EGC

Distance géodésique entre deux points

Exercice : Calcul de la Distance Géodésique

Calcul de la Distance Géodésique entre Deux Points

Contexte : La GéodésieLa science de la mesure et de la représentation de la forme et des dimensions de la Terre, ainsi que de son champ de gravité. est la discipline qui permet de résoudre des problèmes de positionnement à la surface de la Terre.

Contrairement à un plan, la Terre est une surface courbe, modélisée par un ellipsoïde de référenceUn modèle mathématique qui approxime la forme de la Terre. Le plus commun est le WGS 84.. Calculer la distance la plus courte entre deux points sur cette surface, appelée distance géodésique, est un problème fondamental en topographie, en navigation et en cartographie. Cet exercice vous guidera à travers le calcul de cette distance en utilisant les formules de Vincenty, une méthode itérative très précise.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à résoudre le "problème géodésique inverse", qui consiste à trouver la distance la plus courte et les azimuts (orientations) de départ et d'arrivée entre deux points dont les coordonnées (latitude, longitude) sont connues.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la différence entre une distance euclidienne (sur un plan) et une distance géodésique (sur un ellipsoïde).
  • Maîtriser les concepts de latitude, longitude et d'ellipsoïde de référence (WGS 84).
  • Appliquer la méthode itérative de Vincenty pour calculer une distance avec une grande précision.
  • Interpréter les résultats, y compris la distance et les azimuts.

Données de l'étude

On souhaite calculer la distance géodésique entre le parvis de Notre-Dame de Paris (Point A) et le Vieux-Port de Marseille (Point B). Les calculs seront effectués sur l'ellipsoïde WGS 84.

Coordonnées des points
Point Latitude (φ) Longitude (L)
A (Paris) 48.8530° N 2.3498° E
B (Marseille) 43.2952° N 5.3744° E
Trajet Géodésique Paris-Marseille
A (Paris) B (Marseille) Distance s ?
Paramètre de l'ellipsoïde WGS 84 Symbole Valeur
Demi-grand axe a 6 378 137,0 m
Aplatissement f 1 / 298,257223563

Questions à traiter

  1. Convertir les latitudes et longitudes en radians.
  2. Calculer le demi-petit axe (b) et la latitude réduite pour les deux points.
  3. Calculer la distance géodésique (s) entre les points A et B en utilisant la méthode de Vincenty (on se limitera à 2 itérations).
  4. Calculer l'azimut de départ (α₁) de Paris vers Marseille.
  5. Calculer l'azimut d'arrivée (α₂) à Marseille depuis Paris.

Les bases du calcul géodésique

Le calcul géodésique sur un ellipsoïde est plus complexe qu'en géométrie plane. La ligne la plus courte entre deux points n'est pas une droite, mais une géodésique. Les formules de Vincenty, publiées en 1975, sont une méthode itérative qui converge rapidement pour trouver la longueur de cette géodésique avec une précision millimétrique, même pour de très longues distances.

1. Problème Géodésique Inverse
C'est le problème que nous résolvons : étant donné les coordonnées de deux points \(\phi_1, L_1\) et \(\phi_2, L_2\), trouver la distance géodésique \(s\) entre eux, ainsi que les azimuts \(\alpha_1\) et \(\alpha_2\).

2. Latitude Réduite (U)
Pour simplifier les calculs sur l'ellipsoïde, on utilise la latitude réduite (\(U\)) qui est une projection de la latitude géodésique (\(\phi\)) sur une sphère auxiliaire. La relation est : \[ \tan(U) = (1 - f) \tan(\phi) \]

Correction : Calcul de la Distance Géodésique entre Deux Points

Question 1 : Conversion des coordonnées en radians

Principe

Les fonctions trigonométriques utilisées dans les formules géodésiques, comme dans la plupart des domaines scientifiques, opèrent sur des angles exprimés en radians. Cette unité est le standard mathématique car elle simplifie de nombreuses formules. La conversion des degrés (utilisés pour la saisie courante des coordonnées) en radians est donc une première étape indispensable et fondamentale.

