Résolution d’un Système d’Équations Linéaires
Comprendre la résolution d’un Système d’Équations Linéaires
Un ingénieur en génie civil doit calculer les forces agissant sur un système de poutres dans une structure.
Il modélise le système avec trois forces, \( F_1 \), \( F_2 \), et \( F_3 \), qui doivent satisfaire les équations d’équilibre suivantes :
\begin{align*}
2F_1 – F_2 + 3F_3 &= 5 \\
3F_1 + 2F_2 – F_3 &= -1 \\
F_1 + F_2 + F_3 &= 4
\end{align*}
Tâches:
1. Représenter ce système sous forme matricielle.
2. Utiliser la méthode de votre choix (substitution, élimination, ou matrice inverse) pour trouver les valeurs de \( F_1 \), \( F_2 \), et \( F_3 \).
3. Interpréter les résultats en termes de forces agissant sur la structure.
Correction : résolution d’un Système d’Équations Linéaires
1. Représentation Matricielle
Un ingénieur en génie civil modélise les forces agissant sur un système de poutres par trois forces, \(F_1\), \(F_2\), et \(F_3\). Ces forces doivent satisfaire les équations d’équilibre suivantes :
\begin{align*}
2F_1 – F_2 + 3F_3 &= 5 \\
3F_1 + 2F_2 – F_3 &= -1 \\
F_1 + F_2 + F_3 &= 4
\end{align*}
Représentation Matricielle (A, X, B) :
\[ A = \begin{bmatrix}
2 & -1 & 3 \\
3 & 2 & -1 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}, \quad
X = \begin{bmatrix}
F_1 \\
F_2 \\
F_3
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
5 \\
-1 \\
4
\end{bmatrix} \]
2. Méthode de Résolution
Calcul du Déterminant de A:
Formule :
Déterminant de matrice 3×3
\[ \text{det}(A) = a(ei – fh) – b(di – fg) + c(dh – eg) \]
Données : \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = 3\), \(d = 3\), \(e = 2\), \(f = -1\), \(g = 1\), \(h = 1\), \(i = 1\)
Calcul :
\[ \text{det}(A) = 2(2 \cdot 1 – (-1) \cdot 1) – (-1)(3 \cdot 1 – 1 \cdot (-1)) + 3(3 \cdot 1 – 2 \cdot 1) \] \[ \text{det}(A) = 10 \]
Calcul de \(F_1\), \(F_2\), et \(F_3\) en utilisant la règle de Cramer:
– Calcul de \(F_1\):
Formule :
\[ F_1 = \frac{\text{det}(A_1)}{\text{det}(A)} \]
Matrice \(A_1\) (substitution de la première colonne par B) :
\[
A_1 = \begin{bmatrix}
5 & -1 & 3 \\
-1 & 2 & -1 \\
4 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\]
Calcul du déterminant de \(A_1\) :
\[ \text{det}(A_1) = 5(2 \cdot 1 – (-1) \cdot 1) – (-1)(-1 \cdot 1 – 3 \cdot 1) + 3(-1 \cdot 1 – 4 \cdot 1) \] \[ \text{det}(A_1) = 10 \]
Résultat :
\[ F_1 = \frac{10}{10} = 1 \]
– Calcul de \(F_2\):
Formule :
\[ F_2 = \frac{\text{det}(A_2)}{\text{det}(A)} \]
Matrice \(A_2\) (substitution de la deuxième colonne par B) :
\[
A_2 = \begin{bmatrix}
2 & 5 & 3 \\
3 & -1 & -1 \\
1 & 4 & 1
\end{bmatrix}
\]
Calcul du déterminant de \(A_2\) :
\[ \text{det}(A_2) = 2(-1 \cdot 1 – (-1) \cdot 4) – 5(3 \cdot 1 – (-1) \cdot 1) + 3(3 \cdot 4 – (-1) \cdot 1) \] \[ \text{det}(A_2) = -10 \]
Résultat :
\[ F_2 = \frac{-10}{10} = -1 \]
– Calcul de \(F_3\):
Formule :
\[ F_3 = \frac{\text{det}(A_3)}{\text{det}(A)} \]
Matrice \(A_3\) (substitution de la troisième colonne par B) :
\[
A_3 = \begin{bmatrix}
2 & -1 & 5 \\
3 & 2 & -1 \\
1 & 1 & 4
\end{bmatrix}
\]
Calcul du déterminant de \(A_3\) :
\[ \text{det}(A_3) = 2(2 \cdot 4 – 1 \cdot 1) – (-1)(3 \cdot 4 – (-1) \cdot 1) + 5(3 \cdot 1 – 2 \cdot 1) \] \[ \text{det}(A_3) = 10 \]
Résultat :
\[ F_3 = \frac{10}{10} = 1 \]
3. Conclusion et Interprétation
Les valeurs des forces sont \(F_1 = 1\), \(F_2 = -1\), \(F_3 = 1\). Ces valeurs suggèrent que \(F_1\) et \(F_3\) agissent dans la direction positive, tandis que \(F_2\) agit dans la direction opposée.
Ces résultats sont importants pour l’ingénieur pour comprendre les forces structurelles dans un contexte de génie civil.
Résolution d’un Système d’Équations Linéaires
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