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Système Triphasé dans une Installation

Exercice : Système Triphasé dans une Installation

Système Triphasé dans une Installation

Contexte : Le système triphaséMode de production et de distribution d'énergie électrique où trois tensions alternatives de même fréquence et amplitude sont déphasées de 120°. C'est le standard pour les applications industrielles..

Dans un atelier industriel, un moteur asynchrone triphasé est utilisé pour entraîner une machine-outil. Ce moteur est directement connecté au réseau de distribution basse tension. L'objectif de cet exercice est d'analyser les grandeurs électriques de ce récepteur (puissances, courant) et de comprendre l'importance de l'amélioration du facteur de puissanceRapport entre la puissance active (utile) et la puissance apparente (totale). Un facteur proche de 1 indique une utilisation efficace de l'énergie. pour l'installation.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de manipuler les formules fondamentales des systèmes triphasés équilibrés, d'interpréter le triangle des puissances et de comprendre l'intérêt technico-économique de la compensation de l'énergie réactive.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les différentes puissances (active, réactive, apparente) d'un récepteur triphasé.
  • Déterminer le courant de ligne absorbé par le moteur.
  • Dimensionner une batterie de condensateurs pour améliorer le facteur de puissance.
  • Quantifier le gain sur le courant de ligne après compensation.

Données de l'étude

L'installation est alimentée par un réseau triphasé équilibré. Le moteur est considéré comme le seul récepteur de l'installation pour cette étude.

Fiche Technique du Moteur
Schéma de l'installation Moteur
L1 L2 L3 M 3~ P = 15 kW cos φ = 0.82 400V / 50Hz η = 90%
Caractéristique Symbole Valeur
Tension composée du réseau \(U_{\text{L}}\) 400 V
Fréquence du réseau \(f\) 50 Hz
Puissance utile du moteur \(P_{\text{u}}\) 15 kW
Rendement du moteur \(\eta\) 90 %
Facteur de puissance du moteur \(\cos \varphi\) 0.82
Couplage des enroulements - Étoile (Y)

Questions à traiter

  1. Calculer la puissance active \(P_{\text{a}}\) absorbée par le moteur.
  2. En déduire la puissance réactive \(Q\) et la puissance apparente \(S\) du moteur.
  3. Déterminer l'intensité du courant en ligne \(I_{\text{L}}\) absorbé par le moteur.
  4. On souhaite relever le facteur de puissance de l'installation à \(\cos \varphi' = 0.95\). Calculer la capacité \(C\) de chacun des trois condensateurs identiques, couplés en triangle, nécessaires pour cette compensation.
  5. Calculer la nouvelle intensité du courant en ligne \(I_{\text{L}}'\) et conclure sur l'intérêt de l'opération.

Les bases sur les Systèmes Triphasés

Un système triphasé est constitué de trois tensions sinusoïdales de même fréquence et de même amplitude, mais déphasées de 120° les unes par rapport aux autres. C'est le mode de transport et de distribution de l'énergie électrique le plus utilisé dans le monde.

1. Triangle des Puissances
Pour un récepteur inductif comme un moteur, la puissance apparente \(S\) (en VA) est la somme vectorielle de la puissance active \(P\) (en W), qui produit le travail utile, et la puissance réactive \(Q\) (en VAR), nécessaire à la magnétisation des circuits. \[ S = \sqrt{P^2 + Q^2} \] \[ P = S \cdot \cos \varphi \quad | \quad Q = S \cdot \sin \varphi \quad | \quad \tan \varphi = \frac{Q}{P} \]

2. Formules en Triphasé Équilibré
Avec \(U_{\text{L}}\) la tension entre phases (composée) et \(I_{\text{L}}\) le courant de ligne : \[ P_{\text{a}} = \sqrt{3} \cdot U_{\text{L}} \cdot I_{\text{L}} \cdot \cos \varphi \] \[ Q = \sqrt{3} \cdot U_{\text{L}} \cdot I_{\text{L}} \cdot \sin \varphi \] \[ S = \sqrt{3} \cdot U_{\text{L}} \cdot I_{\text{L}} \]

Correction : Système Triphasé dans une Installation

Question 1 : Calculer la puissance active \(P_{\text{a}}\) absorbée par le moteur.