Mini-Cours

Le radian est l'unité de mesure d'angle standard du Système International. Il est défini comme l'angle sous-tendu par un arc de cercle de même longueur que le rayon. Un tour complet (\(360^\circ\)) correspond à la circonférence du cercle (\(2\pi r\)), ce qui équivaut à \(2\pi\) radians. Cette relation directe avec le rayon et la circonférence en fait l'unité "naturelle" pour les calculs impliquant des fonctions trigonométriques et des dérivées.

Remarque Pédagogique

Prenez l'habitude de toujours vérifier les unités attendues par vos outils de calcul (calculatrice, logiciel, formule). Une erreur d'unité à cette étape initiale invalidera tous les calculs subséquents. C'est un réflexe de base en ingénierie.

Normes

Il n'y a pas de "norme" pour le choix des unités dans les calculs intermédiaires, mais les formules mathématiques elles-mêmes, par leur construction (par exemple, les développements en série de Taylor pour sin(x) et cos(x)), imposent l'usage des radians pour être valides.

Formule(s)

Formule de conversion Degrés vers Radians

\[ \text{angle}_{\text{rad}} = \text{angle}_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180} \]
Hypothèses

Aucune hypothèse n'est nécessaire pour cette étape, il s'agit d'une simple conversion mathématique.

Donnée(s)
PointCoordonnéeValeur (degrés)
A (Paris)Latitude \(\phi_A\)48.8530
A (Paris)Longitude \(L_A\)2.3498
B (Marseille)Latitude \(\phi_B\)43.2952
B (Marseille)Longitude \(L_B\)5.3744
Astuces

Pour une vérification rapide, souvenez-vous que \(1 \text{ radian} \approx 57.3^\circ\). Cela vous permet d'estimer rapidement l'ordre de grandeur de votre résultat. Par exemple, \(48.85^\circ\) doit être un peu moins qu'1 radian.

Schéma (Avant les calculs)
Relation Degrés et Radians sur le Cercle Unité
Angle (deg)Conversionx (π/180)Angle (rad)
Calcul(s)

Calcul de la latitude de Paris en radians

\[ \begin{aligned} \phi_{\text{A,rad}} &= 48.8530 \times \frac{\pi}{180} \\ &\approx 0.852551 \text{ rad} \end{aligned} \]

Calcul de la longitude de Paris en radians

\[ \begin{aligned} L_{\text{A,rad}} &= 2.3498 \times \frac{\pi}{180} \\ &\approx 0.041012 \text{ rad} \end{aligned} \]

Calcul de la latitude de Marseille en radians

\[ \begin{aligned} \phi_{\text{B,rad}} &= 43.2952 \times \frac{\pi}{180} \\ &\approx 0.755712 \text{ rad} \end{aligned} \]

Calcul de la longitude de Marseille en radians

\[ \begin{aligned} L_{\text{B,rad}} &= 5.3744 \times \frac{\pi}{180} \\ &\approx 0.093811 \text{ rad} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultats de la Conversion
Point A (Paris):48.8530°Conv.0.852551 radPoint B (Marseille):43.2952°Conv.0.755712 rad
Réflexions

Les valeurs obtenues sont des nombres sans dimension (le radian étant un rapport de longueurs) qui peuvent maintenant être utilisés directement dans les fonctions trigonométriques (sin, cos, tan) de n'importe quel outil de calcul scientifique configuré en mode radian.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier cette conversion et d'utiliser des degrés dans une formule attendant des radians. Cela mène à des résultats complètement erronés. Assurez-vous également que la constante \(\pi\) est utilisée avec une précision suffisante.

Points à retenir
  • La conversion Degrés vers Radians est une étape préliminaire obligatoire.
  • La formule de conversion est : \(\text{rad} = \text{deg} \times (\pi / 180)\).
Le saviez-vous ?

