correction : Calcul du moment de résistance à la flexion

Hypothèse : La section est rectangulaire et toutes les barres de tension sont placées à la même distance de la fibre comprimée.

1. Calcul de la profondeur effective (\(d\))

La profondeur effective correspond à la distance entre la fibre comprimée et le centre de gravité des armatures en tension.

La position des armatures se situe à une distance égale à la couverture plus la moitié du diamètre de barre.

\[ d = h – \Bigl(c + \frac{d_b}{2}\Bigr) \]

En substituant les valeurs :

\[ d = 500\ \text{mm} – \Bigl(40\ \text{mm} + \frac{20\ \text{mm}}{2}\Bigr) \] \[ d = 500\ \text{mm} – (40\ \text{mm} + 10\ \text{mm}) \] \[ d = 500\ \text{mm} – 50\ \text{mm} \] \[ d = 450\ \text{mm} \]

2. Calcul de l’aire totale d’armature (\(A_s\))

L’aire d’une barre est donnée par :

\[ A_{\text{barre}} = \frac{\pi \, d_b^2}{4} \]

Pour une barre de diamètre 20 mm :

\[ A_{\text{barre}} = \frac{\pi \times (20)^2}{4} \] \[ A_{\text{barre}} = \frac{\pi \times 400}{4} \] \[ A_{\text{barre}} = 100\pi\ \text{mm}^2 \] \[ A_{\text{barre}} \approx 314,16\ \text{mm}^2 \]

Pour \(n = 4\) barres :

\[ A_s = 4 \times 100\pi \] \[ A_s \approx 4 \times 314,16\ \text{mm}^2 \] \[ A_s \approx 1256,64\ \text{mm}^2 \]

3. Calcul de la hauteur de la zone comprimée (\(a\))

L’équilibre des efforts (hypothèse d’acier tendu à la limite) donne :

\[ A_s \cdot f_y = 0,85\,f’_c \cdot b \cdot a \]

On isole \(a\) :

\[ a = \frac{A_s \cdot f_y}{0,85\,f’_c \cdot b} \]

Substitution des valeurs (attention aux unités : \(f’_c\) et \(f_y\) en MPa, 1 MPa = 1 N/mm\(^2\)) :

\[ a = \frac{1256,64\ \text{mm}^2 \times 415\ \text{N/mm}^2}{0,85 \times 25\ \text{N/mm}^2 \times 300\ \text{mm}} \] \[ a \approx \frac{521\,506}{6375} \] \[ a\approx 81,8\ \text{mm} \]

4. Calcul du bras de levier (\(z\))

Le bras de levier est approximé par :

\[ z = d – \frac{a}{2} \]

En substituant :

\[ z = 450\ \text{mm} – \frac{81,8\ \text{mm}}{2} \] \[ z = 450\ \text{mm} – 40,9\ \text{mm} \] \[ z = 409,1\ \text{mm} \]

5. Calcul du moment de résistance à la flexion (\(M_R\))

La formule pour le moment de résistance est :

\[ M_R = A_s \cdot f_y \cdot \left(d – \frac{a}{2}\right) = A_s \cdot f_y \cdot z \]

Substitution des valeurs :

\[ M_R = 1256,64\ \text{mm}^2 \times 415\ \text{N/mm}^2 \times 409,1\ \text{mm} \] \[ M_R \approx 521\,506\ \text{N} \times 409,1\ \text{mm} \] \[ M_R \approx 213\,350\,000\ \text{N}\cdot\text{mm} \]

Conversion en kN\(\cdot\)m (1 kN\(\cdot\)m = \(1 \times 10^6\) N\(\cdot\)mm) :

\[ M_R \approx \frac{213\,350\,000}{1\,000\,000} \] \[ M_R \approx 213,35\ \text{kN}\cdot\text{m} \]

Conclusion
Le moment de résistance à la flexion de la poutre en béton armé, en considérant une section rectangulaire avec les hypothèses données, est d’environ 213,35 kN·m.

Calcul du moment de résistance à la flexion

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