Profil en Long et Profil en Travers
Comprendre le Profil en Long et Profil en Travers
Une route est projetée entre deux points, A et B, dont les coordonnées sont données ci‑dessous (les altitudes sont exprimées en mètres et les distances en mètres) :
- Point A (début de la portion) :
- Station : 0 m
- Altitude : 150 m
- Point B (fin de la portion) :
- Station : 1000 m
- Altitude : 160 m
On suppose que la route est conçue selon les conditions suivantes :
- Tangente 1 (avant le point d’inflexion) :
La portion de la route allant de A jusqu’à un « point de tangence de courbure » (PC) est en pente constante de +4%. - Tangente 2 (après le point d’inflexion) :
La portion allant d’un second point de tangence (PT) jusqu’à B est en pente constante de –2%. - Point d’inflexion théorique (PVI) :
L’extension des deux tangentes (avant et après la courbe verticale) se rencontre au point PVI.
On vous donne que, pour assurer la continuité, le PVI est situé à la station 500 m et son altitude est 170 m.
(Vérification rapide :- En partant de A avec +4% sur 500 m : 150 + 0,04×500 = 150 + 20 = 170 m.
- En partant de B en remontant avec –(–2%) sur 500 m : 160 + 0,02×500 = 160 + 10 = 170 m.)
- Courbe verticale parabolique :
Pour assurer une transition progressive entre les deux pentes, une courbe verticale parabolique de longueur L = 100 m est introduite.
Dans les méthodes de conception routière, lorsque les pentes avant et après la courbe ne sont pas opposées (ici +4% et –2%), les stations de début et de fin de la courbe verticale (PC et PT) se déterminent à l’aide des formules suivantes :- Station du PC :\[ PC = PVI – L \times \frac{g_1}{g_1 – g_2} \]
- Station du PT :\[ PT = PVI + L \times \frac{-g_2}{g_1 – g_2} \]
Avec :
- \(g_1 = +0.04 \quad \text{(pente avant la courbe)}\)
- \(g_2 = -0.02 \quad \text{(pente après la courbe)}\)
- \(g_1 – g_2 = 0.04 – (-0.02) = 0.06\)
- Station du PC :\[ PC = PVI – L \times \frac{g_1}{g_1 – g_2} \]
- Profil en travers (ou profil transversal) :
La chaussée est conçue de la façon suivante :- Largeur de la chaussée : 8 m (largeur utile au centrage de la voie)
- Chaque côté comporte un accotement de 2 m.
De plus, pour des raisons de sécurité et de drainage, un dévers de 2% (pente transversale) est prévu sur les accotements par rapport à la ligne médiane.
Questions de l’exercice:
- Calcul du PVI :
Vérifier que, compte tenu des données de A et B ainsi que des pentes imposées, le PVI est bien situé à la station 500 m et que son altitude est de 170 m. - Détermination de PC et PT :
À l’aide des formules indiquées, calculer précisément la station de début (PC) et de fin (PT) de la courbe verticale, puis en déduire leurs altitudes. - Équation de la courbe verticale (profil en long) :
En posant \(x\) comme distance (en m) mesurée à partir du point PC (donc \(x = 0\) correspond à la station PC), établir l’équation de la courbe verticale parabolique sous la forme : \[ z(x) = z_{PC} + g_1 x + \frac{g_2 – g_1}{2L} x^2, \quad 0 \leq x \leq L. \]Vérifier que les conditions de continuité en pente aux points PC et PT sont satisfaites. - Calcul d’une altitude intermédiaire :
Déterminer l’altitude de la chaussée à la station 480 m.
Précisez si ce point se trouve sur une portion tangentielle ou sur la courbe verticale et utilisez la méthode appropriée. - Étude du profil en travers à la station 480 m :
Sachant que l’altitude calculée précédemment correspond à la ligne médiane de la chaussée (centre de la voie), et en tenant compte d’un dévers de 2%, calculez l’altitude des accotements (situés à ± (8/2 + 2) = ±6 m du centre) par rapport à la ligne médiane. (On pourra considérer que le dévers est constant et que la pente transversale est de 2% par rapport à la ligne médiane.) - Schématisation :
Réaliser un schéma synthétique (à main levée) du profil en long en indiquant A, PC, PVI, PT et B, ainsi que le profil en travers à la station 480 m en précisant la répartition des éléments (chaussée et accotements).
