Calcul d’un Mélange de Gaz Idéaux

Correction : Calcul d’un Mélange de Gaz Idéaux

1. Pression partielle de chaque composant

Imaginons un mélange de deux gaz enfermés dans le même récipient : chacun exerce une « pression partielle » comme s’il occupait seul tout le volume. La loi de Dalton nous dit que la somme des pressions partielles est égale à la pression totale. La pression partielle dépend de la « fraction molaire » du gaz, c’est-à-dire la proportion de ce gaz dans le mélange.

Fraction molaire (xi) : c’est le nombre de moles du gaz i divisé par le nombre de moles total du mélange. Par exemple, si 40 % des moles sont de l’O₂, \(x_{O_2} = 0{,}4\).

Pression totale : la pression mesurée si on considère l’ensemble des molécules de gaz. Ici, \(P_{\mathrm{total}} = 1{,}5\ \mathrm{atm}\).

On en déduit que :

\[P_i = x_i \times P_{\rm total}\]

Formule

\[P_i = x_i \;P_{\rm total}\]

Données

• Pression totale : \(P_{\mathrm{total}} = 1{,}5\ \mathrm{atm}\)
• Fraction molaire de O₂ : \(x_{O_2} = 0{,}4\)
• Fraction molaire de N₂ : \(x_{N_2} = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\)

Calculs

Pour l’O₂ :
1) On prend la fraction molaire \(0{,}4\)
2) On la multiplie par la pression totale :
\[P_{O_2} = 0{,}4 \times 1{,}5 \] \[P_{O_2} = 0,60\ \text{atm}\]

Pour le N₂ :
1) La fraction molaire est \(0{,}6\)
2) Multiplication par la pression totale :
\[P_{N_2} = 0{,}6 \times 1{,}5 \] \[P_{N_2} = 0,90\ \text{atm}\]

2. Volume total du mélange

Les gaz parfaits obéissent à l’équation d’état \(PV = nRT\). Cela signifie que pour un nombre de moles donné, la pression, le volume et la température sont reliés par la constante universelle des gaz parfaits \(R\).

Principe : si on connaît le nombre total de moles \(n\), la température \(T\) et la pression \(P\), il est possible de retrouver le volume \(V\) occupé par le gaz grâce à :

\[V = \frac{n\,R\,T}{P}\]

Formule

\[V = \frac{n_{\rm tot}\,R\,T}{P_{\rm total}}\]

Données

• Nombre total de moles : \(n_{\rm tot} = 3{,}0\ \mathrm{mol}\)
• Constante des gaz parfaits : \(R = 0{,}08206\ \mathrm{L \cdot atm/(mol \cdot K)}\)
• Température : \(T = 300\ \mathrm{K}\)
• Pression totale : \(P_{\mathrm{total}} = 1{,}5\ \mathrm{atm}\)

Calculs

1) Multiplier \(3{,}0\ \mathrm{mol}\) par \(R\) et par \(300\ \mathrm{K}\) :
\(3{,}0 \times 0{,}08206 \times 300 = 73{,}854\ (\mathrm{L \cdot atm})\)

2) Diviser par la pression \(1{,}5\ \mathrm{atm}\) :
\[V = \frac{73{,}854}{1{,}5} = 49{,}24\ \text{L}\]

3. Masse totale du mélange

Pour connaître la masse totale, on calcule d’abord la quantité de matière (en moles) de chaque gaz, puis on convertit en masse via la masse molaire.

Étape 1 : déterminer les moles de chaque gaz : \(n_i = x_i \times n_{\rm tot}\).
Étape 2 : convertir ces moles en grammes : \(m_i = n_i \times M_i\), où \(M_i\) est la masse molaire.

Formule

\[ \begin{cases} n_{O_2} = x_{O_2}\,n_{\rm tot} \\ n_{N_2} = x_{N_2}\,n_{\rm tot} \\ m_{O_2} = n_{O_2} M_{O_2} \\ m_{N_2} = n_{N_2} M_{N_2} \\ m_{\rm total} = m_{O_2} + m_{N_2} \end{cases} \]

Données

• \(n_{\rm tot} = 3{,}0\ \mathrm{mol}\)
• \(x_{O_2} = 0{,}4\)
• \(x_{N_2} = 0{,}6\)
• Masse molaire de O₂ : \(M_{O_2} = 32\ \mathrm{g/mol}\)
• Masse molaire de N₂ : \(M_{N_2} = 28\ \mathrm{g/mol}\)

Calculs

1) Moles de chaque gaz :
\[n_{O_2} = 0{,}4 \times 3{,}0 \] \[n_{O_2} = 1{,}2\ \mathrm{mol}\]
\[ n_{N_2} = 0{,}6 \times 3{,}0 \] \[ n_{N_2} = 1{,}8\ \mathrm{mol}\]

2) Masses :
\[m_{O_2} = 1{,}2\ \mathrm{mol} \times 32\ \mathrm{g/mol} \] \[m_{O_2} = 38{,}4\ \mathrm{g}\]
\[m_{N_2} = 1{,}8\ \mathrm{mol} \times 28\ \mathrm{g/mol} \] \[m_{N_2} = 50{,}4\ \mathrm{g}\]

Masse totale :
\[m_{\rm total} = 38{,}4\ \mathrm{g} + 50{,}4\ \mathrm{g} \] \[m_{\rm total} = 88{,}8\ \mathrm{g}\]

Récapitulatif des résultats

• Pression partielle de l’O₂ : \(P_{O_2} = 0{,}60\ \mathrm{atm}\)
• Pression partielle du N₂ : \(P_{N_2} = 0{,}90\ \mathrm{atm}\)
• Volume total du mélange : \(V = 49{,}24\ \mathrm{L}\)
• Masse totale du mélange : \(m_{\rm total} = 88{,}8\ \mathrm{g}\)

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