Sélection d’une Pompe Hydraulique
Comprendre la Sélection d’une Pompe Hydraulique
Vous êtes un ingénieur en génie civil travaillant sur la conception d’un système d’approvisionnement en eau pour une nouvelle zone résidentielle. Le projet nécessite l’installation d’une pompe pour transporter l’eau d’un réservoir principal situé en bas de la colline vers un réservoir secondaire en haut de la colline, qui fournira ensuite l’eau aux maisons de la zone. L’objectif est de sélectionner une pompe hydraulique adaptée pour accomplir cette tâche efficacement.
Données
- Altitude du réservoir principal (point A) : 150 mètres au-dessus du niveau de la mer.
- Altitude du réservoir secondaire (point B) : 210 mètres au-dessus du niveau de la mer.
- Distance horizontale entre les deux réservoirs : 800 mètres.
- Débit d’eau requis au point B : 0.05 m³/s.
- Diamètre des tuyauteries : 300 mm.
- La viscosité du fluide (eau) est de \( 1 \times 10^{-3} \) Pa.s et sa densité de 1000 kg/m³.
- La rugosité absolue des tuyauteries est de 0.15 mm.
- Considérez les pertes de charge mineures comme négligeables.
- La pression atmosphérique locale est de 101325 Pa et la gravité est de 9.81 m/s².
- Le rendement de la pompe doit être d’au moins 75%.
Questions:
1. Calculer la hauteur géométrique entre les réservoirs.
2. Déterminer la vitesse de l’eau dans le tuyau.
3. Calculer la perte de charge linéaire en utilisant la formule de Darcy-Weisbach.
4. Calculer la HMT requise pour la pompe.
5. Proposer une méthode de sélection de la pompe basée sur la HMT et le débit requis.
Correction : Sélection d’une Pompe Hydraulique
1. Calcul de la hauteur géométrique
La hauteur géométrique correspond à la différence d’altitude entre le réservoir secondaire (point B) et le réservoir principal (point A). Elle représente la hauteur statique à franchir par la pompe, indépendamment des pertes dans la tuyauterie.
Formule :
\[ h_g = h_B – h_A \]
Données :
- \(h_A = 150 \, \text{m}\)
- \(h_B = 210 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ h_g = 210 \, \text{m} – 150 \, \text{m} \] \[ h_g = 60 \, \text{m} \]
2. Détermination de la vitesse de l’eau dans le tuyau
La vitesse de l’eau se calcule à partir du débit volumique et de la section du tuyau. La section d’un tuyau circulaire est donnée par la formule de l’aire d’un cercle.
Formules :
- Section du tuyau :
\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \]
- Vitesse de l’eau :
\[ v = \frac{Q}{A} \]
Données :
- \(Q = 0.05 \, \text{m}^3/\text{s}\)
- \(D = 300 \, \text{mm} = 0.3 \, \text{m}\)
Calcul de l’aire :
\[ A = \frac{\pi \times (0.3 \, \text{m})^2}{4} \] \[ A = \frac{\pi \times 0.09 \, \text{m}^2}{4} \] \[ A \approx \frac{0.28274 \, \text{m}^2}{4} \] \[ A \approx 0.070685 \, \text{m}^2 \]
Calcul de la vitesse :
\[ v = \frac{0.05 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.070685 \, \text{m}^2} \approx 0.707 \, \text{m/s} \]
3. Calcul de la perte de charge linéaire (Darcy-Weisbach)
La perte de charge linéaire dans un tuyau se calcule avec la formule de Darcy-Weisbach qui prend en compte la longueur du tuyau, le diamètre, la vitesse d’écoulement et le facteur de frottement.
