Moment non compensé dû à l’action de l’eau
Comprendre le Moment non compensé dû à l’action de l’eau
Vous êtes ingénieur en hydraulique et travaillez sur le projet de conception d’une écluse. Une des portes de l’écluse est submergée et vous devez calculer le moment non compensé dû à l’action de l’eau sur cette porte pour vous assurer de sa stabilité et de sa capacité à résister aux forces appliquées.
Pour comprendre le calcul des Forces exercées par l’eau sur les portes, cliquez sur le lien.
Données:
- Hauteur de la porte (H) : 5 mètres
- Largeur de la porte (L) : 3 mètres
- Profondeur de l’eau côté amont (h1) : 4 mètres
- Profondeur de l’eau côté aval (h2) : 1 mètre
- La porte est articulée en haut et libre en bas.
Hypothèses
- L’eau est au repos.
- La distribution de la pression est hydrostatique.
- Négliger le poids de la porte.
Questions:
1. Calculer la pression hydrostatique à la base de la porte (point le plus bas).
2. Déterminer la force totale exercée par l’eau sur un côté de la porte.
3. Calculer le point d’application de cette force (hauteur du centre de pression depuis le bas de la porte).
4. Déterminer le moment non compensé dû à l’action de l’eau sur la porte.
Correction : Moment non compensé dû à l’action de l’eau
1. Calcul de la pression hydrostatique à la base de la porte
La pression hydrostatique à un point est donnée par la formule:
\[ P = \rho g h, \]
où \(\rho\) est la densité de l’eau (environ \(1000\, \text{kg/m}^3\)), \(g\) est l’accélération due à la gravité (environ \(9.81\, \text{m/s}^2\)), et \(h\) est la hauteur de la colonne d’eau au-dessus du point.
À la base de la porte:
\[ h = h_1 + H \] \[ h = 4\, \text{m} + 5\, \text{m} \] \[ h = 9\, \text{m} \]
\[ P = 1000 \times 9.81 \times 9 \] \[ P = 88290\, \text{Pa} \]
2. Force totale exercée par l’eau sur un côté de la porte (F)
La force résultante exercée par l’eau sur une surface verticale submergée est calculée par:
\[ F = \frac{1}{2} \rho g (h_1^2 – h_2^2) L \] \[ F = \frac{1}{2} \times 1000 \times 9.81 \times ((4^2) – (1^2)) \times 3 \] \[ F = 0.5 \times 1000 \times 9.81 \times (16 – 1) \times 3 \] \[ F = 0.5 \times 1000 \times 9.81 \times 15 \times 3 \] \[ F = 220725\, \text{N} \]
3. Hauteur du centre de pression \((z_{cp})\) depuis le bas de la porte
Le centre de pression pour une plaque plane verticale submergée se trouve à:
\[ z_{cp} = \frac{\int_0^H z^2 \, dz}{\int_0^H z \, dz} \] \[ z_{cp} = \frac{\frac{H^3}{3}}{\frac{H^2}{2}} \] \[ z_{cp} = \frac{2H}{3} \] \[ z_{cp} = \frac{2}{3} \times 5 \] \[ z_{cp} = 3.33\, \text{m} \]
4. Moment non compensé (M)
Le moment est calculé par rapport à l’articulation en haut de la porte, donc:
\[ M = F \times (z_{cp} – H) \] \[ M = 220725 \times (3.33 – 5) \] \[ M = 220725 \times -1.67 \] \[ M = -368610.75\, \text{Nm} \]
Ce moment est négatif, ce qui indique qu’il agit dans le sens de fermeture de la porte.
Conclusion
Le calcul montre que l’action de l’eau sur la porte crée un moment de \(368610.75\, \text{Nm}\) qui tend à fermer la porte.
Cela est crucial pour la conception des dispositifs de verrouillage et de contreventement pour garantir que la porte puisse résister à de telles forces sous des conditions opérationnelles normales.
Moment non compensé dû à l’action de l’eau
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