Poutre en Béton Précontraint
Comprendre le calcul de la poutre en béton précontraint:
Vous êtes ingénieur(e) en structure au sein d’une société de construction. Votre projet actuel consiste à concevoir un pont routier qui comprend plusieurs poutres en béton précontraint pour supporter le tablier du pont.
Le pont doit permettre le passage d’une route à deux voies. Chaque poutre en béton précontraint doit être calculée pour garantir la sécurité et la durabilité de la structure du pont, tout en optimisant les coûts et en respectant les normes en vigueur.
Pour comprendre le Calcul de la force de précontrainte et le Calcul des Efforts en Béton Précontraint, cliquez sur les liens.
Données:
- Longueur de la poutre: \(L = 25\) m (distance entre les appuis)
- Largeur de la poutre: \(b = 0.5\) m
- Hauteur de la poutre: \(h = 1.2\) m
- Type de béton: C30/37
- Type d’acier de précontrainte: Y1860S7
- Force de précontrainte appliquée: \(P = 1500\) kN
- Charge permanente (incluant le poids propre): \(g = 25\) kN/m
- Charge d’exploitation: \(q = 10\) kN/m
- Coefficient partiel de sécurité pour le béton: \(\gamma_c = 1.5\)
- Coefficient partiel de sécurité pour l’acier: \(\gamma_s = 1.15\)
- Déformation immédiate: (\(\varepsilon_{immediate}\)) = 500 microstrains
- Coefficient de fluage: (\(\phi\)) = 2
Questions:
1. Calcul du moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}\):
Déterminer le moment fléchissant maximal induit par les charges permanentes et d’exploitation en utilisant la théorie des poutres sur deux appuis simples. Considérer l’effet combiné de la charge permanente et de la charge d’exploitation.
2. Calcul de la contrainte initiale dans le béton due à la précontrainte:
Calculer la contrainte initiale dans la section de béton la plus éloignée de l’axe de précontrainte en considérant la force de précontrainte appliquée et les dimensions de la poutre.
3. Vérification à l’état limite ultime (ELU):
Vérifier que la poutre satisfait les conditions de résistance à l’état limite ultime en utilisant les moments fléchissants calculés et les contraintes dans le béton et dans l’acier. Utiliser les coefficients de sécurité appropriés pour le béton et l’acier.
4. Calcul des déformations à long terme:
Estimer les déformations à long terme de la poutre dues au fluage du béton. Utiliser les caractéristiques du matériau béton et l’effet de la précontrainte pour évaluer l’influence du fluage sur les déformations.
Correction : poutre en béton précontraint
1. Calcul du moment fléchissant maximal \(M_{max}\)
Données:
- Longueur de la poutre (\(L\)): 25 m
- Charge permanente (\(g\)): 25 kN/m
- Charge d’exploitation (\(q\)): 10 kN/m
Calcul:
La charge totale par unité de longueur est la somme des charges permanente et d’exploitation:
\[ q_{tot} = g + q \] \[ q_{tot} = 25 + 10 \] \[ q_{tot} = 35 \, \text{kN/m} \]
Le moment fléchissant maximal pour une poutre sur deux appuis simples sous charge uniformément répartie est donné par :
\[ M_{max} = \frac{q_{tot} \cdot L^2}{8} \] \[ M_{max} = \frac{35 \cdot (25)^2}{8} \] \[ M_{max} = 10937.5 \, \text{kNm} \]
2. Calcul de la contrainte initiale dans le béton due à la précontrainte
Données:
- Force de précontrainte appliquée (\(P\)): 1500 kN
- Dimensions de la section transversale de la poutre: largeur (\(b\)) = 0.5 m, hauteur (\(h\)) = 1.2 m
Calcul:
- L’aire de la section transversale (\(A\)) est :
\[ A = b \times h \] \[ A = 0.5 \times 1.2 = 0.6 \, \text{m}^2 \]
- La contrainte initiale dans le béton (\(\sigma_p\)) due à la précontrainte est :
\[ \sigma_p = \frac{P}{A} \] \[ \sigma_p = \frac{1500}{0.6 \times 10^3} \] \[ \sigma_p = 2.5 \, \text{MPa} \]
3. Vérification à l’état limite ultime (ELU)
Résistance caractéristique et coefficients de sécurité:
- Béton (\(f_{ck}\)): 30 MPa
- Acier (\(f_{yk}\)): 1860 MPa
- Coefficient de sécurité pour le béton (\(\gamma_c\)): 1.5
- Coefficient de sécurité pour l’acier (\(\gamma_s\)): 1.15
Résistances en compression et en traction:
- Béton:
\[ \frac{f_{ck}}{\gamma_c} = \frac{30}{1.5} = 20 \, \text{MPa} \]
- Acier:
\[ \frac{f_{yk}}{\gamma_s} = \frac{1860}{1.15} \approx 1617.39 \, \text{MPa} \]
Estimation des contraintes:
Avec le moment fléchissant maximal (\(M_{max}\)) et une section transversale rectangulaire, la contrainte dans le béton (\(\sigma_c\)) peut être approchée par :
\[ \sigma_c = \frac{M_{max}}{Z} \] \[ \sigma_c = \frac{10937.5 \times 10^3}{0.12 \times 10^3} \] \[ \sigma_c \approx 911.458 \, \text{kPa} \] \[ \sigma_c = 0.911 \, \text{MPa} \]
4. Calcul des déformations à long terme
Estimation des déformations dues au fluage:
Si l’on considère une déformation immédiate (\(\varepsilon_{immediate}\)) de 500 microstrains et un coefficient de fluage (\(\phi\)) de 2, alors :
\[ \varepsilon_{creep} = \varepsilon_{immediate} \times \phi \] \[ \varepsilon_{creep} = 500 \times 2 \] \[ \varepsilon_{creep} = 1000 \, \text{microstrains} \]
Cette déformation à long terme est indicative de l’effet du fluage sur la poutre sous les charges permanentes données.
Calcul de la poutre en béton précontraint
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