Contrainte et Raccourcissement dans une Poutre
Comprendre la Contrainte et Raccourcissement dans une Poutre
Vous êtes ingénieur dans une entreprise de construction et vous devez analyser l’intégrité structurelle d’une poutre utilisée dans la construction d’un pont. La poutre est faite en acier et est soumise à une charge uniformément répartie. L’objectif est de déterminer le raccourcissement de cette poutre due à la charge appliquée pour s’assurer qu’elle reste dans les limites de sécurité.
Comprendre la Traction et compression exercice corrigé, cliquez sur lien.
Données:
- Longueur de la poutre (L): 8 mètres
- Module d’élasticité de l’acier (E): 210 GPa (Gigapascals)
- Aire de la section transversale de la poutre (A): 0.03 m²
- Charge totale uniformément répartie (F): 120 kN (kilonewtons)
Questions:
1. Calculer la contrainte (σ) dans la poutre due à la charge appliquée.
2. Calculer la déformation (ε) de la poutre.
3. Déterminer le raccourcissement total (ΔL) de la poutre.
Correction : Contrainte et Raccourcissement dans une Poutre
1. Calcul de la Contrainte (\(\sigma\))
La contrainte dans une poutre soumise à une force axiale est définie comme la force appliquée répartie sur l’aire de la section transversale. On utilise la formule :
\[ \sigma = \frac{F}{A} \]
Données :
- Force appliquée, \(F = 120 \, \text{kN} = 120\,000 \, \text{N}\)
- Aire de la section, \(A = 0,03 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \sigma = \frac{120\,000 \, \text{N}}{0,03 \, \text{m}^2} \] \[ \sigma = 4\,000\,000 \, \text{N/m}^2 \] \[ \sigma = 4 \, \text{MPa} \]
Conclusion :
La contrainte dans la poutre est de 4 MPa.
2. Calcul de la Déformation (\(\varepsilon\))
La déformation (ou allongement/raccourcissement unitaire) se calcule en divisant la contrainte par le module d’élasticité du matériau. La formule utilisée est :
\[ \varepsilon = \frac{\sigma}{E} \]
Données :
- Contrainte, \(\sigma = 4\,000\,000 \, \text{Pa}\)
- Module d’élasticité, \(E = 210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^9 \, \text{Pa}\)
Calcul :
\[ \varepsilon = \frac{4\,000\,000 \, \text{Pa}}{210 \times 10^9 \, \text{Pa}} \] \[ \varepsilon \approx 1,90476 \times 10^{-5} \]
Conclusion :
La déformation unitaire de la poutre est d’environ 1,90 × 10⁻⁵ (sans unité).
3. Calcul du Raccourcissement Total (\(\Delta L\))
Le raccourcissement total de la poutre est obtenu en multipliant la déformation unitaire par la longueur initiale de la poutre. La formule est :
\[ \Delta L = \varepsilon \times L \]
Données :
- Déformation, \(\varepsilon \approx 1,90476 \times 10^{-5}\)
- Longueur de la poutre, \(L = 8 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \Delta L = 1,90476 \times 10^{-5} \times 8 \] \[ \Delta L \approx 1,52381 \times 10^{-4} \, \text{m} \]
Pour exprimer ce résultat en millimètres, on convertit :
\[ \Delta L \approx 1,52381 \times 10^{-4} \, \text{m} \times 1000 \] \[ \Delta L = 0,15238 \, \text{mm} \]
Conclusion :
Le raccourcissement total de la poutre est d’environ 0,1524 mm.
Résumé Final
- Contrainte (σ) : 4 MPa
- Déformation (ε) : 1,90 × 10⁻⁵
- Raccourcissement (ΔL) : 0,1524 mm
Contrainte et Raccourcissement dans une Poutre
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