Correction : Profil en Long et Profil en Travers
1. Calcul du PVI
Le PVI est défini comme l’intersection des deux tangentes issues des pentes avant et après la courbe verticale. On peut le calculer à partir du point A en appliquant la pente de la tangente amont ou à partir du point B en remontant la pente aval (en valeur absolue).
Formules :
- À partir de A :
\[ z_{\text{PVI}} = z_A + g_1 \times \Delta s \]
- À partir de B (remontant) :
\[ z_{\text{PVI}} = z_B + |g_2| \times \Delta s \]
Données :
- \(z_A = 150\,\text{m}\)
- \(z_B = 160\,\text{m}\)
- \(g_1 = +0.04 \quad \text{(4 %)}\)
- \(g_2 = -0.02 \quad \text{(2 %, d’où } |g_2| = 0.02\text{)}\)
- \(\Delta s = 500\,\text{m} \quad \text{(distance de A au PVI et de PVI à B)}\)
Calcul :
– À partir de A :
\[ z_{\text{PVI}} = 150 + 0.04 \times 500 \] \[ z_{\text{PVI}} = 150 + 20 \] \[ z_{\text{PVI}} = 170\,\text{m} \]
– À partir de B :
\[ z_{\text{PVI}} = 160 + 0.02 \times 500 \] \[ z_{\text{PVI}} = 160 + 10 \] \[ z_{\text{PVI}} = 170\,\text{m} \]
Conclusion :
Le PVI se situe bien à la station 500 m avec une altitude de 170 m.
2. Calcul de PC et PT
La courbe verticale est définie par sa longueur \(L\) et par les pentes avant et après la courbe. Les stations de début et de fin de la courbe se calculent à partir du PVI à l’aide des formules usuelles, qui reposent sur la répartition de la longueur de courbe en fonction des pentes \(g_1\) et \(g_2\).
Formules :
– Station du PC :
\[ PC = PVI – \frac{L \times g_1}{g_1 – g_2} \]
– Station du PT :
\[ PT = PVI + \frac{L \times -g_2}{g_1 – g_2} \]
Données :
- \(PVI = 500\,\text{m}\)
- \(L = 100\,\text{m}\)
- \(g_1 = +0.04\)
- \(g_2 = -0.02\)
Calcul de \(g_1 – g_2\) :
\[ g_1 – g_2 = 0.04 – (-0.02) = 0.06 \]
Calcul :
- Calcul de la station PC :
\[ PC = 500 – \frac{100 \times 0.04}{0.06} \] \[ PC = 500 – 66.67 \] \[ PC = 433.33\,\text{m} \]
- Calcul de la station PT :
\[ PT = 500 + \frac{100 \times 0.02}{0.06} \] \[ PT = 500 + 33.33 \] \[ PT = 533.33\,\text{m} \]
Calcul des altitudes aux points PC et PT :
- Altitude en PC (sur la tangente amont de pente +4%) :
\[ z_{PC} = z_A + g_1 \times PC \] \[ z_{PC} = 150 + 0.04 \times 433.33 \]
\[ 0.04 \times 433.33 \approx 17.33 \]
\[ z_{PC} \approx 150 + 17.33 \] \[ z_{PC} = 167.33\,\text{m} \]
- Altitude en PT (sur la tangente aval de pente -2%) :
La distance de PT à B est :
\[ \Delta s = 1000 – 533.33 \] \[ \Delta s = 466.67\,\text{m} \]
Puis :
\[ z_{PT} = z_B + |g_2| \times \Delta s \] \[ z_{PT} = 160 + 0.02 \times 466.67 \]
\[ 0.02 \times 466.67 \approx 9.33 \]
\[ z_{PT} \approx 160 + 9.33 \] \[ z_{PT} = 169.33\,\text{m} \]
3. Équation de la courbe verticale (profil en long)
La courbe verticale est représentée par une parabole qui assure la continuité en altitude et en pente entre les deux tangentes. On utilise la formule standard qui intègre la contribution linéaire et la contribution quadratique.