Formule générale :
\[ h_f = f \times \frac{L}{D} \times \frac{v^2}{2g} \]
Données :
- \(L = 800 \, \text{m}\)
- \(D = 0.3 \, \text{m}\)
- \(v \approx 0.707 \, \text{m/s}\)
- \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Étape 3.1 : Calcul du nombre de Reynolds
Pour déterminer le facteur de frottement \( f \), il faut d’abord calculer le nombre de Reynolds :
\[ Re = \frac{v D}{\nu} \]
où la viscosité cinématique \(\nu\) est donnée par :
\[ \nu = \frac{\mu}{\rho} = \frac{1 \times 10^{-3} \, \text{Pa.s}}{1000 \, \text{kg/m}^3} = 1 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s} \]
Calcul :
\[ Re = \frac{0.707 \, \text{m/s} \times 0.3 \, \text{m}}{1 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}} \approx 212\,100 \]
Étape 3.2 : Estimation du facteur de frottement \( f \) (formule de Swamee-Jain)
La formule de Swamee-Jain pour un écoulement turbulent est :
\[ f = \frac{0.25}{\left[\log_{10}\left(\frac{\varepsilon}{3.7D} + \frac{5.74}{Re^{0.9}}\right)\right]^2} \]
Données supplémentaires :
- \(\varepsilon = 0.15 \, \text{mm} = 0.00015 \, \text{m}\)
Calcul des termes :
\[ \frac{\varepsilon}{3.7D} = \frac{0.00015}{3.7 \times 0.3} \approx \frac{0.00015}{1.11} \approx 0.000135 \]
Calcul de \( Re^{0.9} \) :
\[ Re^{0.9} \approx 212\,100^{0.9} \quad (\text{ce qui donne environ } 62\,000) \]
\[ \frac{5.74}{Re^{0.9}} \approx \frac{5.74}{62\,000} \approx 0.0000926 \]
Somme à l’intérieur du logarithme :
\[ 0.000135 + 0.0000926 \approx 0.0002276 \]
Calcul du logarithme :
\[ \log_{10}(0.0002276) \approx -3.642 \]
Calcul du facteur \( f \) :
\[ f = \frac{0.25}{(-3.642)^2} \] \[ f = \frac{0.25}{13.266} \] \[ f \approx 0.01884 \quad (\text{arrondi à } 0.019) \]
Étape 3.3 : Calcul de la perte de charge linéaire
Calcul intermédiaire :
\[ \frac{v^2}{2g} = \frac{(0.707 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} = \frac{0.5 \, \text{m}^2/\text{s}^2}{19.62 \, \text{m/s}^2} \approx 0.0255 \, \text{m} \]
\[ \frac{L}{D} = \frac{800 \, \text{m}}{0.3 \, \text{m}} \approx 2666.67 \]
Calcul final de \( h_f \) :
\[ h_f = 0.019 \times 2666.67 \times 0.0255 \] \[ h_f \approx 1.29 \, \text{m} \]
4. Calcul de la HMT requise pour la pompe
La Hauteur Manométrique Totale (HMT) que doit développer la pompe correspond à la somme de la hauteur géométrique et de la perte de charge linéaire. Ce paramètre permet de connaître le travail hydraulique minimum à fournir par la pompe.
Formule :
\[ \text{HMT} = h_g + h_f \]
Données :
\[ h_g = 60 \, \text{m} \quad \text{et} \quad h_f \approx 1.29 \, \text{m} \]
Calcul :
\[ \text{HMT} = 60 \, \text{m} + 1.29 \, \text{m} \] \[ \text{HMT} \approx 61.29 \, \text{m} \]
Remarque sur le rendement :
Le rendement de la pompe (minimum 75 %) sera pris en compte pour le calcul de la puissance nécessaire (côté moteur). Ici, la HMT représente la hauteur hydraulique effective. Pour dimensionner la puissance du moteur, on utilisera :
\[ P = \frac{\rho \, g \, Q \, \text{HMT}}{\eta} \]
mais cette étape n’est pas demandée ici.
5. Méthode de sélection de la pompe basée sur la HMT et le débit requis
La sélection d’une pompe hydraulique se fait en comparant les besoins du système (débit et HMT) avec les courbes de performance (caractéristiques) des pompes disponibles sur le marché. La démarche consiste à :
1. Recueillir les courbes caractéristiques des pompes :
Ces courbes indiquent la relation entre le débit et la hauteur développée par la pompe, ainsi que le rendement à différents points de fonctionnement.
2. Tracer le point de fonctionnement :
Placer sur un graphique (courbe débit vs. hauteur) le point correspondant aux besoins de votre système :
- Débit \( Q = 0.05 \, \text{m}^3/\text{s} \)
- HMT requise \( \approx 61.29 \, \text{m} \)
3. Vérifier le rendement :
S’assurer que la pompe sélectionnée présente un rendement d’au moins 75 % au point de fonctionnement identifié. Ceci est essentiel pour garantir une utilisation économique et efficace de l’énergie.
4. Comparer différents modèles :
Choisir parmi plusieurs modèles celui dont la courbe passe ou se situe très près du point de fonctionnement calculé. Cela permet d’assurer que la pompe ne fonctionne pas trop loin de sa zone optimale (ni en sous-charge ni en sur-charge).
5. Dimensionner la puissance du moteur :
En se basant sur la HMT et le débit, calculer la puissance hydraulique requise puis, en tenant compte du rendement, déterminer la puissance électrique nécessaire. La formule utilisée est :
\[ P = \frac{\rho \, g \, Q \, \text{HMT}}{\eta} \]
où \(\eta\) est le rendement de la pompe (au moins 0.75).
6. Considérer d’autres paramètres opérationnels :
Vérifier que la pompe est adaptée à la viscosité, à la rugosité et aux conditions de l’écoulement. Les caractéristiques mécaniques (matériaux, durabilité, maintenance) doivent également être prises en compte.
Conclusion :
La méthode consiste donc à utiliser les courbes de performance des pompes pour identifier celle dont le point de fonctionnement correspond à un débit de 0.05 m³/s et à une HMT d’environ 61.29 m, tout en vérifiant que le rendement est au moins de 75 %. Ce choix permettra d’assurer un fonctionnement optimal et économique du système d’approvisionnement en eau.
Sélection d’une Pompe Hydraulique
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