Principe (le concept physique)

Le moteur convertit la puissance électrique qu'il absorbe (\(P_{\text{a}}\)) en puissance mécanique sur son arbre (\(P_{\text{u}}\)). Cette conversion n'est pas parfaite à cause des pertes (chaleur par effet Joule, pertes magnétiques, frottements). Le rendement \(\eta\) caractérise cette efficacité. La puissance absorbée est donc nécessairement supérieure à la puissance utile.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le rendement d'un système est le rapport de l'énergie ou puissance utile sur l'énergie ou puissance absorbée. Pour un moteur, les pertes se décomposent en : pertes électriques (pertes Joule dans les enroulements) et pertes collectives (pertes fer et pertes mécaniques). La puissance absorbée \(P_{\text{a}}\) correspond à la puissance active facturée par le fournisseur d'électricité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Face à un problème de moteur, le premier réflexe est de distinguer la puissance mécanique (utile, sur l'arbre) de la puissance électrique (absorbée, au réseau). Le rendement est le pont entre ces deux mondes. Toujours se demander : "La puissance que l'on me donne est-elle en entrée ou en sortie du système ?"

Normes (la référence réglementaire)

La norme internationale CEI 60034-2-1 spécifie les méthodes pour déterminer les pertes et le rendement des machines électriques tournantes. Les classes de rendement (IE1 à IE5) permettent de classifier les moteurs selon leur efficacité énergétique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Relation entre rendement et puissances

\[ P_{\text{a}} = \frac{P_{\text{u}}}{\eta} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère que le moteur fonctionne à son régime nominal, c'est-à-dire que les valeurs de puissance, rendement et facteur de puissance de la plaque signalétique sont applicables.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Puissance utile\(P_{\text{u}}\)15kW
Rendement\(\eta\)90% (soit 0.9)-
Astuces(Pour aller plus vite)

Puisque le rendement est inférieur à 1, la puissance absorbée \(P_{\text{a}}\) sera toujours supérieure à la puissance utile \(P_{\text{u}}\). C'est un moyen rapide de vérifier la cohérence de son résultat. Si vous trouvez \(P_{\text{a}} < P_{\text{u}}\), vous avez probablement inversé la formule.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma de l'installation Moteur
L1L2L3M3~
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la puissance absorbée

\[ \begin{aligned} P_{\text{a}} &= \frac{15 \text{ kW}}{0.90} \\ &\approx 16.67 \text{ kW} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan des puissances du moteur
Pa = 16.67 kWMoteurPu = 15.00 kWPertes = 1.67 kW
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moteur "consomme" 16.67 kW d'électricité pour fournir 15 kW de travail mécanique. La différence, soit 1.67 kW, est dissipée sous forme de chaleur. C'est cette puissance de 16.67 kW qui sera la base pour tous les calculs électriques en amont du moteur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est de confondre puissance utile et puissance absorbée. La plaque signalétique d'un moteur indique toujours sa puissance utile (mécanique). Le rendement doit être exprimé en valeur décimale (90% = 0.90) pour le calcul.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La puissance absorbée est la puissance électrique consommée.
  • La puissance utile est la puissance mécanique fournie.
  • \(P_{\text{a}} = P_{\text{u}} / \eta\)
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les moteurs électriques représentent près de 70% de la consommation électrique dans l'industrie. L'amélioration de leur rendement, même de quelques points, a donc un impact considérable sur la consommation énergétique mondiale et les émissions de CO2.

FAQ (pour lever les doutes)
Le rendement d'un moteur est-il constant ?

Non, le rendement d'un moteur varie en fonction de sa charge. Il est maximal autour de 75-80% de sa charge nominale. Le rendement indiqué sur la plaque est celui à pleine charge.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La puissance active absorbée par le moteur est \(P_{\text{a}} \approx 16.67 \text{ kW}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant par rapport a la question)

Que deviendrait la puissance absorbée \(P_{\text{a}}\) si un moteur de même puissance utile (15 kW) avait un rendement de 85% ?

