Détente adiabatique d’un gaz dans un piston
Comprendre la Détente adiabatique d’un gaz dans un piston
Un piston contient 2 moles d’azote (N2), un gaz parfait, à une pression initiale de 5 atm et une température initiale de 300 K.
Le gaz subit une détente adiabatique (c’est-à-dire sans échange de chaleur avec l’extérieur) jusqu’à ce que sa pression atteigne 1 atm.
Données :
- Capacité calorifique à volume constant pour l’azote (Cv) = 20.8 J/mol·K
- Rapport des capacités calorifiques (γ = Cp/Cv) pour l’azote = 1.4
- R (constante des gaz parfaits) = 8.314 J/mol·K
Questions :
- Calculez la température finale du gaz après la détente.
- Déterminez le travail effectué par le gaz pendant cette détente.
- Calculez la variation de l’énergie interne du gaz.
Correction : Détente adiabatique d’un gaz dans un piston
1. Calcul de la Température Finale
Formule de Poisson:
\[ P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma
\]
Nous savons que pour un gaz parfait, \(PV = nRT\). Donc, \(V = \frac{nRT}{P}\). En substituant dans l’équation de Poisson, nous obtenons :
\[ P_1 \left(\frac{nRT_1}{P_1}\right)^\gamma = P_2 \left(\frac{nRT_2}{P_2}\right)^\gamma
\]
Nous trouvons la relation entre les températures :
\[ T_2 = T_1 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}
\]
En insérant les données :
\[ T_2 = 300 \times \left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1.4-1}{1.4}}
\]
Calculons maintenant \(T_2\) :
\[ T_2 = 300 \times \left(0.2\right)^{0.2857} \] \[ T_2 \approx 300 \times 0.6149 \] \[ T_2 \approx 184.47 \, K \]
2. Calcul du Travail Effectué
Formule du Travail:
Pour une détente adiabatique :
\[ W = \frac{P_1 V_1 – P_2 V_2}{\gamma – 1} \]
En utilisant \(V = \frac{nRT}{P}\), le travail devient :
\[ W = \frac{nR(T_1 – T_2)}{\gamma – 1}
\]
Insérons les valeurs :
\[ W = \frac{2 \times 8.314 \times (300 – 184.47)}{1.4 – 1} \] \[ W \approx \frac{16.628 \times 115.53}{0.4} \]
\[ W \approx 4803.38 \, J \]
3. Calcul de la Variation d’Énergie Interne
Formule de la Variation d’Énergie Interne :
\[ \Delta U = nC_v\Delta T \] \[ \Delta U = 2 \times 20.8 \times (184.47 – 300) \] \[ \Delta U = -4817.16 \, J \]
Conclusion
- Température finale (T2): Environ 184.47 K
- Travail effectué (W): Environ 4803.38 J
- Variation d’énergie interne (\(\Delta U\)): Environ -4817.16 J
Détente adiabatique d’un gaz dans un piston
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