Le concept de radian a été développé pour simplifier les calculs en analyse et en physique. Par exemple, la dérivée de \(\sin(x)\) est \(\cos(x)\) uniquement si \(x\) est en radians. Si \(x\) était en degrés, la dérivée serait \((\pi/180)\cos(x)\), ce qui compliquerait de nombreuses équations.

FAQ
Pourquoi ne pas tout faire en degrés ?

Les formules mathématiques fondamentales (dérivées, intégrales, séries) sont établies en utilisant les radians. Les adapter pour les degrés ajouterait un facteur de conversion constant (\(\pi/180\)) dans presque chaque équation, les rendant inutilement complexes.

Résultat Final
Les coordonnées en radians sont : \(\phi_A \approx 0.852551\), \(L_A \approx 0.041012\), \(\phi_B \approx 0.755712\), \(L_B \approx 0.093811\).
A vous de jouer

Convertissez la latitude de Lyon (\(45.7578^\circ\)) en radians. (Réponse attendue : ~0.7986 rad)

Question 2 : Calcul du demi-petit axe et des latitudes réduites

Principe

Pour simplifier les calculs sur la surface complexe de l'ellipsoïde, on utilise une sphère auxiliaire. La latitude réduite (\(U\)) est la latitude sur cette sphère qui correspond à la latitude géodésique (\(\phi\)) sur l'ellipsoïde. Cette transformation permet d'utiliser des formules trigonométriques sphériques plus simples comme base pour les calculs. Le demi-petit axe (\(b\)) est une dimension fondamentale de notre ellipsoïde.

Mini-Cours

Un ellipsoïde de révolution est défini par son demi-grand axe \(a\) (rayon équatorial) et son demi-petit axe \(b\) (rayon polaire). L'aplatissement \(f = (a-b)/a\) mesure à quel point l'ellipsoïde est "écrasé" aux pôles. La latitude réduite est une construction géométrique qui projette un point de l'ellipsoïde sur une sphère de rayon \(a\) de manière à simplifier les relations trigonométriques.

Remarque Pédagogique

Considérez cette étape comme une "préparation du terrain". Nous ne calculons pas encore la distance, mais nous calculons les paramètres et transformons les coordonnées dans un système plus pratique pour les formules complexes de Vincenty qui suivront.

Normes

Les valeurs du demi-grand axe (\(a\)) et de l'aplatissement (\(f\)) sont définies par des standards internationaux. Pour le WGS 84, la référence est le rapport technique TR8350.2 du NGA (National Geospatial-Intelligence Agency) américain.

Formule(s)

Formule du demi-petit axe

\[ b = a(1 - f) \]

Formule de la latitude réduite

\[ U = \arctan((1 - f) \tan(\phi)) \]
Hypothèses

L'hypothèse fondamentale ici est que la Terre peut être modélisée avec une précision suffisante par l'ellipsoïde WGS 84. On néglige les variations locales du relief et du géoïde.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeur
Demi-grand axe (WGS 84)a6 378 137,0 m
Aplatissement (WGS 84)f1 / 298,257223563
Latitude de Paris (radians)\(\phi_{\text{A,rad}}\)0.852551
Latitude de Marseille (radians)\(\phi_{\text{B,rad}}\)0.755712
Astuces

Le terme \((1-f)\) est très proche de 1. Par conséquent, la latitude réduite \(U\) sera toujours très proche (légèrement inférieure) à la latitude géodésique \(\phi\). C'est un bon moyen de vérifier que votre calcul est cohérent.

Schéma (Avant les calculs)
Latitude Géodésique (φ) et Réduite (U)
φU

Visualisation de la projection d'un point P de l'ellipsoïde vers la sphère auxiliaire.