Question 2 : En déduire la puissance réactive \(Q\) et la puissance apparente \(S\).

Principe (le concept physique)

Dans un circuit alternatif, l'énergie n'est pas seulement consommée (puissance active P), elle est aussi échangée entre la source et le récepteur pour magnétiser les circuits (puissance réactive Q). La puissance apparente S est la "puissance totale" qui transite sur la ligne, et qui dimensionne les câbles et transformateurs. Ces trois puissances sont liées géométriquement par le triangle des puissances.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le triangle des puissances est la représentation vectorielle des puissances en régime sinusoïdal. La puissance active \(P\) est sur l'axe des réels. La puissance réactive \(Q\) (inductive pour un moteur) est sur l'axe imaginaire positif. La puissance apparente \(S\) est le module du nombre complexe \(S = P + jQ\). L'angle \(\varphi\) entre P et S est le déphasage entre la tension et le courant.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez toujours le triangle des puissances. Si vous connaissez deux de ses caractéristiques (par exemple un côté et un angle, comme ici \(P_{\text{a}}\) et \(\cos\varphi\)), vous pouvez trouver toutes les autres grâce aux relations trigonométriques de base (SOH CAH TOA).

Normes (la référence réglementaire)

La norme CEI 60038 fixe les tensions normalisées des réseaux, qui sont une donnée d'entrée essentielle pour les calculs de puissance. Le comptage des énergies active et réactive est défini par des standards pour permettre la facturation.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Calcul de la puissance apparente

\[ S = \frac{P_{\text{a}}}{\cos \varphi} \]

Calcul de la puissance réactive

\[ Q = P_{\text{a}} \cdot \tan \varphi \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le facteur de puissance de 0.82 est bien celui correspondant au fonctionnement nominal du moteur, pour lequel nous avons calculé la puissance active \(P_{\text{a}}\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Puissance active absorbée\(P_{\text{a}}\)16.67kW
Facteur de puissance\(\cos \varphi\)0.82-
Astuces(Pour aller plus vite)

La puissance apparente S est toujours la plus grande des trois puissances (c'est l'hypoténuse). Le résultat de S doit donc être supérieur à celui de P (16.67 kW). C'est une vérification simple et rapide.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle des puissances (générique)
PQSφ
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la puissance apparente S

\[ \begin{aligned} S &= \frac{P_{\text{a}}}{\cos \varphi} \\ &= \frac{16.67 \text{ kW}}{0.82} \\ &\approx 20.33 \text{ kVA} \end{aligned} \]

2. Calcul de l'angle de déphasage \(\varphi\)

\[ \begin{aligned} \varphi &= \arccos(0.82) \\ &\approx 34.92^\circ \end{aligned} \]

3. Calcul de la puissance réactive Q

\[ \begin{aligned} Q &= P_{\text{a}} \cdot \tan \varphi \\ &= 16.67 \text{ kW} \cdot \tan(34.92^\circ) \\ &\approx 16.67 \text{ kW} \cdot 0.698 \\ &\approx 11.63 \text{ kVAR} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Triangle des puissances avec valeurs
P = 16.67 kWQ = 11.63 kVARS = 20.33 kVAφ = 34.9°
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Pour obtenir 16.67 kW de puissance utile, l'installation doit être capable de fournir une puissance apparente de 20.33 kVA. L'écart entre les deux est dû à la puissance réactive de 11.63 kVAR que le moteur "emprunte" au réseau à chaque instant pour maintenir ses champs magnétiques.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas mélanger les unités. Si P est en kW, Q sera en kVAR et S en kVA. Attention également à la configuration de votre calculatrice (degrés ou radians) lors du calcul de la tangente à partir de l'angle.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • \(S = P / \cos\varphi\)
  • \(Q = P \cdot \tan\varphi\)
  • Le triangle des puissances est un outil fondamental pour visualiser et calculer ces grandeurs.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Certains fournisseurs d'électricité facturent la consommation de puissance réactive au-delà d'un certain seuil (généralement quand \(\tan\varphi > 0.4\), soit \(\cos\varphi < 0.93\)). C'est une incitation forte pour les industriels à compenser cette énergie.

