Contrainte et Raccourcissement dans une Poutre
📝 Situation du Projet : Réhabilitation d'Ouvrage Historique
Dans le cadre prestigieux de la réhabilitation lourde du Grand Hall d'Exposition, un bâtiment classé du XIXe siècle caractérisé par sa structure mixte maçonnerie/acier, nous faisons face à une pathologie structurelle majeure sur la file B. L'un des piliers en fonte d'origine présente des fissures critiques nécessitant son remplacement intégral par une structure moderne habillée à l'identique.
Pour permettre cette opération délicate sans déstabiliser la charpente métallique historique qu'il soutient, une structure de reprise en sous-œuvre provisoire (butonnage) doit être mise en place. Ce système temporaire devra supporter l'intégralité des charges de toiture pendant la dépose du pilier existant et la construction du nouveau porteur.
Votre bureau d'études structure a été expressément mandaté pour justifier le dimensionnement de l'élément clé de ce dispositif : un étai de haute capacité (buta) constitué d'un tube creux en acier de construction. Ce composant sera soumis à une charge de compression pure axiale massive, transmise via des vérins hydrauliques asservis lors de la mise en charge active.
L'enjeu technique est double et ne tolère aucune approximation : d'une part, assurer la résistance mécanique de l'acier pour éviter toute plastification ou ruine sous la charge extrême ; d'autre part, et c'est crucial pour un bâtiment historique, contrôler strictement le raccourcissement élastique du tube. Un tassement excessif de l'étai entraînerait un affaissement de la charpente soutenue, risquant de briser les vitrages d'époque de la verrière zénithale, irremplaçables.
En tant qu'Ingénieur Structure confirmé, vous devez valider la note de calculs d'exécution. Votre tâche consiste à vérifier le taux de contrainte normale dans le tube d'étaiement proposé et à calculer son raccourcissement axial exact sous la charge de service (ELS). Vous conclurez formellement sur la validité de la solution technique proposée au regard des tolérances strictes du projet.
"Attention, bien que le flambement soit un risque majeur pour un élément élancé, cet exercice se concentre exclusivement sur la résistance en section courante (compression pure) et la déformation axiale. Le flambement a été vérifié par ailleurs et est jugé conforme grâce aux maintiens latéraux."
L'ensemble des paramètres techniques définis ci-dessous constitue la base contractuelle de l'étude. Ces valeurs sont issues des relevés sur site (géométrie), des fiches techniques fournisseurs (matériaux) et de la descente de charges validée par le bureau de contrôle.
📚 Référentiel Normatif
Les calculs doivent être menés en stricte conformité avec les standards européens en vigueur pour la construction métallique :
Eurocode 3 (EN 1993-1-1) RDM Classique (Loi de Hooke)Le choix s'est porté sur un acier de nuance S355 (J2). Ce matériau offre un compromis idéal entre une résistance mécanique élevée (permettant de réduire la section et donc le poids propre) et une bonne ductilité, nécessaire pour garantir la sécurité en cas de redistribution imprévue des efforts lors des phases de transfert de charge.
| PROPRIÉTÉS MÉCANIQUES | |
| Nuance d'Acier | S355 (Structurel) |
| Limite Élastique (\(f_y\)) | 355 MPa (N/mm²) |
| Module de Young (\(E\)) | 210 000 MPa (GPa) |
📐 Géométrie du Tube (Section Creuse)
L'encombrement au sol étant contraint par les flux de circulation du public qui doivent être maintenus pendant les travaux, le diamètre extérieur de l'étai est strictement limité à 200 mm. La longueur libre correspond à la hauteur sous poutre mesurée in-situ.
- Longueur Libre (\(L\)): 4,50 m
- Diamètre Extérieur (\(D\)): 200 mm
- Épaisseur de paroi (\(t\)): 10 mm
⚖️ Sollicitations (Charges ELS)
La charge de dimensionnement a été calculée selon la descente de charges (Poids propre toiture + Neige + Vent), pondérée à l'État Limite de Service (ELS) sous combinaison quasi-permanente, car c'est la déformation qui pilote le dimensionnement.
