Topographie Urbaine : Planification et Calculs

1. Calcul des coordonnées des points B, C et D

1.1. Point B

• Pourquoi projeter sur deux axes ? En topographie, on travaille avec un repère cartésien : l’axe horizontal (Est–Ouest) est appelé axe \(X\) (Easting), et l’axe vertical (Nord–Sud) est appelé axe \(Y\) (Northing). Pour passer d’une direction donnée à des décalages sur ces axes, on utilise la trigonométrie.
• Rôle du sinus et du cosinus : Si on a un segment de longueur \(d\) formant un angle \(\alpha\) par rapport au Nord, la projection sur l’axe Est (horizontal) est donnée par \(\sin(\alpha)\times d\), et la projection sur l’axe Nord (vertical) par \(\cos(\alpha)\times d\). Le sinus correspond à la proportion du côté opposé à l’angle, le cosinus à la proportion du côté adjacent.

Formules :

\[ \Delta X = d \times \sin(\alpha) \quad\text{et}\quad \Delta Y = d \times \cos(\alpha) \]

Données :

• Point de départ A : \(X_A = 100,00\ \mathrm{m},\ Y_A = 200,00\ \mathrm{m}\).
• Distance \(AB\) : \(d = 50,00\ \mathrm{m}\).
• Azimut de \(AB\) : \(\alpha = 30°\) (Nord–Est).

Étapes de calcul :

1. Calculer \(\Delta X_{AB} = d \times \sin(\alpha)\). Rappel : \(\sin(30°) = 0,5\).
2. Calculer \(\Delta Y_{AB} = d \times \cos(\alpha)\). Rappel : \(\cos(30°) \approx 0,8660\).
3. Ajouter ces décalages aux coordonnées de A pour obtenir B.

Calcul :

\[ \Delta X_{AB} = 50,00 \times 0,5 = 25,00\ \mathrm{m}, \quad \Delta Y_{AB} = 50,00 \times 0,8660 = 43,30\ \mathrm{m} \]

\[ X_B = 100,00 + 25,00 = 125,00\ \mathrm{m}, \quad Y_B = 200,00 + 43,30 = 243,30\ \mathrm{m} \]

1.2. Point C

• Pour un déplacement strictement vers l’Est (axe \(X\)), rien ne change sur l’axe \(Y\).
• La valeur \(\Delta Y\) est donc nulle, et tout le déplacement se retrouve sur l’axe \(X\).

Formules :

\[ \Delta X = d, \quad \Delta Y = 0 \]

Données :

• Distance \(BC\) : \(d = 60,00\ \mathrm{m}\).
• Direction : Est pur.

Calcul :

\[ \Delta X_{BC} = 60,00\ \mathrm{m}, \quad \Delta Y_{BC} = 0\ \mathrm{m} \]

\[ X_C = 125,00 + 60,00 = 185,00\ \mathrm{m}, \quad Y_C = 243,30 + 0 = 243,30\ \mathrm{m} \]

1.3. Point D

• La direction Sud–Est correspond à un azimut de \(135°\) à partir du Nord.
• On utilise le sinus et le cosinus pour projeter le déplacement sur les axes \(X\) et \(Y\), avec une composante \(Y\) négative (vers le Sud).

Formules :

\[ \Delta X = d \times \sin(\alpha), \quad \Delta Y = d \times \cos(\alpha) \]

Données :

• Distance \(CD\) : \(d = 40,00\ \mathrm{m}\).
• Azimut de \(CD\) : \(\alpha = 135°\).

Étapes de calcul :

1. Calculer \(\sin(135°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,7071\) et \(\cos(135°) = -0,7071\).
2. Calculer \(\Delta X_{CD} = d \times 0,7071 \approx 28,28\ \mathrm{m}\).
3. Calculer \(\Delta Y_{CD} = d \times (-0,7071) \approx -28,28\ \mathrm{m}\).
4. Ajouter ces décalages à \(C\) pour obtenir \(D\).

Calcul :

\[ \Delta X_{CD} = 40,00 \times 0,7071 = 28,28\ \mathrm{m}, \quad \Delta Y_{CD} = 40,00 \times -0,7071 = -28,28\ \mathrm{m} \]

\[ X_D = 185,00 + 28,28 = 213,28\ \mathrm{m}, \quad Y_D = 243,30 - 28,28 = 215,02\ \mathrm{m} \]

2. Calcul de la surface totale du parc ABCD

• Le quadrilatère \(ABCD\) n’est pas un rectangle régulier, donc on ne peut pas multiplier deux côtés simplement.
• La méthode du "shoelace" utilise les coordonnées des sommets pour calculer l’aire : on additionne des produits croisés, puis on prend la moitié de la valeur absolue.

Formule :

\[ A = \frac{1}{2} \Bigl|\sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\Bigr|, \quad (x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1) \]

Données :

• \(A = (100,00 ; 200,00)\)
• \(B = (125,00 ; 243,30)\)
• \(C = (185,00 ; 243,30)\)
• \(D = (213,28 ; 215,02)\)

Étapes de calcul :

1. Lister les sommets dans l’ordre \(A \to B \to C \to D \to A\).
2. Calculer \(\sum x_i y_{i+1}\).
3. Calculer \(\sum y_i x_{i+1}\).
4. Soustraire, prendre la valeur absolue et diviser par 2.

Calcul :

\[ \sum x_i y_{i+1} = 100\times243,30 + 125\times243,30 + 185\times215,02 + 213,28\times200 \] \[ \sum x_i y_{i+1} = 137\,177,2 \]

\[ \sum y_i x_{i+1} = 200\times125 + 243,30\times185 + 243,30\times213,28 + 215,02\times100 \] \[ \sum y_i x_{i+1} = 143\,402,7 \]

\[ \Delta = |137\,177,2 - 143\,402,7| \] \[ \Delta = 6\,225,5 \]

\[ A = \frac{1}{2} \times 6\,225,5 = 3\,112,8\ \mathrm{m^2} \]

3. Calcul du volume de terre à excaver pour l’étang

• L’étang est un prisme droit de base rectangulaire.
• Son volume se calcule comme l’aire de la base multipliée par la hauteur (profondeur).

Formule :

\[ V = L \times l \times h \]

Données :

• Longueur \(L = 10,00\ \mathrm{m}\)
• Largeur \(l = 5,00\ \mathrm{m}\)
• Profondeur \(h = 2,00\ \mathrm{m}\)

Calcul :

\[ V = 10,00 \times 5,00 \times 2,00 \] \[ V = 100,00\ \mathrm{m^3} \]

Résumé des résultats :
1. \(B = (125,00 ; 243,30)\), \(C = (185,00 ; 243,30)\), \(D = (213,28 ; 215,02)\)
2. Surface du parc : \(3 112,8\ \mathrm{m²}\)
3. Volume pour l’étang : \(100,0\ \mathrm{m³}\)