FAQ (pour lever les doutes)
Peut-on calculer Q avec Pythagore ?

Oui, absolument. Une fois que S est calculé (\(S=20.33\) kVA), on peut utiliser \(S^2 = P^2 + Q^2\), ce qui donne \(Q = \sqrt{S^2 - P^2} = \sqrt{20.33^2 - 16.67^2} \approx 11.63\) kVAR. Les deux méthodes sont valides.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La puissance apparente est \(S \approx 20.33\) kVA et la puissance réactive est \(Q \approx 11.63\) kVAR.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant par rapport a la question)

Avec la même puissance active \(P_{\text{a}} = 16.67\) kW, quelle serait la puissance réactive Q si le facteur de puissance était très mauvais, à 0.6 ?

Question 3 : Déterminer l'intensité du courant en ligne \(I_{\text{L}}\).

Principe (le concept physique)

La puissance dans un système triphasé dépend de la tension, du courant et du facteur de puissance. Comme nous connaissons la puissance active absorbée \(P_{\text{a}}\), la tension de ligne \(U_{\text{L}}\) et le facteur de puissance \(\cos\varphi\), nous pouvons isoler le courant de ligne \(I_{\text{L}}\) à partir de la formule de puissance correspondante. Ce courant est celui qui parcourt les câbles d'alimentation du moteur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La présence du facteur \(\sqrt{3}\) dans les formules de puissance triphasée provient de la nature vectorielle des tensions et courants. Il permet de relier les grandeurs de ligne (entre phases) aux grandeurs de phase (par enroulement), que le couplage soit en étoile ou en triangle. C'est une formule universelle pour les systèmes équilibrés.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Vous avez le choix d'utiliser la formule avec P, Q ou S. Le plus sûr est d'utiliser la formule avec P, car la puissance active est souvent la donnée la plus directe et ne change pas lors de la compensation d'énergie réactive, comme nous le verrons plus tard.

Normes (la référence réglementaire)

La norme CEI 60364 (ou NF C 15-100 en France) définit les règles de calcul des courants d'emploi pour le dimensionnement des canalisations et des protections électriques. Le courant calculé ici est un courant d'emploi.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du courant de ligne

\[ I_{\text{L}} = \frac{P_{\text{a}}}{\sqrt{3} \cdot U_{\text{L}} \cdot \cos \varphi} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la tension du réseau de 400 V est stable et ne chute pas lorsque le moteur est en fonctionnement.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Puissance active absorbée\(P_{\text{a}}\)16670W
Tension composée\(U_{\text{L}}\)400V
Facteur de puissance\(\cos \varphi\)0.82-
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! Pour obtenir un courant en Ampères (A), il est impératif de convertir la puissance \(P_{\text{a}}\) de kW en W (16.67 kW = 16670 W) avant d'appliquer la formule. C'est l'une des sources d'erreur les plus communes.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma de l'installation avec courant de ligne
L1ILL2L3M3~
Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la formule

\[ \begin{aligned} I_{\text{L}} &= \frac{16670}{\sqrt{3} \cdot 400 \cdot 0.82} \\ &\approx \frac{16670}{568.5} \\ &\approx 29.32 \text{ A} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Schéma de l'installation avec valeur du courant
L1IL = 29.32 AL2L3M3~
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le courant de 29.32 A est une valeur significative. Il faudra choisir un disjoncteur et des câbles capables de supporter ce courant en permanence. Par exemple, un disjoncteur magnétothermique de calibre 32 A serait approprié.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le facteur \(\sqrt{3}\) ! C'est ce qui distingue les calculs en triphasé du monophasé. Oublier ce facteur conduirait à un courant sous-estimé et donc à un mauvais dimensionnement de l'installation.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La formule du courant de ligne en triphasé est : \(I_{\text{L}} = P_{\text{a}} / (\sqrt{3} \cdot U_{\text{L}} \cdot \cos\varphi)\).
  • Toujours utiliser les unités du Système International (W, V, A) dans les formules pour éviter les erreurs.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le courant de démarrage d'un moteur asynchrone peut atteindre 5 à 8 fois son courant nominal (\(I_{\text{L}}\)). Les protections (disjoncteurs) doivent être choisies avec une courbe de déclenchement adaptée (type D ou C) pour supporter cette surintensité brève sans disjoncter.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette formule est-elle valable pour un couplage triangle ?