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Effort Normal | \(N\) | 850 | kN |
| Diamètre Extérieur | \(D\) | 200 | mm |
| Épaisseur | \(t\) | 10 | mm |
| Module d'Élasticité | \(E\) | 210 000 | MPa |
E. Protocole de Résolution
Pour valider cet élément de structure critique, nous allons suivre une méthodologie rigoureuse, partant de la géométrie pure pour aboutir aux vérifications de sécurité.
Calcul des Propriétés Géométriques
Déterminer l'aire de la section transversale \(A\) de l'acier qui participe effectivement à la reprise de charge, en excluant le vide central du tube.
Vérification de la Contrainte Normale
Calculer la contrainte de compression \(\sigma\) au sein du matériau et la comparer à la limite d'élasticité \(f_y\) de l'acier S355 pour assurer la sécurité structurelle.
Estimation du Raccourcissement
Utiliser la loi de Hooke pour prédire de combien de millimètres (\(\Delta L\)) le poteau va se tasser sous la charge de 850 kN.
Validation Technique
Conclure sur l'acceptabilité de la déformation vis-à-vis des tolérances du bâti existant.
Contrainte et Raccourcissement dans une Poutre
🎯 Objectif
L'objectif fondamental de cette première étape est de quantifier avec précision la quantité de matière disponible pour résister à l'effort de compression. En Résistance des Matériaux, l'effort ne se propage pas dans le vide mais uniquement dans la matière solide. Pour un tube structurel, il est donc crucial de calculer l'aire de la couronne circulaire (l'anneau d'acier) et non l'aire du disque plein défini par le diamètre extérieur. Cette valeur, notée \(A\), représente la section nette transversale. Elle constitue le dénominateur commun de tous nos calculs de contrainte ultérieurs : une erreur ici se propagerait linéairement dans tout le reste de la note de calcul, faussant l'estimation de la sécurité et de la déformation.
Fig 1.1 : Principe de calcul de l'aire nette : Aire du disque extérieur moins Aire du disque intérieur.
📚 Référentiel
Géométrie Euclidienne (Calculs de surfaces planes)Norme NF EN 10210 (Profils creux pour la construction)Nous sommes face à une section creuse circulaire (CHS - Circular Hollow Section). Pour calculer son aire, nous disposons théoriquement de deux approches mathématiques équivalentes : soit calculer l'aire du grand disque extérieur et soustraire l'aire du petit disque intérieur (le vide), soit utiliser directement une formule factorisée de l'anneau. Par habitude professionnelle et pour limiter les erreurs d'arrondi intermédiaires, ainsi que pour coller aux données catalogue qui fournissent souvent les diamètres plutôt que les rayons, nous privilégierons le calcul séquentiel : d'abord déterminer le diamètre intérieur \(d\) à partir du diamètre extérieur \(D\) et de l'épaisseur \(t\), puis calculer l'aire. Il est impératif de se souvenir que l'épaisseur \(t\) intervient deux fois sur le diamètre (une fois à gauche, une fois à droite sur la coupe).
L'aire \(S\) ou \(A\) d'une section est la mesure de sa surface en coupe transversale perpendiculaire à l'axe de la poutre. Pour un tube circulaire, cette surface est géométriquement définie comme l'aire comprise entre le cercle extérieur de rayon \(R_{\text{ext}}\) et le cercle intérieur de rayon \(R_{\text{int}}\). L'expression mathématique rigoureuse est la différence des aires des deux disques : \(A = \pi \cdot R_{\text{ext}}^2 - \pi \cdot R_{\text{int}}^2 = \pi \cdot (R_{\text{ext}}^2 - R_{\text{int}}^2)\). Dans la pratique industrielle, les tubes sont désignés par leur diamètre. En remplaçant le rayon \(R\) par \(D/2\), la formule devient \(A = \pi \cdot (\frac{D}{2})^2 - \pi \cdot (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi}{4} \cdot (D^2 - d^2)\). C'est cette forme que nous utiliserons.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Diamètre Extérieur (\(D\)) | 200 mm |
| Épaisseur de paroi (\(t\)) | 10 mm |
Travaillez toujours en millimètres (mm) pour les longueurs géométriques dans les calculs de structure métallique. Cela permet d'obtenir des Aires en \(mm^2\). C'est une habitude essentielle car en Résistance des Matériaux, l'unité de contrainte standard est le MPa (Mégapascal), qui est strictement équivalent à \(1 \text{ N/mm}^2\). Convertir en mètres (\(m^2\)) compliquerait inutilement les puissances de 10 par la suite.
