Méthode Topométrique de Rayonnement
Comprendre la Méthode Topométrique de Rayonnement
vous êtes un topographe chargé de déterminer la position d’un point P inconnu sur un terrain. Vous disposez de deux points de référence A et B, dont les coordonnées sont connues.
- Point A: Coordonnées \((X_A = 100m, Y_A = 100m)\)
- Point B: Coordonnées \((X_B = 200m, Y_B = 150m)\)
Vous effectuerez des mesures à partir d’un troisième point O, dont les coordonnées sont \((X_O = 50m, Y_O = 50m)\).
Mesures:
- Angle \(\alpha\) entre la ligne OB et OP (l’angle à droite)
- Distance OP
- Distance OB
Tâches:
1. Calculez l’angle \(\beta\) entre OB et AB en utilisant les coordonnées des points A, B, et O.
2. Utilisez l’angle \(\beta\) et l’angle \(\alpha\) pour déterminer l’angle total \(\theta = \alpha + \beta\) entre AB et OP.
3. Mesurez la distance OB sur le terrain.
4. Avec la distance OB et l’angle \(\theta\), utilisez la trigonométrie pour calculer les coordonnées du point P.
Données Fournies pour l’Exercice:
- \(\alpha = 40^\circ\)
- Distance OB = 120m
Correction : Méthode Topométrique de Rayonnement
1. Calcul de l’angle \( \beta \)
Pour déterminer l’angle \( \beta \) entre la ligne OB et la ligne AB, nous utilisons les coordonnées des points A, B, et O.
Calculons d’abord les différences de coordonnées :
\[ \Delta X_{AB} = X_B – X_A \] \[ \Delta X_{AB} = 200 – 100 \] \[ \Delta X_{AB} = 100\,m \]
\[ \Delta Y_{AB} = Y_B – Y_A \] \[ \Delta Y_{AB} = 150 – 100 \] \[ \Delta Y_{AB} = 50\,m \]
\[ \Delta X_{OB} = X_B – X_O \] \[ \Delta X_{OB} = 200 – 50 \] \[ \Delta X_{OB} = 150\,m \]
\[ \Delta Y_{OB} = Y_B – Y_O \] \[ \Delta Y_{OB} = 150 – 50 \] \[ \Delta Y_{OB} = 100\,m \]
L’angle \( \beta \) est obtenu en soustrayant l’angle de OB par rapport à l’horizontale de l’angle de AB par rapport à l’horizontale :
\[ \beta = \arctan\left(\frac{\Delta Y_{AB}}{\Delta X_{AB}}\right) – \arctan\left(\frac{\Delta Y_{OB}}{\Delta X_{OB}}\right) \]
Après calcul, \( \beta \approx -7.13^\circ \) (négatif indique que OB est tourné vers la gauche par rapport à AB).
2. Calcul de l’angle \( \theta \)
L’angle \( \theta \) est la somme de \( \alpha \) et \( \beta \).
\[ \theta = \alpha + \beta \] \[ \theta = 40^\circ – 7.13^\circ \] \[ \theta = 32.87^\circ \]
3. Calcul des coordonnées du point P
Avec la distance OB et l’angle \( \theta \), nous calculons les coordonnées de P en utilisant la trigonométrie :
\[ X_P = X_O + OB \times \cos(\theta) \] \[ X_P = 50 + 120 \times \cos(32.87^\circ) \] \[ X_P \approx 150.78\,m \]
\[ Y_P = Y_O + OB \times \sin(\theta) \] \[ Y_P = 50 + 120 \times \sin(32.87^\circ) \] \[ Y_P \approx 115.14\,m \]
Résultat :
Les coordonnées estimées du point P sont \( X_P \approx 150.78\,m \) et \( Y_P \approx 115.14\,m \). Ces valeurs montrent la position de P en utilisant la méthode topométrique par rayonnement à partir du point O, en tenant compte des mesures et des calculs trigonométriques.
Méthode Topométrique de Rayonnement
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