Oui. Les formules de puissances avec les grandeurs de ligne (\(U_{\text{L}}\), \(I_{\text{L}}\)) sont valables que le couplage soit en étoile ou en triangle. C'est ce qui les rend si pratiques.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'intensité du courant de ligne absorbé par le moteur est \(I_{\text{L}} \approx 29.32\) A.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant par rapport a la question)

En utilisant la puissance apparente S calculée précédemment (20.33 kVA), recalculez le courant de ligne \(I_{\text{L}}\) avec la formule \(S = \sqrt{3} \cdot U_{\text{L}} \cdot I_{\text{L}}\).

Question 4 : Calculer la capacité \(C\) des condensateurs pour relever \(\cos \varphi\) à 0.95.

Principe (le concept physique)

Le moteur consomme de la puissance réactive (\(Q\)). Les condensateurs, au contraire, fournissent de la puissance réactive (\(Q_C\)). En branchant une batterie de condensateurs en parallèle avec le moteur, on compense la puissance réactive demandée par le moteur, ce qui réduit la puissance réactive globale fournie par le réseau. L'objectif est de réduire l'angle \(\varphi\) pour se rapprocher de 0°, et donc d'augmenter \(\cos \varphi\) pour qu'il soit plus proche de 1.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La compensation d'énergie réactive ne modifie pas la puissance active \(P_{\text{a}}\) consommée par le récepteur. Elle agit uniquement sur la puissance réactive \(Q\). Le nouveau triangle des puissances aura le même côté adjacent (\(P_{\text{a}}\)), mais un côté opposé (\(Q'\)) plus petit, et donc une hypoténuse (\(S'\)) plus courte.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La méthode la plus simple est de calculer la puissance réactive avant compensation (\(Q\)) et la puissance réactive désirée après (\(Q'\)). La différence \(Q_C = Q - Q'\) est la puissance que les condensateurs doivent fournir. C'est la "méthode des tangentes".

Normes (la référence réglementaire)

Les normes CEI 60831-1/2 spécifient les caractéristiques des condensateurs de puissance utilisés pour la compensation du facteur de puissance dans les réseaux basse tension.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Puissance réactive à compenser

\[ Q_{\text{C}} = P_{\text{a}} \cdot (\tan \varphi - \tan \varphi') \]

Puissance fournie par les condensateurs (couplage triangle)

\[ Q_{\text{C}} = 3 \cdot U_{\text{L}}^2 \cdot C \cdot \omega \quad \text{avec } \omega = 2\pi f \]

Capacité du condensateur

\[ C = \frac{Q_{\text{C}}}{3 \cdot U_{\text{L}}^2 \cdot \omega} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère que les condensateurs sont parfaits, c'est-à-dire qu'ils ne consomment pas de puissance active (pas de pertes).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Puissance active absorbée\(P_{\text{a}}\)16670W
Tension composée\(U_{\text{L}}\)400V
Fréquence\(f\)50Hz
Facteur de puissance initial\(\cos \varphi\)0.82-
Facteur de puissance cible\(\cos \varphi'\)0.95-
Schéma (Avant les calculs)
Schéma de la compensation
L1, L2, L3MQc
Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul de l'angle initial \(\varphi\)

\[ \begin{aligned} \varphi &= \arccos(0.82) \\ &\approx 34.92^\circ \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la tangente de l'angle initial

\[ \tan \varphi \approx 0.698 \]

Étape 3 : Calcul du nouvel angle \(\varphi'\)

\[ \begin{aligned} \varphi' &= \arccos(0.95) \\ &\approx 18.19^\circ \end{aligned} \]