📝 Calculs Détaillés
1. Détermination du Diamètre Intérieur (\(d\)) :
Nous devons d'abord trouver le diamètre du vide central pour pouvoir appliquer la formule de l'anneau. Nous soustrayons l'épaisseur de la paroi (10 mm) de chaque côté du diamètre extérieur.
Le diamètre intérieur libre est donc de 180 mm.
2. Calcul de l'Aire de la Section (\(A\)) :
Appliquons maintenant la formule de l'aire avec \(D=200\) et \(d=180\). Cette valeur représente la surface d'acier coupée par un plan transversal.
Nous disposons donc d'environ 5969 mm² d'acier pour résister à la charge. C'est cette "surface utile" qui va "diluer" l'effort de 850 kN. Nous arrondirons à l'entier le plus proche pour la suite des calculs, la précision au dixième de mm² n'ayant pas de sens physique au vu des tolérances de laminage.
Pour vérifier cet ordre de grandeur, imaginons que l'aire soit celle d'un rectangle déroulé de longueur \(\pi \times D_{\text{moyen}}\) et d'épaisseur \(t\). \(L_{\text{deroulée}} \approx 3,14 \times 190 \approx 600 \text{ mm}\). L'aire serait \(600 \times 10 = 6000 \text{ mm}^2\). Notre résultat de 5969 mm² est extrêmement proche de cette estimation simplifiée, ce qui confirme l'absence d'erreur de calcul grossière. Par ailleurs, par rapport à un rond plein de 200mm (Aire \(\approx 31 400 \text{ mm}^2\)), notre tube représente environ 19% de la matière, ce qui est cohérent pour un tube à paroi mince.
L'erreur la plus fréquente chez les étudiants est mathématique : calculer \((D-d)^2\) au lieu de \(D^2 - d^2\). Rappelez-vous l'identité remarquable \(a^2 - b^2 \neq (a-b)^2\) ! Une autre erreur courante est d'utiliser l'épaisseur une seule fois pour le diamètre intérieur (\(D-t\)), oubliant que le diamètre traverse deux fois l'épaisseur.
🎯 Objectif
Cette étape est le cœur de la vérification de sécurité structurelle (ELU/ELS). Il s'agit de calculer l'intensité des forces internes au cœur de la matière. La charge de 850 kN est une force macroscopique externe ; la contrainte est la réponse interne du matériau, une sorte de "pression" ressentie localement par les atomes de fer. L'objectif est de vérifier que cette pression interne reste inférieure à la capacité de résistance du matériau (la limite élastique \(f_y\)). Si la contrainte dépasse cette limite, l'acier quitte son domaine élastique réversible pour entrer dans le domaine plastique (déformation permanente) ou rompre, ce qui est inacceptable pour un étaiement.
Fig 1.2 : Répartition uniforme de la contrainte de compression sur la section.
📚 Référentiel
Eurocode 3 (Vérification des sections)Critère de Von Mises (Cas uniaxial)Le chargement appliqué est une compression centrée. Nous supposons que l'effort est parfaitement réparti sur toute la section transversale. Cette hypothèse est valide (principe de Saint-Venant) car nous vérifions la section courante, suffisamment éloignée des points d'application de la charge (tête et pied de l'étai) où des concentrations de contraintes locales peuvent apparaître. La contrainte est donc considérée comme uniforme sur toute la surface \(A\). La comparaison se fera ici par rapport à la limite élastique caractéristique \(f_y\) de l'acier S355. Pour cet exercice, nous ne pondérons pas les charges (nous restons en ELS pour simplifier et nous concentrer sur le phénomène physique), mais sur un chantier réel, nous vérifierions aussi l'ELU (État Limite Ultime) avec des coefficients de sécurité majorant les charges (1.35G + 1.5Q).
La contrainte normale, notée \(\sigma\) (sigma minuscule), représente une densité surfacique de force. Elle quantifie l'effort que doit supporter chaque millimètre carré de matière. Elle s'exprime officiellement en Pascal (Pa) dans le système international (\(1 \text{ Pa} = 1 \text{ N/m}^2\)). Cependant, les contraintes dans l'acier sont de l'ordre de plusieurs millions de Pascals. Pour éviter de manipuler des chiffres énormes, les ingénieurs utilisent quasi-exclusivement le Mégapascal (MPa). Rappelons l'équivalence fondamentale et indispensable : \(1 \text{ MPa} = 10^6 \text{ Pa} = 1 \text{ N/mm}^2\).
1. Définition de la Contrainte
C'est simplement le ratio Force / Surface :
2. Contrainte Normale Moyenne
Avec \(N\) l'effort normal (exprimé impérativement en Newton) et \(A\) l'aire de la section transversale (exprimée impérativement en mm²).
📋 Données et Conversion des Unités
| Paramètre | Valeur Initiale | Valeur Convertie (Cohérente) |
|---|---|---|
| Effort Normal (\(N\)) | 850 kN | 850 000 N (car \(1 \text{ kN} = 1000 \text{ N}\)) |
| Aire (\(A\)) | 5969 mm² | 5969 mm² |
| Limite Élastique (\(f_y\)) | 355 MPa | 355 N/mm² |
C'est ici que se joue la réussite du calcul. Ne divisez jamais des kN par des mm², vous obtiendriez des \(kN/mm^2\) (c'est-à-dire des GPa), ce qui créerait une confusion d'un facteur 1000 lors de la comparaison avec les MPa. Convertissez systématiquement vos forces en Newtons (ajoutez 3 zéros aux kN) avant de commencer. Travaillez toujours en le couple [N] et [mm²] pour obtenir directement et sans risque des [MPa].
📝 Calculs Détaillés
1. Calcul de la Contrainte de Compression (\(\sigma\)) :
Nous divisons la force totale (convertie en N) par la surface d'acier disponible (en mm²). C'est un simple calcul de moyenne.
Chaque millimètre carré de la section de tube supporte environ 142,4 Newtons (soit l'équivalent de 14,5 kg par mm²).
2. Vérification de Résistance (Critère Élastique) :
Nous devons maintenant comparer cette valeur calculée à la résistance caractéristique du matériau. L'acier S355 commence à se déformer plastiquement (irréversiblement) à 355 MPa. Calculons le taux de travail (ratio de demande sur capacité).
L'acier travaille à environ 40% de sa capacité élastique maximale. Cela signifie que nous avons une marge de sécurité confortable (coefficient de sécurité > 2) vis-à-vis de la plastification de la section.
Une contrainte de travail de 142 MPa est très réaliste en construction métallique. Les aciers sont généralement utilisés entre 50% et 80% de leur capacité à l'ELU. Ici, 40% à l'ELS est un taux tout à fait standard, voire conservateur, ce qui est souhaitable pour un étaiement provisoire. Si vous aviez trouvé 1400 MPa, il y aurait une erreur d'un facteur 10 (probablement une confusion cm²/mm²) ; si vous aviez trouvé 0,14 MPa, c'est que vous avez probablement laissé la force en N mais l'aire en m² (confusion Pa/MPa).
Attention ! Cette vérification (\(\sigma < f_y\)) est une condition nécessaire mais non suffisante. Elle valide uniquement que l'acier ne s'écrase pas sur lui-même. Cependant, pour un élément élancé comme un étai de 4,50m, le mode de ruine prépondérant est souvent le flambement (instabilité géométrique), qui peut survenir à des contraintes bien inférieures à la limite élastique. Comme indiqué dans l'énoncé, ce risque est traité séparément, mais ne doit jamais être oublié dans la réalité.
🎯 Objectif
Nous changeons maintenant de perspective : nous passons du domaine des forces (statique) au domaine des déplacements (cinématique). Il ne s'agit plus de savoir si l'étai "tient", mais de savoir comment il se "déforme". Nous voulons calculer de combien de millimètres le poteau va "rétrécir" sous la charge de 85 tonnes. Cette valeur, notée \(\Delta L\), est critique pour le projet car elle détermine le mouvement vertical que subira la charpente soutenue. Un raccourcissement trop important pourrait fissurer les matériaux fragiles (verre, maçonnerie ancienne) situés au-dessus.