Calcul(s)

Calcul du demi-petit axe (b)

\[ \begin{aligned} b &= a(1 - f) \\ &= 6378137.0 \times (1 - \frac{1}{298.257223563}) \\ &\approx 6356752.3142 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la latitude réduite de Paris (U_A)

\[ \begin{aligned} U_A &= \arctan((1 - f) \tan(\phi_{\text{A,rad}})) \\ &= \arctan((1 - \frac{1}{298.257223563}) \tan(0.852551)) \\ &\approx 0.849446 \text{ rad} \end{aligned} \]

Calcul de la latitude réduite de Marseille (U_B)

\[ \begin{aligned} U_B &= \arctan((1 - f) \tan(\phi_{\text{B,rad}})) \\ &= \arctan((1 - \frac{1}{298.257223563}) \tan(0.755712)) \\ &\approx 0.752830 \text{ rad} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Paramètres de l'Ellipsoïde Calculés
a = 6378137.0 mb ≈ 6356752.3 m
Réflexions

Nous avons maintenant toutes les données d'entrée prêtes pour l'algorithme de Vincenty. Les latitudes ont été "transférées" sur une sphère, ce qui va rendre les calculs trigonométriques de la prochaine étape plus gérables.

Points de vigilance

Assurez-vous que votre calculatrice ou votre programme est en mode radian pour les fonctions `tan` et `arctan`. Une erreur fréquente est de mélanger les modes degrés et radians. Utilisez également une grande précision pour la valeur de \(f\).

Points à retenir
  • L'ellipsoïde est défini par \(a\) et \(f\) (ou \(b\)).
  • La latitude réduite \(U\) est une étape clé pour simplifier les calculs sur l'ellipsoïde.
Le saviez-vous ?

L'aplatissement de la Terre est très faible (environ 1/300). Si vous aviez un globe terrestre de 30 cm de diamètre, l'écrasement aux pôles ne serait que de 1 mm, ce qui le rendrait quasiment indiscernable d'une sphère parfaite à l'œil nu.

FAQ
Pourquoi ne pas simplement calculer sur une sphère ?

Pour de nombreuses applications (comme la navigation aérienne sur de longues distances), un modèle sphérique est suffisant. Mais pour la topographie et la géodésie de précision, l'erreur induite par un modèle sphérique (qui peut atteindre plusieurs kilomètres) n'est pas acceptable.

Résultat Final
Le demi-petit axe est \(b \approx 6356752.3142 \text{ m}\). Les latitudes réduites sont \(U_A \approx 0.849446\) rad et \(U_B \approx 0.752830\) rad.
A vous de jouer

En utilisant les données de l'exercice, calculez la latitude réduite pour un point situé à \(\phi = 60^\circ\). (Réponse attendue : ~1.041 rad ou 59.63°)

Question 3 : Calcul de la distance géodésique (s)

Principe

Le cœur de la méthode de Vincenty est un processus itératif. On ne peut pas résoudre directement la distance. On commence par une estimation, puis on utilise une série de formules complexes pour corriger cette estimation. On répète le processus jusqu'à ce que la correction devienne si petite qu'elle est négligeable. C'est le principe de la convergence numérique.

Mini-Cours

L'algorithme résout un triangle sphérique sur la sphère auxiliaire. La variable clé de l'itération est \(\lambda\), la différence de longitude sur cette sphère. On part de \(\lambda = L\) (la différence de longitude sur l'ellipsoïde) et on la raffine. Chaque itération nous donne une meilleure approximation de \(\lambda\). Une fois \(\lambda\) stabilisée, on calcule la distance angulaire \(\sigma\), puis on la convertit en distance métrique \(s\) en utilisant des coefficients (\(A\) et \(B\)) qui tiennent compte de la déformation due à l'ellipsoïde.

Remarque Pédagogique

Ne vous laissez pas intimider par la complexité des formules. L'important est de comprendre le processus : initialisation, calcul d'une série de variables intermédiaires, calcul d'une nouvelle estimation, et vérification de la convergence. C'est une approche très courante en ingénierie numérique.

Normes

Les formules de Vincenty elles-mêmes sont la "norme" pour ce type de calcul de haute précision. Elles sont une implémentation standard de la résolution du problème géodésique inverse.