Étape 4 : Calcul de la tangente du nouvel angle

\[ \tan \varphi' \approx 0.329 \]

Étape 5 : Calcul de la puissance réactive à compenser \(Q_{\text{C}}\)

\[ \begin{aligned} Q_{\text{C}} &= P_{\text{a}} \cdot (\tan \varphi - \tan \varphi') \\ &= 16670 \cdot (0.698 - 0.329) \\ &= 16670 \cdot 0.369 \\ &\approx 6151 \text{ VAR} \end{aligned} \]

Étape 6 : Calcul de la pulsation \(\omega\)

\[ \begin{aligned} \omega &= 2 \pi f \\ &= 2 \cdot \pi \cdot 50 \\ &\approx 314.16 \text{ rad/s} \end{aligned} \]

Étape 7 : Calcul de la capacité C

\[ \begin{aligned} C &= \frac{Q_{\text{C}}}{3 \cdot U_{\text{L}}^2 \cdot \omega} \\ &= \frac{6151}{3 \cdot (400)^2 \cdot 314.16} \\ &= \frac{6151}{150796800} \\ &\approx 4.08 \times 10^{-5} \text{ F} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Triangles des puissances superposés
PaQQ'SS'φφ'Qc
Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La formule de la puissance réactive fournie par les condensateurs dépend de leur couplage. Pour un couplage étoile, la formule est \(Q_C = U_L^2 \cdot C \cdot \omega\), soit 3 fois moins. Utiliser la mauvaise formule est une erreur classique.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La capacité de chaque condensateur doit être d'environ 40.8 µF.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant par rapport a la question)

Si l'on ne disposait que de condensateurs de 25 µF, quelle serait la puissance réactive \(Q_{\text{C}}\) réellement compensée par un banc de 3 de ces condensateurs en triangle ?

Question 5 : Calculer la nouvelle intensité \(I_{\text{L}}'\) et conclure.

Principe (le concept physique)

Après compensation, la puissance active absorbée par l'ensemble (moteur + condensateurs) reste la même (\(P_{\text{a}}\)), car les condensateurs sont considérés comme ne consommant pas de puissance active. Cependant, le facteur de puissance global est maintenant amélioré (\(\cos \varphi' = 0.95\)). En utilisant la même formule de puissance qu'à la question 3 mais avec le nouveau facteur de puissance, on peut calculer le nouveau courant de ligne.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La compensation de l'énergie réactive est un échange local. Le moteur demande de la puissance réactive, les condensateurs la fournissent. Le courant correspondant à cette puissance réactive "boucle" entre le moteur et les condensateurs, sans être appelé depuis le réseau en amont. Le réseau n'a donc plus qu'à fournir le courant correspondant à la puissance active et à la faible puissance réactive résiduelle.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le but de l'exercice est de quantifier le gain. Ne vous contentez pas de calculer la nouvelle valeur, comparez-la à l'ancienne ! Calculez la différence, puis le pourcentage de réduction. C'est ce qui donne du sens au calcul et permet de conclure sur l'efficacité de la solution.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Nouveau courant de ligne

\[ I_{\text{L}}' = \frac{P_{\text{a}}}{\sqrt{3} \cdot U_{\text{L}} \cdot \cos \varphi'} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Puissance active absorbée\(P_{\text{a}}\)16670W
Tension composée\(U_{\text{L}}\)400V
Nouveau facteur de puissance\(\cos \varphi'\)0.95-
Schéma (Avant les calculs)
Schéma de l'installation compensée
IL'L1, L2, L3MQc
Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la formule

\[ \begin{aligned} I_{\text{L}}' &= \frac{P_{\text{a}}}{\sqrt{3} \cdot U_{\text{L}} \cdot \cos \varphi'} \\ &= \frac{16670}{\sqrt{3} \cdot 400 \cdot 0.95} \\ &\approx \frac{16670}{658.18} \\ &\approx 25.33 \text{ A} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Schéma de l'installation avec nouveau courant
IL' = 25.33 AL1, L2, L3MQc
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comparons le courant avant et après la compensation :

