Analyse des Forces dans une Poutre
Comprendre l’Analyse des Forces dans une Poutre
Vous êtes ingénieur civil et vous travaillez sur la conception d’une passerelle piétonne au-dessus d’un petit ruisseau. La passerelle est soutenue par une poutre en acier simplement appuyée à ses deux extrémités.
La poutre doit supporter non seulement son propre poids, mais aussi le poids des piétons qui peuvent l’utiliser simultanément ainsi que celui des éléments de sécurité et de décoration.
Comprendre le Calcul l’effort tranchant et le moment, cliquez sur le lien.
Données de l’exercice:
- Longueur de la poutre, \( L \): 20 mètres
- Poids propre de la poutre (charge uniformément répartie), \( w \): 300 N/m
- Charge due aux piétons (modélisée comme une charge uniformément répartie supplémentaire), \( w_p \): 500 N/m
- Poids des éléments de sécurité et décoration (considérés comme des charges ponctuelles à divers points), répartis comme suit:
– \( P_1 \): 1000 N au point situé à 5 m du support gauche
– \( P_2 \): 1500 N au point situé à 12 m du support gauche
– \( P_3 \): 500 N au point situé à 18 m du support gauche
Questions:
1. Calcul des réactions d’appui :
- Déterminez les réactions aux appuis \( R_A \) et \( R_B \).
2. Diagramme des moments fléchissants :
- Tracez le diagramme des moments fléchissants pour la poutre.
- Identifiez le point où le moment fléchissant est maximal.
3. Diagramme des forces tranchantes :
- Tracez le diagramme des forces tranchantes pour la poutre.
- Identifiez les points où la force tranchante change de signe.
Correction : Analyse des Forces dans une Poutre
1. Calcul des réactions d’appui \(R_A\) et \(R_B\)
Équilibre vertical (Somme des forces verticales = 0):
\[ R_A + R_B = w \times L + w_p \times L + P_1 + P_2 + P_3 \] \[ R_A + R_B = 300 \times 20 + 500 \times 20 + 1000 + 1500 + 500 \] \[ R_A + R_B = 6000 + 10000 + 3000 = 19000 \, \text{N} \]
Équilibre des moments autour de l’appui gauche (Somme des moments = 0):
\[ R_B \times L = w \times \frac{L}{2} \times L + w_p \times \frac{L}{2} \times L + P_1 \times 5 + P_2 \times 12 + P_3 \times 18 \] \[ R_B \times 20 = 300 \times 10 \times 20 + 500 \times 10 \times 20 + 1000 \times 5 + 1500 \times 12 + 500 \times 18 \] \[ R_B \times 20 = 60000 + 100000 + 5000 + 18000 + 9000 = 194000 \, \text{Nm} \] \[ R_B = 9700 \, \text{N} \] \[ R_A = 19000 – 9700 \] \[ R_A = 9300 \, \text{N} \]
2. Diagramme des moments fléchissants
Calcul des moments à des points clés:
- Au point A (0 m):
\[ M_A = 0 \, \text{Nm} \]
- Au point juste avant \(P_1\) (5 m):
\[ M_{5^-} = R_A \times 5 – w \times 5 \times \frac{5}{2} – w_p \times 5 \times \frac{5}{2} \] \[ M_{5^-} = 9300 \times 5 – 300 \times 2.5 \times 5 – 500 \times 2.5 \times 5 \] \[ M_{5^-} = 36500 \, \text{Nm} \]
- Au point juste après \(P_1\) (5 m):
\[ M_5^+ = M_5^- – P_1 \times 0 = 36500 \text{ Nm} \]
(pas de changement immédiat après charge ponctuelle sans distance)
- Au point juste avant \(P_2\) (12 m):
\[ M_{12^-} = R_A \times 12 – w \times 12 \times \frac{12}{2} – w_p \times 12 \times \frac{12}{2} – P_1 \times (12 – 5) \] \[ M_{12^-} = 9300 \times 12 – 300 \times 6 \times 12 – 500 \times 6 \times 12 – 1000 \times 7 \] \[ M_{12^-} = 48000 \, \text{Nm} \]
- Au point juste après \(P_2\) (12 m):
\[ M_{12} + = M_{12}^- – P_2 \times 0 = 48000 \, \text{Nm} \]
(pas de changement immédiat après charge ponctuelle sans distance)
Au point juste avant \(P_3\) (18 m):
\[ M_{18^-} = R_A \times 18 – w \times 18 \times \frac{18}{2} – w_p \times 18 \times \frac{18}{2} – P_1 \times (18 – 5) – P_2 \times (18 – 12) \] \[ M_{18^-} = 9300 \times 18 – 300 \times 9 \times 18 – 500 \times 9 \times 18 – 1000 \times 13 – 1500 \times 6 \] \[ M_{18^-} = 24800 \, \text{Nm} \]
- Au point B (20 m):
\[ M_B = 0 \, \text{Nm} \]
3. Diagramme des forces tranchantes
- Au point A (0 m):
\[ V_A = R_A = 9300\, \text{N} \]
- Au point juste avant \(P_1\) (5 m):
\[ V_{5-} = R_A – (w + w_p) \times 5 \] \[ V_{5-} = 9300 – 800 \times 5 \] \[ V_{5-} = 5300\, \text{N} \]
- Juste après \(P_1\) (5 m):
\[ V_{5+} = V_{5-} – P_1 \] \[ V_{5+} = 5300 – 1000 \] \[ V_{5+} = 4300\, \text{N} \]
- Au point juste avant \(P_2\) (12 m):
\[ V_{12-} = V_{5+} – (w + w_p) \times (12 – 5) \] \[ V_{12-} = 4300 – 800 \times 7 \] \[ V_{12-} = -1300\, \text{N} \]
(signe négatif indique un changement de direction)
- Juste après \(P_2\) (12 m):
\[ V_{12+} = V_{12-} – P_2 \] \[ V_{12+} = -1300 – 1500 \] \[ V_{12+} = -2800\, \text{N} \]
- Au point juste avant \(P_3\) (18 m):
\[ V_{18-} = V_{12+} – (w + w_p) \times (18 – 12) \] \[ V_{18-} = -2800 – 800 \times 6 \] \[ V_{18-} = -7600\, \text{N} \]
- Juste après \(P_3\) (18 m):
\[ V_{18+} = V_{18-} – P_3 \] \[ V_{18+} = -7600 – 500 \] \[ V_{18+} = -8100\, \text{N} \]
- Au point B (20 m):
\[ V_B = V_{18+} + R_B \] \[ V_B = -8100 + 9700 \] \[ V_B = 1600\, \text{N} \]
Analyse des Forces dans une Poutre
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