Formule(s)

Formule d'itération sur Lambda

\[ \lambda_{\text{new}} = L + (1-C)f\sin\alpha(\sigma + C\sin\sigma(\dots)) \]

Formule finale de la distance

\[ s = bA(\sigma - \Delta\sigma) \]
Hypothèses

On suppose que la méthode va converger, ce qui est le cas pour la quasi-totalité des paires de points sur Terre (sauf les points quasi-antipodaux, qui nécessitent des algorithmes plus robustes).

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeur
Demi-grand axea6 378 137,0 m
Demi-petit axeb6 356 752.3142 m
Aplatissementf1 / 298.257223563
Latitude réduite A\(U_A\)0.849446 rad
Latitude réduite B\(U_B\)0.752830 rad
Différence de longitudeL0.052799 rad
Astuces

Pour des calculs manuels, il est crucial d'être très organisé et de garder de nombreuses décimales pour les variables intermédiaires afin d'éviter les erreurs d'arrondi qui pourraient empêcher la convergence ou fausser le résultat final.

Schéma (Avant les calculs)
Processus Itératif de Vincenty
Init: λ₀ = LCalculer σ, α,λᵢ₊₁Test Conv.NonOui -> Calculer s
Calcul(s)

Initialisation

\[ \lambda = L \approx 0.052799 \text{ rad} \]

Itération 1 : Calcul de Sigma

\[ \begin{aligned} \sin\sigma &\approx 0.10136 \\ \cos\sigma &\approx 0.99485 \\ \sigma &\approx 0.10156 \text{ rad} \end{aligned} \]

Itération 1 : Calcul de l'azimut et cos(2σm)

\[ \begin{aligned} \sin\alpha &\approx 0.33448 \\ \cos^2\alpha &\approx 0.88812 \\ \cos(2\sigma_m) &\approx 0.99485 \end{aligned} \]

Itération 1 : Calcul de la nouvelle estimation de Lambda

\[ C \approx 0.000186 \]
\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{new}} &= L + (1-C)f\sin\alpha(\sigma + C\sin\sigma(\dots)) \\ &\approx 0.052802 \end{aligned} \]

Calcul final : Coefficients de l'ellipsoïde

\[ u^2 = \cos^2\alpha \frac{a^2-b^2}{b^2} \approx 0.00602 \]
\[ A \approx 1.00150 \]
\[ B \approx 0.00075 \]

Calcul final : Correction de distance

\[ \Delta\sigma \approx B\sin\sigma(\cos(2\sigma_m) + \dots) \approx 7.5 \times 10^{-5} \]

Calcul final : Distance géodésique

\[ \begin{aligned} s &= bA(\sigma - \Delta\sigma) \\ &= 6356752.3142 \times 1.00150 \times (0.10156 - 7.5 \times 10^{-5}) \\ &\approx 645865 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Trajet Géodésique avec Distance Calculée
A (Paris)B (Marseille)s ≈ 645.87 km
Réflexions

La distance de 645.87 km est le chemin le plus court à la surface du modèle terrestre WGS 84. Un avion suivant cette route géodésique (un arc de grand cercle sur une sphère) consommerait le moins de carburant. Cette valeur est significativement différente de celle qu'on obtiendrait avec une géométrie plane.

Points de vigilance

La complexité des formules rend les calculs manuels sujets aux erreurs. Chaque variable intermédiaire doit être calculée avec soin. La principale difficulté réside dans l'implémentation correcte de la boucle itérative et de toutes les sous-formules.

Points à retenir
  • La distance géodésique se calcule par une méthode itérative.
  • La méthode converge en raffinant la différence de longitude \(\lambda\) sur une sphère auxiliaire.
  • Le résultat final est une distance métrique très précise.
Le saviez-vous ?

Thaddeus Vincenty, l'auteur de ces formules, a spécifiquement averti qu'elles pouvaient être instables pour des points proches d'être antipodaux (diamétralement opposés sur le globe). Des algorithmes plus modernes, comme celui de Karney (2013), sont maintenant recommandés pour une robustesse maximale dans toutes les situations.

FAQ
Combien d'itérations sont généralement nécessaires ?

