Calcul du Facteur de Sécurité d’une Poutre
Comprendre le calcul du facteur de sécurité d’une poutre
Vous êtes ingénieur en structure et devez vérifier la sécurité d’une poutre en acier dans une construction.
Le but de cet exercice est de déterminer le facteur de sécurité de cette poutre.
Comprendre le Calcul d’une poutre en acier en cliquant sur le lien.
Données de l’Exercice:
– Matériau et Propriétés
- Matériau de la poutre: Acier
- Limite d’élasticité de l’acier: \(\sigma_y = 250 \, \text{MPa}\)
– Charge et Dimensions
- Charge appliquée sur la poutre: \(F = 15 \, \text{kN}\)
- Longueur de la poutre: \(L = 4 \, \text{m}\)
- Section transversale de la poutre: Rectangle
Largeur: \(b = 150 \, \text{mm}\)
Hauteur: \(h = 300 \, \text{mm}\)
Hypothèses
- La poutre est simplement appuyée aux deux extrémités.
- La charge \(F\) est appliquée au centre de la poutre.
- La poutre est homogène et isotrope.
Questions:
1. Calcul du Moment Fléchissant Maximal (Mmax):
Utilisez la théorie des poutres en flexion pour déterminer le moment fléchissant maximal dans la poutre.
2. Calcul de la Contrainte Maximale (σmax):
Calculez la contrainte maximale dans la poutre en utilisant la formule de flexion. La contrainte de flexion maximale se produit généralement au bord le plus éloigné de l’axe neutre.
3. Calcul du Facteur de Sécurité (FS):
Le facteur de sécurité est défini comme le rapport entre la contrainte admissible (limite d’élasticité) et la contrainte maximale réelle dans la poutre. Calculez ce facteur.
Correction : calcul du facteur de sécurité d’une poutre
1. Calcul du Moment Fléchissant Maximal (Mmax)
La formule générale pour le moment fléchissant maximal dans une poutre simplement appuyée avec une charge au centre est :
\[ M_{max} = \frac{F \times L}{4} \]
En substituant les valeurs données :
- Force appliquée \( F = 15 \, kN = 15 \times 10^3 \, N \)
- Longueur de la poutre \( L = 4 \, m \)
\[ M_{max} = \frac{15 \times 10^3 \, N \times 4 \, m}{4} \] \[ M_{max} = 15 \times 10^3 \, N \times 1 \, m \] \[ M_{max} = 15 \times 10^3 \, Nm \]
Le moment fléchissant maximal \( M_{max} \) est donc \( 15 \times 10^3 \, Nm \).
2. Calcul de la Contrainte Maximale (σmax)
D’abord, nous calculons le moment d’inertie \( I \) pour une section rectangulaire. Les dimensions doivent être converties en mètres :
- Largeur \( b = 150 \, mm = 0.15 \, m \)
- Hauteur \( h = 300 \, mm = 0.3 \, m \)
La formule du moment d’inertie pour une section rectangulaire est :
\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]
En substituant par les valeurs :
\[ I = \frac{0.15 \, m \times (0.3 \, m)^3}{12} \] \[ I = \frac{0.15 \times 0.027}{12} \] \[ I = 3.375 \times 10^{-4} \, m^4 \]
La contrainte maximale \( \sigma_{max} \) se calcule ensuite en utilisant la formule de flexion, où \( y = \frac{h}{2} = 0.15 \, m \):
\[ \sigma_{max} = \frac{M_{max} \times y}{I} \] \[ \sigma_{max} = \frac{15 \times 10^3 \, Nm \times 0.15 \, m}{3.375 \times 10^{-4} \, m^4} \] \[ \sigma_{max} = 66.667 \times 10^6 \, Pa \] \[ \sigma_{max} = 66.667 \, MPa \]
3. Calcul du Facteur de Sécurité (FS)
La limite d’élasticité \( \sigma_y \) de l’acier est :
- \(\sigma_y = 250 \, MPa\)
Le facteur de sécurité se calcule comme suit :
\[ FS = \frac{\sigma_y}{\sigma_{max}} \] \[ FS = \frac{250 \, MPa}{66.667 \, MPa} \] \[ FS \approx 3.75 \]
Conclusion
Le facteur de sécurité obtenu est d’environ 3.75, ce qui est adéquat pour la plupart des applications en génie civil, indiquant que la poutre est bien dimensionnée pour supporter la charge appliquée tout en restant économique en termes de matériaux.
Calcul du facteur de sécurité d’une poutre
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