Analyse de la Stabilité d’un Pylône
Comprendre l’Analyse de la Stabilité d’un Pylône
Un ingénieur structure doit concevoir un pylône de transmission électrique en acier. La conception doit assurer que le pylône peut résister aux charges dues au vent et au poids des câbles électriques sans flamber.
L’ingénieur doit calculer la résistance au flambement latéral de la section transversale du pylône pour s’assurer que la structure est suffisamment solide.
Pour comprendre la Vérification de l’équilibre des forces verticales, cliquez sur le lien.
Données de l’Exercice:
- Matériau: Acier, avec un module d’élasticité E = 210 GPa et un module de cisaillement G = 80 GPa.
- Section transversale du pylône: Forme circulaire, diamètre extérieur D = 300 mm, épaisseur de la paroi t = 10 mm.
- Hauteur du pylône: L = 10 m.
- Charge critique de flambement latéral: À déterminer.
Questions:
1. Calculer le moment d’inertie de la section transversale I et le rayon de giration r.
2. Déterminer la charge critique de flambement latéral \(P_{\text{cr}}\) en utilisant la formule d’Euler pour le flambement, en considérant les conditions de fixation aux extrémités comme étant encastrées-libres.
3. Évaluer si le pylône peut résister à une charge de vent latéral estimée à \(F_{\text{vent}} = 15\, \text{kN}\) sans risque de flambement.
Correction : Analyse de la Stabilité d’un Pylône
1. Calcul du Moment d’Inertie et du Rayon de Giration
Moment d’inertie (I) de la section transversale:
Le moment d’inertie est une mesure de la résistance d’une section à la flexion et au flambement. Pour une section circulaire creuse, il est donné par la formule:
\[ I = \frac{\pi}{64} \left(D^4 – (D – 2t)^4\right) \]
En substituant les valeurs données:
- D = 0.3 m (diamètre extérieur)
- t = 0.01 m (épaisseur de la paroi)
\[ I = \frac{\pi}{64} \left(0.3^4 – (0.3 – 2 \times 0.01)^4\right) \] \[ I = 9.59 \times 10^{-5} \, \text{m}^4 \]
Cela signifie que le moment d’inertie de la section est de \(9.59 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\), indiquant comment la masse est distribuée dans la section transversale par rapport à son axe neutre.
Rayon de giration (r):
Le rayon de giration indique une distribution effective du matériau autour de l’axe et est crucial pour évaluer la tendance au flambement.
Il est calculé comme suit:
\[ r = \sqrt{\frac{I}{A}} \]
Avec A étant l’aire de la section transversale, calculée par:
\[ A = \frac{\pi}{4} \left(D^2 – (D – 2t)^2\right) \] \[ A = \frac{\pi}{4} \left(0.3^2 – (0.3 – 2 \times 0.01)^2\right) \] d’où: \[ A = 0.0091 \, \text{m}^2 \]
Ensuite, le rayon de giration est:
\[ r = \sqrt{\frac{9.59 \times 10^{-5}}{0.0091}} \] ce qui donne: \[ r = 0.1026 \, \text{m} \]
Ce qui reflète la compacité de la section en termes de sa résistance au flambement.
2. Calcul de la Charge Critique de Flambement Latéral
La charge critique de flambement (\(P_{\text{cr}}\)) est la charge maximale que la colonne peut supporter avant de flamber. Elle est calculée à l’aide de la formule d’Euler pour le flambement, adaptée pour une colonne encastrée-libre:
\[ P_{\text{cr}} = \frac{\pi^2 E I}{(K L)^2} \]
où E est le module d’élasticité de l’acier (\(210 \, \text{GPa}\)), K le facteur de longueur effective (2 pour encastrée-libre), et L la hauteur du pylône (\(10 \, \text{m}\)).
Ainsi, la charge critique de flambement est:
\[ = \frac{\pi^2 \times 210 \times 10^9 \times 9.59 \times 10^{-5}}{(2 \times 10)^2} \] ce qui donne: \[ P_{cr} = 496,854 \, \text{N} \]
Cette valeur représente la capacité de charge maximale avant le flambement, offrant un critère pour évaluer la sécurité de la structure.
3. Évaluation de la Résistance au Flambement
En comparant la charge critique de flambement (\(P_{\text{cr}} = 496,854 \, \text{N}\)) à la charge de vent latéral (\(F_{\text{vent}} = 15,000 \, \text{N}\)), nous constatons que \(P_{\text{cr}}\) est largement supérieure à \(F_{\text{vent}}\).
Cela signifie que le pylône est suffisamment robuste pour résister au vent latéral sans risquer de flamber.
Conclusion:
L’analyse montre que le pylône de transmission électrique est conçu pour être stable et sûr sous l’effet des charges latérales dues au vent, avec une marge de sécurité significative contre le flambement.
Analyse de la Stabilité d’un Pylône
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