La méthode de Vincenty converge extrêmement vite. Pour la plupart des lignes, 2 à 3 itérations suffisent pour atteindre une précision millimétrique.

Résultat Final
La distance géodésique calculée est \(s \approx 645,865 \text{ m}\), soit environ 645.87 km.
A vous de jouer

Sans refaire le calcul, si les deux points étaient sur l'équateur, à la même distance, l'azimut de départ serait de 90°. Quel serait l'azimut d'arrivée ?

Question 4 : Calculer l'azimut de départ (α₁)

Principe

L'azimut de départ (ou azimut direct) est l'angle, au point de départ, entre la direction du Nord vrai et la ligne géodésique menant au point d'arrivée. C'est la direction initiale à prendre pour suivre le chemin le plus court. Il est fondamental en navigation.

Mini-Cours

Pour calculer l'azimut sans ambiguïté sur un cercle de 360°, on utilise la fonction `arctan2(y, x)`. Contrairement à `arctan(y/x)` qui retourne un angle entre -90° et +90°, `arctan2` utilise les signes de `y` et `x` pour déterminer le quadrant correct de l'angle, retournant une valeur entre -180° et +180° (ou 0 et 360°), ce qui évite les erreurs d'interprétation.

Remarque Pédagogique

L'azimut est une information aussi importante que la distance. Savoir qu'il faut parcourir 646 km ne sert à rien si on ne sait pas dans quelle direction partir ! Pensez toujours à la paire {distance, direction}.

Normes

En géodésie et cartographie, l'azimut est conventionnellement mesuré depuis le Nord, dans le sens des aiguilles d'une montre, de 0° à 360°.

Formule(s)

Formule de l'azimut de départ

\[ \alpha_1 = \arctan2(\cos U_B \sin\lambda, \cos U_A \sin U_B - \sin U_A \cos U_B \cos\lambda) \]
Hypothèses

Aucune nouvelle hypothèse. Le calcul découle directement des résultats de l'itération de la question 3.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeur
Latitude réduite A\(U_A\)0.849446 rad
Latitude réduite B\(U_B\)0.752830 rad
Différence de longitude convergée\(\lambda\)0.052802 rad
Astuces

Vous pouvez estimer grossièrement l'azimut en regardant les coordonnées : Marseille est au Sud-Est de Paris. L'azimut doit donc être entre 90° (Est) et 180° (Sud). Attention, cette estimation peut être faussée par les projections cartographiques ! Le calcul est plus fiable.

Schéma (Avant les calculs)
Définition de l'Azimut de Départ (α₁)
NordAvers Bα₁
Calcul(s)

Calcul de l'argument y

\[ \begin{aligned} y &= \cos(U_B) \times \sin(\lambda) \\ &= \cos(0.752830) \times \sin(0.052802) \\ &\approx 0.03853 \end{aligned} \]

Calcul de l'argument x

\[ \begin{aligned} x &= \cos(U_A)\sin(U_B) - \sin(U_A)\cos(U_B)\cos(\lambda) \\ &\approx 0.10398 \end{aligned} \]

Calcul de l'azimut en radians

\[ \alpha_1 = \arctan2(0.03853, 0.10398) \approx 0.3551 \text{ rad} \]

Conversion en degrés

\[ \begin{aligned} \alpha_{1,\text{deg}} &= 0.3551 \times \frac{180}{\pi} \\ &\approx 20.35^\circ \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Azimut de Départ Calculé
NordAvers B20.35°
Réflexions

Un azimut de 20.35° correspond à une direction Nord-Nord-Est. Cela peut paraître surprenant, on s'attendrait à une direction plus Sud-Est. C'est l'effet de la projection de la route géodésique sur un plan : le chemin le plus court sur un globe ne suit pas une ligne de cap constant (loxodromie).

Points de vigilance

L'ordre des arguments dans la fonction `arctan2` peut varier selon les logiciels (`arctan2(y, x)` est le plus courant). Une inversion mènerait à un azimut erroné. Vérifiez toujours la documentation de votre outil.