  • Courant initial : \(I_{\text{L}} = 29.32 \text{ A}\)
  • Courant final : \(I_{\text{L}}' = 25.33 \text{ A}\)

La diminution du courant est de \(29.32 - 25.33 = 3.99 \text{ A}\), soit une réduction d'environ 13.6%. C'est un gain très significatif.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas recalculer le courant en utilisant la puissance apparente \(S\) d'avant la compensation. La compensation réduit la puissance apparente à une nouvelle valeur \(S'\). C'est pourquoi il est plus sûr de toujours se baser sur la puissance active \(P_{\text{a}}\) qui, elle, ne change pas.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Conclusion : L'amélioration du facteur de puissance a permis de réduire significativement le courant circulant dans les câbles d'alimentation pour la même puissance utile fournie par le moteur. Cette réduction entraîne une diminution des pertes par effet Joule dans les câbles (\(P_j = R \cdot I^2\)), une moindre sollicitation du transformateur d'alimentation, et permet d'éviter les pénalités pour consommation excessive d'énergie réactive facturées par le fournisseur d'électricité. L'opération est donc techniquement et économiquement très avantageuse.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne vise-t-on pas un cos \(\varphi\) de 1 ?

Techniquement, c'est possible mais économiquement ce n'est pas optimal. Les derniers kVAR à compenser coûtent très cher en capacité de condensateurs. De plus, une "sur-compensation" rendrait l'installation capacitive, ce qui peut causer d'autres problèmes sur le réseau (surtensions). On vise donc généralement une valeur cible comme 0.95 ou 0.96.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le nouveau courant en ligne est \(I_{\text{L}}' \approx 25.33\) A, soit une réduction notable par rapport à la situation initiale.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant par rapport a la question)

Si l'on avait visé un facteur de puissance parfait de 1, quel aurait été le courant de ligne final ?

Outil Interactif : Simulateur d'Impact du Facteur de Puissance

Utilisez les curseurs pour modifier la puissance utile et le facteur de puissance initial du moteur. Le simulateur calcule en temps réel le courant de ligne avant compensation et la capacité des condensateurs (en µF, couplage triangle) nécessaire pour atteindre un facteur de puissance cible de 0.96. Le graphique illustre la réduction de la puissance apparente.

Paramètres du Moteur
15 kW
0.82
Résultats de la Simulation
Courant de ligne initial (A) -
Capacité par phase (µF) -
Courant de ligne final (A) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. L'unité de la puissance réactive est :

2. Pour un même moteur fournissant la même puissance utile, si son facteur de puissance diminue, le courant de ligne :

3. Quel est l'objectif principal de l'amélioration du facteur de puissance ?

4. Dans un couplage étoile, la tension aux bornes d'un enroulement (V_phase) est :

5. Les condensateurs de compensation sont branchés :

Glossaire

Puissance Active (P)
Partie de la puissance qui est transformée en travail utile (mouvement, chaleur). Elle est mesurée en Watts (W) ou kilowatts (kW).
Puissance Réactive (Q)
Partie de la puissance utilisée pour créer les champs magnétiques nécessaires au fonctionnement des moteurs et transformateurs. Elle est mesurée en Voltampères Réactifs (VAR) ou kilovars (kVAR).
Puissance Apparente (S)
Puissance totale fournie par la source, qui est la somme vectorielle des puissances active et réactive. Elle est mesurée en Voltampères (VA) ou kilovoltampères (kVA).
Facteur de Puissance (\(\cos\varphi\))
Rapport entre la puissance active et la puissance apparente. Il représente l'efficacité avec laquelle l'énergie électrique est utilisée. Un facteur de puissance proche de 1 est idéal.
Couplage Étoile (Y)
Montage des enroulements d'un récepteur triphasé où une extrémité de chaque enroulement est reliée à un point commun (le neutre).
Couplage Triangle (Δ)
Montage des enroulements d'un récepteur triphasé où les enroulements sont connectés en série pour former une boucle fermée.
Système Triphasé dans une Installation

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