Calcul l’effort tranchant et le moment

Comprendre le calcul l’effort tranchant et le moment :

Vous êtes ingénieur en structure et vous devez analyser une poutre simplement appuyée. Cette poutre supporte plusieurs charges réparties et concentrées.

Données

• Longueur de la poutre, $L$: 6 m
• Une charge uniformément répartie de 3 kN/m sur toute la longueur de la poutre.
• Une charge ponctuelle de 10 kN appliquée à 2 m du support gauche.
• Une charge ponctuelle de 5 kN appliquée à 4 m du support gauche.

En savoir plus sur le Tracé d’Effort Tranchant et du Moment Fléchissant

Questions

1. Réaction aux Appuis : Calculez les réactions aux appuis de la poutre.
2. Effort Tranchant $V(x)$ :
   • Tracez le diagramme de l’effort tranchant pour la poutre.
   • Calculez l’effort tranchant à 1 m, 3 m et 5 m de l’extrémité gauche.
3. Moment Fléchissant $M(x)$ :
   • Tracez le diagramme du moment fléchissant pour la poutre.
   • Calculez le moment fléchissant à 1 m, 3 m et 5 m de l’extrémité gauche.
4. Point de Moment Maximal : Déterminez la position et la valeur du moment maximal dans la poutre.

Indications

• Considérez la poutre comme étant en équilibre statique.
• Utilisez les principes de la mécanique des milieux continus pour résoudre l’exercice.
• N’oubliez pas que l’effort tranchant change aux points où il y a des charges appliquées.

Correction : Calcul l’effort tranchant et moment

1. Réaction aux Appuis

Pour une poutre simplement appuyée, les réactions aux appuis sont calculées en utilisant l’équilibre statique.

• Équilibre Vertical :
  \begin{equation*}
  \sum F_y = 0
  \end{equation*}
• Équilibre de Moment :
  \begin{equation*}
  \sum M = 0
  \end{equation*}

Soient \( R_A \) et \( R_B \) les réactions aux appuis gauche et droit, respectivement.

• Charge totale due à la distribution uniforme :
  \begin{equation*}
  3 \, \text{kN/m} \times 6 \, \text{m} = 18 \, \text{kN}.
  \end{equation*}
• La force résultante de la charge distribuée agit au centre de la poutre, soit à 3 m de chaque appui.
• Application des équations d’équilibre :
  \begin{align*}
  R_A + R_B &= 18 \, \text{kN} + 10 \, \text{kN} + 5 \, \text{kN} \\
  R_A + R_B &= 33 \, \text{kN}
  \end{align*}

Pour le moment (en prenant le moment autour de A) :

\(R_B \times 6 \, \text{m} = 18 \, \text{kN} \times 3 \, \text{m} + 10 \, \text{kN} \times 2 \, \text{m} + 5 \, \text{kN} \times 4 \, \text{m}\)
\begin{align*} R_B &= \frac{54 + 20 + 20}{6} \, \text{kN} \\
R_B &= 15.67 \, \text{kN} \\
R_A &= 33 – 15.67 = 17.33 \, \text{kN}
\end{align*}

2. Effort Tranchant \(V(x)\)

• 0 – 2 m :

\(V(x)\) commence à 17.33 kN à l’appui A.

À 2 m, \(V(x) = 17.33 – 3 \times 2 = 11.33 \, \text{kN}\).

• À 2 m (charge ponctuelle) :

\(V(x)\) chute de 10 kN à \(1.33 \, \text{kN}\).

• 2 – 4 m :

\(V(x)\) continue de diminuer en raison de la charge distribuée.

Juste avant 4 m, \(V(x) = 1.33 – 3 \times 2 = -4.67 \, \text{kN}\).

• À 4 m (charge ponctuelle) :

\(V(x)\) chute de 5 kN à \(-9.67 \, \text{kN}\).

• 4 – 6 m :

À l’appui B, \(V(x)\) est de -15.67 kN, en accord avec \(R_B\).

3. Moment Fléchissant \(M(x)\)

• 0 – 2 m :

Le moment augmente linéairement puis de manière quadratique à cause de la charge distribuée.

À 1 m :

\(M(1) = 17.33 \times 1 – 3 \times \frac{1}{2} \times 1^2 = 15.83 \, \text{kNm}\).

• 2 – 4 m :

Le moment continue d’augmenter, atteignant un maximum où \(V(x) = 0\).

Trouvons où \(V(x) = 0\) entre 2 m et 4 m :

Équation de l’effort tranchant dans cette section : \(V(x) = 1.33 – 3 \times (x – 2)\).
Trouver \(x\) tel que \(V(x) = 0\) :
\begin{align*}
0 &= 1.33 – 3 \times (x – 2) \\
3x – 6 &= 1.33 \\
x &\approx 2.44 \, \text{m}
\end{align*}

• Calcul du moment à \(x = 2.44 \, \text{m}\) :
  \( M(2.44) = 17.33 \times 2.44 – 3 \times \frac{2.44^2}{2} – 10 \times (2.44 – 2) \)
  \( M(2.44) \approx 19.22 \, \text{kNm} \quad \text{(valeur approximative)} \)
• 4 – 6 m :

À 5 m :

\( M(5) = 15.67 \times (6 – 5) – 3 \times \frac{1}{2} \times 1^2 = 14.17 \, \text{kNm} \).

4. Point de Moment Maximal

Le moment maximal se produit à environ \( x = 2.44 \, \text{m} \) de l’appui gauche, avec une valeur d’environ 19.22 kNm.

Diagramme de l’effort tranchant et du moment fléchissant

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