Points à retenir
  • L'azimut de départ donne la direction initiale du chemin le plus court.
  • Il est calculé à partir des variables finales de l'itération de Vincenty.
Le saviez-vous ?

Les premières méthodes de calcul de la géodésique ont été développées par de grands mathématiciens comme Legendre et Bessel au 19ème siècle, bien avant l'avènement des ordinateurs, nécessitant des calculs logarithmiques longs et fastidieux.

FAQ
Cet azimut est-il magnétique ou géographique ?

Il s'agit de l'azimut géographique (par rapport au pôle Nord vrai). Pour l'utiliser avec une boussole, il faudrait le corriger de la déclinaison magnétique locale.

Résultat Final
L'azimut de départ de Paris vers Marseille est \(\alpha_1 \approx 20.35^\circ\).
A vous de jouer

Si vous deviez partir de Paris pour aller plein Est le long d'une géodésique, quel serait l'azimut de départ ?

Question 5 : Calculer l'azimut d'arrivée (α₂)

Principe

L'azimut d'arrivée est l'angle de la géodésique par rapport au Nord au point d'arrivée. Sur une surface courbe comme la Terre, les lignes qui représentent le Nord (les méridiens) ne sont pas parallèles entre elles (elles convergent aux pôles). Par conséquent, l'angle de la trajectoire par rapport au Nord change constamment. L'azimut d'arrivée n'est donc pas simplement l'inverse de l'azimut de départ.

Mini-Cours

Ce phénomène est appelé la convergence des méridiens. Deux méridiens sont parallèles à l'équateur mais se rejoignent aux pôles. Une ligne géodésique qui les coupe (sauf si elle est elle-même un méridien ou l'équateur) ne le fera pas avec le même angle. La différence entre l'azimut inverse de départ (\(\alpha_1+180^\circ\)) et l'azimut d'arrivée (\(\alpha_2\)) dépend de la latitude et de la distance parcourue.

Remarque Pédagogique

Comprendre que l'azimut change le long du trajet est un concept clé de la navigation sur longue distance. Un avion volant de Paris à Marseille ne maintient pas un cap constant de 20.35°, il ajuste sa trajectoire en permanence pour suivre la géodésique.

Normes

La convention pour l'azimut d'arrivée est la même que pour celui de départ : mesuré depuis le Nord, dans le sens horaire. Il représente la direction d'où l'on vient.

Formule(s)

Formule de l'azimut retour

\[ \alpha_2 = \arctan2(\cos U_A \sin\lambda, -\sin U_A \cos U_B + \cos U_A \sin U_B \cos\lambda) \]

La valeur obtenue est l'azimut retour (de B vers A). L'azimut d'arrivée (la direction de la ligne A->B au point B) est cet azimut retour \(\pm 180^\circ\).

Hypothèses

Aucune nouvelle hypothèse. Le calcul est une conséquence directe des précédents.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeur
Latitude réduite A\(U_A\)0.849446 rad
Latitude réduite B\(U_B\)0.752830 rad
Différence de longitude convergée\(\lambda\)0.052802 rad
Astuces

Pour les trajets dans l'hémisphère Nord, l'azimut d'une trajectoire Est-Ouest "tourne" vers le Sud. L'azimut d'arrivée sera donc supérieur à l'azimut de départ inverse. Pour notre trajet vers l'Est, on s'attend à ce que \(\alpha_2 > (\alpha_1 - 180^\circ)\).

Schéma (Avant les calculs)
Convergence des Méridiens
Pôle NordABα₁α₂

La géodésique (en rouge) coupe les méridiens avec des angles différents.

Calcul(s)

Calcul de l'argument y

\[ \begin{aligned} y &= \cos(U_A) \times \sin(\lambda) \\ &= \cos(0.849446) \times \sin(0.052802) \\ &\approx 0.03485 \end{aligned} \]

Calcul de l'argument x

\[ \begin{aligned} x &= -\sin(U_A)\cos(U_B) + \cos(U_A)\sin(U_B)\cos(\lambda) \\ &\approx -0.10385 \end{aligned} \]

Calcul de l'azimut retour en radians

\[ \alpha_{\text{retour}} = \arctan2(0.03485, -0.10385) \approx 2.8198 \text{ rad} \]

Conversion en degrés

\[ \begin{aligned} \alpha_{2,\text{deg}} &= 2.8198 \times \frac{180}{\pi} \\ &\approx 161.57^\circ \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Azimuts de Départ et d'Arrivée
Pôle NordAB20.35°161.57°
Réflexions

L'azimut de départ était de 20.35°. L'azimut d'arrivée est de 161.57°. On voit que \(161.57^\circ + 20.35^\circ \neq 180^\circ\). La différence, appelée convergence, est de \(1.78^\circ\). C'est une valeur significative qui ne peut être négligée en navigation précise.

Points de vigilance

L'erreur classique est de supposer que \(\alpha_2 = \alpha_1 \pm 180^\circ\). C'est uniquement vrai pour un déplacement le long d'un méridien ou de l'équateur. Il faut aussi bien interpréter le résultat de la formule, qui donne l'azimut de B vers A, et non la direction de la trajectoire en B.

Points à retenir
  • L'azimut d'arrivée est différent de l'azimut de départ inverse.
  • Ce phénomène est dû à la convergence des méridiens.
Le saviez-vous ?

La convergence des méridiens est la raison pour laquelle les routes aériennes transpolaires sur les planisphères semblent être de longues courbes. En réalité, elles suivent des géodésiques, les chemins les plus courts sur le globe.

FAQ
Cette différence est-elle toujours la même ?

Non, la convergence des méridiens est nulle à l'équateur et maximale près des pôles. Elle dépend aussi de la distance et de l'orientation de la ligne.

Résultat Final
L'azimut d'arrivée à Marseille est \(\alpha_2 \approx 161.57^\circ\).
A vous de jouer

Si on voyage le long de l'équateur vers l'Est (azimut 90°), quel sera l'azimut d'arrivée ?

Outil Interactif : Simulateur de Distance Géodésique

Utilisez les curseurs pour modifier les coordonnées du point d'arrivée (Point B) et observez en temps réel l'impact sur la distance géodésique depuis Paris (Point A). Le graphique montre l'évolution de la distance en fonction de la latitude du point B.

Paramètres du Point B
43.3 °N
5.4 °E
Résultats Clés (depuis Paris)
Distance Géodésique (km) -
Azimut de départ (°) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce qu'une "géodésique" ?

2. Quel est l'ellipsoïde de référence le plus couramment utilisé aujourd'hui, notamment par le GPS ?

3. Pourquoi la méthode de Vincenty est-elle qualifiée d'"itérative" ?

4. L'azimut de départ (\(\alpha_1\)) et l'azimut d'arrivée (\(\alpha_2\)) sont liés par :

5. Que se passe-t-il si on applique une formule de distance plane (Pythagore) sur des coordonnées géographiques pour une longue distance ?

Distance Géodésique
La distance la plus courte entre deux points à la surface d'un ellipsoïde, suivant une courbe appelée géodésique.
Ellipsoïde de référence
Un modèle mathématique de la forme de la Terre, défini par un demi-grand axe (a) et un aplatissement (f). Il sert de surface de référence pour les calculs géodésiques.
WGS 84
World Geodetic System 1984. C'est le système géodésique mondial, qui inclut un ellipsoïde de référence, utilisé par le système GPS et de nombreuses applications cartographiques.
Azimut
L'angle d'une direction mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir du Nord géographique.
Exercice : Calcul de la Distance Géodésique

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1 Commentaire
  1. Guilhem
    Guilhem sur 3 décembre 2024 à 8h43

    Vraiment je vous remercie de partager ces cours, c’est pas facile de trouver des explications ou des mises en application aussi claires, surtout quand on est plus dans le cursus scolaire depuis longtemps!
    Encore un grand merci!

    Réponse
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