Mouvement Curviligne sur Route Inclinée
Comprendre le Mouvement Curviligne sur Route Inclinée
Vous êtes un ingénieur civil chargé de concevoir une section de route montagneuse avec un virage serré suivant le contour d’une montagne.
Il est crucial d’analyser le mouvement curviligne que les véhicules devront effectuer pour négocier ce virage en toute sécurité.
Données de l’exercice:
- Rayon de courbure du virage : \(R = 50\) mètres
- Coefficient de frottement entre les pneus et le revêtement : \(\mu = 0.7\)
- Pente de la route : inclinaison de \(5^\circ\)
- Vitesse maximale autorisée : \(v = 60\) km/h
Question:
Calculer la force de frottement nécessaire pour maintenir un véhicule en mouvement curviligne sans déraper hors du virage. Vérifier si la vitesse maximale autorisée est adaptée aux conditions données.
Correction : Mouvement Curviligne sur Route Inclinée
Étape 1: Convertir la Vitesse
La vitesse maximale autorisée est de 60 km/h. Convertissons cette vitesse en mètres par seconde pour faciliter les calculs.
\[ v_{\text{m/s}} = 60 \times \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} \] \[ v_{\text{m/s}} = 16.67 \text{ m/s} \]
Étape 2: Calculer la Force Centripète Nécessaire
La force centripète est nécessaire pour maintenir le véhicule en mouvement circulaire et est donnée par la formule :
\[ F_c = \frac{m v^2}{R} \]
où \( m = 1500 \) kg (masse du véhicule) et \( R = 50 \) m (rayon de courbure du virage).
\[ F_c = \frac{1500 \times (16.67)^2}{50} \] \[ F_c = 8335 \text{ N} \]
Étape 3: Déterminer la Composante Normale de la Force de Gravité
La composante normale de la force gravitationnelle est ajustée pour la pente de la route:
\[ F_n = m g \cos(\theta) \]
où \( g = 9.81 \text{ m/s}^2 \) et \( \theta = 5^\circ \).
\[ F_n = 1500 \times 9.81 \times \cos(5^\circ) \] \[ F_n \approx 1500 \times 9.81 \times 0.996 \] \[ F_n \approx 14637 \text{ N} \]
Étape 4: Calculer la Force de Frottement Maximale Disponible
La force de frottement maximale disponible est calculée comme suit :
\[ F_{\text{friction}} = \mu F_n \]
où \( \mu = 0.7 \).
\[ F_{\text{friction}} = 0.7 \times 14637 \] \[ F_{\text{friction}} = 10246 \text{ N} \]
Étape 5: Vérifier la Sécurité de la Vitesse Maximale
Nous comparons maintenant la force de frottement disponible avec la force centripète requise :
- \(F_{\text{friction}} = 10246 \text{ N}\)
- \(F_c = 8335 \text{ N}\)
Puisque \( F_{\text{friction}} \geq F_c \), la force de frottement est suffisante pour empêcher le véhicule de déraper hors du virage.
La vitesse de 60 km/h est donc sécuritaire pour ce virage compte tenu des conditions données.
Conclusion
La route est bien conçue pour permettre un virage en toute sécurité à une vitesse de 60 km/h. Cette analyse montre l’importance de prendre en compte à la fois la géométrie de la route et les conditions physiques telles que le frottement et la gravité dans la conception des infrastructures routières.
Mouvement Curviligne sur Route Inclinée
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