Fig 1.3 : Comparaison avant/après mise en charge (déformation exagérée).
📚 Référentiel
Loi de Hooke (Élasticité linéaire isotrope)Définition de la Raideur Axiale (EA/L)Nous avons établi à la question précédente que la contrainte \(\sigma\) (142,4 MPa) est bien inférieure à la limite élastique \(f_y\) (355 MPa). Nous sommes donc assurés de rester dans le domaine élastique linéaire. Cela nous autorise à utiliser la célèbre Loi de Hooke, qui stipule que la déformation est directement proportionnelle à la contrainte appliquée. Le coefficient de proportionnalité est une constante intrinsèque du matériau : le Module de Young (\(E\)), qui représente la "raideur" ou la "rigidité" atomique de l'acier.
La loi s'écrit localement \(\sigma = E \cdot \epsilon\), où \(\sigma\) est la contrainte (MPa), \(E\) est le module d'Young (MPa) et \(\epsilon\) est la déformation relative sans unité (\(\epsilon = \Delta L / L\)). En combinant cette équation locale avec la définition globale de la contrainte (\(\sigma = N/A\)), on peut isoler le déplacement \(\Delta L\). On obtient ainsi la formule fondamentale du déplacement axial : \(\frac{N}{A} = E \cdot \frac{\Delta L}{L} \Rightarrow \Delta L = \frac{N \cdot L}{E \cdot A}\).
1. Loi de Hooke Locale
2. Définitions Mécaniques
3. Substitution
4. Formule Finale du Raccourcissement
Avec \(N\) (Effort en N), \(L\) (Longueur en mm), \(E\) (Module de Young en MPa), \(A\) (Aire en mm²).
📋 Données et Conversion des Unités
| Paramètre | Valeur Catalogue | Valeur Calcul (Unités Cohérentes) |
|---|---|---|
| Effort (\(N\)) | 850 kN | 850 000 N |
| Longueur (\(L\)) | 4,50 m | 4 500 mm (Attention conversion !) |
| Module (\(E\)) | 210 000 MPa | 210 000 N/mm² |
| Aire (\(A\)) | 5 969 mm² | 5 969 mm² |
La cohérence des unités est vitale ici. L'erreur fatale (et la plus courante) est de laisser la longueur \(L\) en mètres tout en ayant \(E\) en MPa et \(A\) en mm². Le résultat serait alors 1000 fois trop petit (en mètres) ou faux. La méthode infaillible : convertissez TOUT en Newtons et Millimètres avant de calculer. Votre résultat sortira automatiquement en millimètres.
📝 Calculs Détaillés
1. Application Numérique :
Nous insérons toutes les valeurs converties dans la formule. Remarquez comme les grands nombres (N et E) vont s'équilibrer pour donner un résultat millimétrique.
2. Résultat Final et Arrondi :
Le tube va se raccourcir d'environ 3 millimètres sous la charge maximale de service. C'est une valeur physiquement perceptible mais faible.
Pour vérifier si ce résultat est logique, calculons la déformation relative (le pourcentage de raccourcissement). \(\epsilon = 3,05 / 4500 \approx 0,00067\) soit \(0,067 \%\). L'acier peut se déformer élastiquement jusqu'à environ \(0,2 \%\). Nous sommes bien en dessous de cette limite, le résultat est donc cohérent avec un comportement élastique standard. Un résultat de 30 cm (300 mm) aurait été aberrant (l'acier aurait plastifié ou flambé bien avant).
Ce calcul théorique \(NL/EA\) ne prend en compte que le raccourcissement du fût du tube. Dans la réalité du chantier, il faut aussi tenir compte du tassement des appuis (le sol sous la fondation, les cales en bois, le jeu dans les assemblages). La "flèche" totale réelle en tête d'étai sera donc légèrement supérieure à ces 3 mm. C'est pourquoi on prévoit souvent des vérins réglables pour compenser ces tassements cumulés.
