Production d’énergie à partir de l’eau
Comprendre la production d’énergie à partir de l’eau
Une petite centrale hydroélectrique utilise un cours d’eau pour générer de l’électricité. Les caractéristiques du cours d’eau et de la centrale sont les suivantes :
Données :
- Débit du cours d’eau : \( Q = 50 \, \text{m}^3/\text{s} \)
- Hauteur de chute de l’eau (différence de hauteur entre l’entrée et la sortie) : \( H = 20 \, \text{m} \)
- Rendement de la turbine et du générateur : \( \eta = 80\% \)
Questions :
1. Calculez l’énergie potentielle gravitationnelle de l’eau disponible pour la centrale hydroélectrique.
2. Déterminez la puissance théorique que l’eau peut générer.
3. Calculez la puissance réelle produite par la centrale, en tenant compte du rendement de la turbine et du générateur.
Correction : production d’énergie à partir de l’eau
1. Calcul de l’énergie potentielle gravitationnelle de l’eau
La formule pour l’énergie potentielle gravitationnelle est:
\[ E_{\text{pot}} = m \cdot g \cdot H \]
Pour calculer la masse \( m \) de l’eau qui passe à travers la turbine en un temps donné, on utilise le débit \( Q \). Nous considérons un intervalle d’une seconde. Le débit est de 50 m³/s, donc en une seconde, 50 mètres cubes d’eau passent à travers la turbine.
La masse d’eau \( m \) peut être calculée en multipliant le volume d’eau par la densité de l’eau (qui est d’environ 1000 kg/m³ pour l’eau douce). Ainsi,
\[ m = 50 \, \text{m}^3 \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \] \[ m = 50000 \, \text{kg} \]
Ensuite, en utilisant \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \) et \( H = 20 \, \text{m} \), l’énergie potentielle gravitationnelle est :
\[ E_{\text{pot}} = 50000 \, \text{kg} \times 9,81 \, \text{m/s}^2 \times 20 \, \text{m} \] \[ E_{\text{pot}} = 9810000 \, \text{Joules} \, \text{ou} \, 9,81 \, \text{MJ} \]
2. Calcul de la puissance théorique
La puissance théorique est donnée par la formule:
\[ P_{\text{théorique}} = \rho \cdot g \cdot H \cdot Q \]
En substituant les valeurs données :
- \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \) (densité de l’eau)
- \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \) (accélération due à la gravité)
- \( H = 20 \, \text{m} \) (hauteur de chute)
- \( Q = 50 \, \text{m}^3/\text{s} \) (débit du cours d’eau)
La puissance théorique est donc :
\[= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9,81 \, \text{m/s}^2 \times 20 \, \text{m} \times 50 \, \text{m}^3/\text{s}\] \[ = 981000 \, \text{W} \, \text{ou} \, 981 \, \text{kW} \]
3. Calcul de la puissance réelle
La puissance réelle prend en compte le rendement de la turbine et du générateur. Le rendement \( \eta \) est de 80 % ou 0,80. Ainsi, la puissance réelle est :
\[ P_{\text{réelle}} = \eta \cdot P_{\text{théorique}} \] \[ P_{\text{réelle}} = 0,80 \times 981000 \, \text{W} \] \[ P_{\text{réelle}} = 784800 \, \text{W} \, \text{ou} \, 784,8 \, \text{kW} \]
La centrale hydroélectrique produit donc une puissance réelle de 784,8 kW en tenant compte de son rendement.
Production d’énergie à partir de l’eau
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