Formule :
\[ z(x) = z_{PC} + g_1 x + \frac{g_2 – g_1}{2 L} x^2, \quad 0 \leq x \leq L \]
Données :
- \(z_{PC} = 167.33\,\text{m}\)
- \(g_1 = +0.04\)
- \(g_2 = -0.02 \quad \text{donc } g_2 – g_1 = -0.02 – 0.04 = -0.06\)
- \(L = 100\,\text{m}, \quad \text{donc } 2L = 200\)
Calcul :
Substituons les valeurs dans la formule :
\[ z(x) = 167.33 + 0.04 x + \frac{-0.06}{200} x^2 \]
\[ \frac{-0.06}{200} = -0.0003 \]
\[ z(x) = 167.33 + 0.04 x – 0.0003 x^2 \]
Vérification des pentes par dérivation :
La dérivée de \(z(x)\) est :
\[ z'(x) = 0.04 – 0.0006 x \]
- Pour \(x = 0\) (PC) :
\[ z'(0) = 0.04 \quad \text{(soit 4%)} \]
- Pour \(x = 100\) (PT) :
\[ z'(100) = 0.04 – 0.0006 \times 100 \] \[ z'(100) = 0.04 – 0.06 \] \[ z'(100) = -0.02 \quad \text{(soit -2%)} \]
Les conditions de continuité en pente sont ainsi vérifiées.
4. Calcul de l’altitude à la station \(480\, \text{m}\)
La station \(480\, \text{m}\) se trouve dans la zone de la courbe verticale (car \(433.33 \leq 480 \leq 533.33\)). Pour calculer l’altitude à cette station, on exprime la distance \(x\) par rapport à PC puis on utilise l’équation de la courbe.
Formule :
– Position dans la courbe :
\[ x = \text{station} – PC \]
– Altitude :
\[ z(x) = 167.33 + 0.04 x – 0.0003 x^2 \]
Données:
- Station considérée : 480 m
- PC : 433,33 m
- Donc \(x = 480 – 433.33 = 46.67\,\text{m}\)
Calcul :
Calcul de la contribution linéaire :
\[ 0.04 \times 46.67 \approx 1.8668\,\text{m} \]
Calcul de la contribution quadratique :
\[ (46.67)^2 \approx 2178.89 \] et \[ 0.0003 \times 2178.89 \approx 0.65367\,\text{m} \]
Assemblage :
\[ z(46.67) = 167.33 + 1.8668 – 0.65367 \] \[ z(46.67) \approx 168.5431\,\text{m} \]
Conclusion :
À la station 480 m, l’altitude est d’environ 168,54 m.
5. Calcul du profil en travers à la station \(480\, \text{m}\)
Le profil en travers est défini par la largeur de la chaussée et la présence d’accotements. La ligne médiane a l’altitude calculée précédemment \((168.54\, \text{m})\). Le dévers (pente transversale) de 2% induit une variation d’altitude latérale.
Formule :
\[ \Delta z = \text{dévers} \times \text{distance latérale} \]
Données :
- Dévers = 2% = 0.02
- Largeur de la chaussée = 8 m (soit 4 m de chaque côté par rapport à la ligne médiane)
- Accotement de chaque côté = 2 m
Distance latérale totale du centre jusqu’au bord de l’accotement :
\[ \text{Distance} = 4 + 2 \] \[ \text{Distance} = 6\,\text{m} \]
Calcul :
Calcul de la variation d’altitude :
\[ \Delta z = 0.02 \times 6 \] \[ \Delta z = 0.12\,\text{m} \]
Détermination des altitudes aux bords :
– Côté relevé (par exemple, côté droit) :
\[ z_{\text{bord}} = 168.54 + 0.12 \] \[ z_{\text{bord}} = 168.66\,\text{m} \]
– Côté creux (par exemple, côté gauche) :
\[ z_{\text{bord}} = 168.54 – 0.12 \] \[ z_{\text{bord}} = 168.42\,\text{m} \]
6. Schématisation synthétique
Profil en long :
On représente sur un graphique la station (axe horizontal) et l’altitude (axe vertical) les points suivants :
- A : (0 m, 150 m)
- PC : (433,33 m, 167,33 m)
- PVI théorique : (500 m, 170 m)
- PT : (533,33 m, 169,33 m)
- B : (1000 m, 160 m)
La courbe verticale (parabole) est tracée entre PC et PT.
Profil en travers à la station 480 m :
Sur une coupe perpendiculaire à l’axe de la route :
- La ligne médiane se situe à 168,54 m.
- En se déplaçant latéralement sur 6 m, on observe une variation de 0,12 m (168,66 m d’un côté et 168,42 m de l’autre).
On représente ainsi la chaussée (8 m de large) et les accotements (2 m de chaque côté).
Remarque :
Bien que ce schéma soit réalisé à la main levée, il est important d’indiquer clairement les points A, PC, PVI, PT, B sur le profil en long ainsi que la répartition des altitudes sur le profil en travers.
Profil en Long et Profil en Travers
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