🎯 Objectif
Un calcul d'ingénierie ne sert à rien s'il n'est pas suivi d'une prise de décision éclairée. Nous avons produit deux valeurs clés : la contrainte (\(\sigma\)) et le déplacement (\(\Delta L\)). L'objectif final est de confronter ces résultats aux critères d'acceptabilité définis par le projet et les normes. C'est l'étape où l'ingénieur engage sa responsabilité en signant "Bon pour exécution" ou en demandant une modification.
📚 Référentiel
Cahier des Charges du ProjetEurocode 3 (Critères ELS)Nous avons deux critères distincts à valider pour donner notre feu vert :
1. Critère de Résistance (ELU/ELS) : L'acier est-il assez solide ? Nous avons vu que le taux de travail est de 40%, ce qui est très sain.
2. Critère de Flèche/Déformation (ELS) : La déformation est-elle compatible avec l'existant ? Pour des structures provisoires soutenant des éléments sensibles (ici une verrière historique), la tolérance est stricte. Généralement, on limite le déplacement vertical relatif à \(L/500\) ou une valeur absolue (ex: 5 à 10 mm) pour éviter la fissuration des ouvrages portés (second œuvre, vitrages).
En conception, on distingue deux grandes familles de vérifications. L'État Limite Ultime (ELU) concerne la sécurité des personnes et la stabilité de la structure (éviter l'effondrement). L'État Limite de Service (ELS) concerne le confort et le fonctionnement normal (limiter les flèches, les fissures). Ici, la déformation de l'étai est une vérification ELS critique.
📋 Données d'Entrée
| Critère | Valeur Limite | Justification |
|---|---|---|
| Contrainte Max | 355 MPa | Limite avant déformation permanente (Plastification) |
| Déformation Max | \(L/500\) | Standard Bâtiment pour éviter désordres (fissuration) |
Lors de la rédaction d'une note de calcul, terminez toujours par un tableau de synthèse clair "Valeur Calculée vs Valeur Limite". C'est ce que le contrôleur technique regardera en premier. Si le ratio est < 100%, c'est validé.
📝 Calculs Détaillés
1. Calcul de la Limite de Déformation Normative :
Calculons la valeur seuil imposée par le critère \(L/500\) pour notre hauteur de 4,50 m (4500 mm).
Le tassement ne doit donc pas dépasser 9 mm pour rester dans les clous normatifs.
2. Comparaison - Ratio de Résistance :
Nous comparons la contrainte calculée à la limite élastique.
3. Comparaison - Ratio de Déformation :
Nous comparons le déplacement calculé à la limite admissible.
Les deux indicateurs (rouge et orange) sont au vert. La marge de sécurité est importante (facteur > 2,5 sur la contrainte, facteur 3 sur la déformation), ce qui est une excellente pratique pour un étayage provisoire soumis aux aléas et vibrations de chantier.
Le profil choisi est robuste et bien dimensionné pour cette application. On pourrait théoriquement optimiser la section (prendre un tube plus fin, par exemple épaisseur 6 mm) pour économiser de la matière, car nous avons de la marge. Cependant, pour un étaiement de sécurité de grande hauteur, la rigidité supplémentaire apportée par l'épaisseur 10 mm est un gage de stabilité (meilleure résistance au choc, au flambement local et global). Le surcoût matière est négligeable par rapport à la sécurité apportée.
Bien que le tube soit validé, la mise en œuvre sera déterminante. Il faudra s'assurer de la parfaite verticalité de l'étai (pour éviter d'introduire des moments de flexion parasites) et de la qualité du calage en pied et en tête pour diffuser la charge uniformément.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 24/10/2024 | Création du document / Première diffusion | Ing. Structure |
- Eurocode 0 : Bases de calcul des structures
- Eurocode 3 : Calcul des structures en acier (EN 1993-1-1)
| Profilé | Tube Rond Creux (CHS) |
| Dimensions | Ø 200 x 10 mm |
| Nuance Acier | S355 (fy = 355 MPa) |
| Hauteur Libre | 4,50 m |
Vérification de la section courante sous charge ELS de 850 kN.
L'Ingénieur Structure
Le Chef de Projet
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