Analyse de la Contrainte et Déformation

Comprendre l’Analyse de la Contrainte et Déformation

Un nouveau pont piétonnier est en cours de conception dans une zone urbaine. La structure principale du pont comprend une série de poutres en acier disposées pour supporter la plateforme de marche. Vous êtes chargé de vérifier la résistance et la déformation d’une de ces poutres sous charge uniformément répartie.

Comprendre le Calcul de la déformation élastique et le Calcul d’une poutre en acier, cliquez sur les liens.

Données fournies:

Matériau de la poutre: Acier
Module d’élasticité de l’acier (E): 210 GPa (Gigapascals)
Moment d’inertie de la section (I): $8,000 \, \text{cm}^4$
Longueur de la poutre (L): 20 m (mètres)
Charge uniformément répartie (q): 5 kN/m (kilonewtons par mètre)

Questions:

1. Calcul du moment fléchissant maximal (M):

Le moment fléchissant maximal dans une poutre simplement appuyée sous une charge uniformément répartie

2. Calcul de la contrainte maximale dans la poutre (σ):

La contrainte maximale due au moment fléchissant, prendre $c = 15$ cm pour cet exercice

3. Calcul de la flèche maximale (δ):

La déflexion maximale au milieu de la poutre sous charge uniformément répartie

Correction : Analyse de la Contrainte et Déformation

1. Calcul du moment fléchissant maximal (M)

Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal se trouve au centre de la poutre. La formule utilisée est :

\[ M_{\text{max}} = \frac{q \cdot L^2}{8} \]

Données :

Charge uniformément répartie : $q = 5 \, \text{kN/m}$
Longueur de la poutre : $L = 20 \, \text{m}$

Calcul :

1. Calcul de $L^2$ :

\[ L^2 = 20^2 = 400 \, \text{m}^2 \]

2. Substitution dans la formule :

\[ M_{\text{max}} = \frac{5 \, \text{kN/m} \times 400 \, \text{m}^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{2000 \, \text{kN·m}}{8} \] \[ M_{\text{max}} = 250 \, \text{kN·m} \]

Résultat :
Le moment fléchissant maximal est de 250 kN·m.

2. Calcul de la contrainte maximale dans la poutre ($\sigma$)

La contrainte maximale due au moment fléchissant est calculée avec la formule :

\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]

où :

$M$ est le moment fléchissant (à convertir en N·m)
$c$ est la distance maximale de la fibre neutre (ici, $c = 15 \, \text{cm}$ qu’il faut convertir en mètres)
$I$ est le moment d’inertie de la section (à convertir en m$^4$ si nécessaire)

Données et conversions :

Moment fléchissant : $M = 250 \, \text{kN·m} = 250\,000 \, \text{N·m}$
$c = 15 \, \text{cm} = 0,15 \, \text{m}$
Moment d’inertie : $I = 8\,000 \, \text{cm}^4$
Pour convertir en m$^4$ :

\[ 1 \, \text{cm}^4 = 10^{-8} \, \text{m}^4 \quad \Longrightarrow \quad I = 8\,000 \times 10^{-8} = 8 \times 10^{-5} \, \text{m}^4 \]

Calcul :

Substitution dans la formule :

\[ \sigma = \frac{250\,000 \, \text{N·m} \times 0,15 \, \text{m}}{8 \times 10^{-5} \, \text{m}^4} \] \[ \sigma = \frac{37\,500}{8 \times 10^{-5}} \] \[ \sigma = 468\,750\,000 \, \text{Pa} \]

Résultat :
La contrainte maximale dans la poutre est de 468,75 MPa (puisque $1 \, \text{MPa} = 10^6 \, \text{Pa}$).

3. Calcul de la flèche maximale ($\delta$)

Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, la flèche maximale (au centre) se calcule avec la formule :

\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \, q \, L^4}{384 \, E \, I} \]

Données et conversions :

$q = 5 \, \text{kN/m}$
Conversion en N/m :

\[ 5 \, \text{kN/m} = 5\,000 \, \text{N/m} \]

$L = 20 \, \text{m}$
Calcul de $L^4$ :

\[ L^4 = 20^4 = 20 \times 20 \times 20 \times 20 = 160\,000 \, \text{m}^4 \]

Module d’élasticité de l’acier :
$E = 210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^9 \, \text{Pa}$
Moment d’inertie (déjà converti) :
$I = 8 \times 10^{-5} \, \text{m}^4$

Calcul :

Substitution dans la formule :

\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \times 5\,000 \, \text{N/m} \times 160\,000 \, \text{m}^4}{384 \times 210 \times 10^9 \, \text{Pa} \times 8 \times 10^{-5} \, \text{m}^4} \] \[ \delta_{\text{max}} = \frac{4\,000\,000\,000}{6\,451\,200\,000} \] \[ \delta_{\text{max}} \approx 0,62 \, \text{m} \]

Résultat :
La flèche maximale de la poutre est d’environ 0,62 m.

Analyse de la Contrainte et Déformation

D’autres exercices de Rdm: