Ferraillage d'une Semelle Isolée

Contexte : Fondation superficielle sous un poteau central.

Dans un bâtiment industriel, un poteau carré en béton armé transmet une charge verticale centrée importante. Le sol de fondation est de bonne qualité. L'objectif est de dimensionner la semelle isoléeFondation superficielle reprenant la charge d'un poteau unique. (dimensions en plan et hauteur) et de calculer son ferraillage par la méthode des bielles.

Remarque Pédagogique : La semelle sert à répartir la charge concentrée du poteau sur une surface de sol suffisamment grande pour ne pas dépasser la contrainte admissible du sol (\(\sigma_{sol}\)).

Objectifs Pédagogiques

Déterminer les dimensions \(A\) et \(B\) de la semelle en fonction de la contrainte du sol.
Calculer la hauteur utile \(d\) pour vérifier la condition de rigidité.
Calculer la section d'aciers \(A_s\) nécessaire par la méthode des bielles.
Vérifier la condition de non-fragilité (section minimale).
Proposer un ferraillage pratique (choix des barres).

Données techniques détaillées

Vous participez à la conception des fondations d'un bâtiment industriel de type halle de stockage. La structure est constituée de portiques en béton armé. L'étude porte sur la fondation isolée (S1) située sous un poteau central, qui reprend les charges les plus importantes de la toiture et du plancher intermédiaire.

1. Caractéristiques du Sol (Géotechnique)

Le rapport de sol indique une couche d'assise résistante à faible profondeur (1.20 m).

Paramètre	Symbole	Valeur	Signification
Contrainte admissible	\(\sigma_{sol}\)	0,25 MPa (2.5 bars)	Pression max que le sol peut supporter sans tassement excessif ni rupture.
Ancrage	\(D\)	-1.20 m / TN	Profondeur d'assise pour être hors-gel et sur le bon sol.

Note : La contrainte \(\sigma_{sol}\) est une valeur à l'ELS ou pondérée pour l'ELU selon l'approche géotechnique. Ici, on considère qu'elle est directement comparable à la pression ELU sous la semelle.

2. Descente de Charges (Sollicitations)

Le poteau transmet un effort normal de compression centré. Les moments de flexion sont négligés pour cette étude (pas d'excentrement).

Action	Symbole	Valeur	Détail
Charge Permanente	\(G\)	450 kN	Poids propre structure + toiture
Charge d'Exploitation	\(Q\)	235 kN	Stockage, neige, vent
Charge Ultime Totale	\(N_{Ed}\)	0,80 MN (800 kN)	Déjà pondérée : \(1.35G + 1.5Q\)

3. Matériaux & Géométrie du Poteau

Élément	Donnée	Classe / Valeur	Propriété
Poteau	Section	\(a \times b = 30 \times 30 \text{ cm}\)	Poteau carré préfabriqué.
Béton	Classe	C25/30	\(f_{ck} = 25 \text{ MPa}\).
Acier	Nuance	B500B	\(f_{yk} = 500 \text{ MPa}\) (Haute Adhérence).

4. Hypothèses de Calcul

Méthode des bielles : On suppose la semelle "rigide", ce qui implique une hauteur suffisante pour que les efforts se transmettent directement aux aciers sans flexion parasite.
Enrobage : La semelle est coulée sur un béton de propreté. L'enrobage nominal pour la classe d'exposition (fondation) est fixé à \(c_{nom} = 5 \text{ cm}\).
Poids propre semelle : Négligé dans le calcul de la surface \(S\) (méthode simplifiée), mais l'arrondi supérieur des dimensions compense généralement cet oubli.

Schéma de Principe : Fondation Superficielle

Questions à traiter

Déterminer les dimensions en plan \(A \times B\) de la semelle.
Déterminer la hauteur totale \(h\) de la semelle (condition de rigidité).
Calculer la section d'aciers \(A_s\) nécessaire par la méthode des bielles.
Vérifier la condition de non-fragilité (section minimale).
Proposer un ferraillage pratique (choix des barres).

Les bases théoriques

Le dimensionnement d'une semelle isolée repose sur deux critères principaux : la transmission de la charge au sol sans poinçonnement (géotechnique) et la résistance interne du béton armé (structure).

Critère Géotechnique (Portance)
La surface de la semelle doit être suffisante pour que la pression exercée sur le sol soit inférieure à la contrainte admissible du terrain.

Condition de surface

\sigma = \frac{N_{Ed}}{A \times B} \le \sigma_{sol}

Condition de Rigidité
Pour que la pression sous la semelle soit considérée comme uniforme (diagramme rectangulaire), la semelle doit être rigide. Cela impose une hauteur minimale par rapport aux débords.

Règle des débords

d \ge \frac{A - a}{4}

Où \(d\) est la hauteur utile et \((A-a)/2\) est le débord géométrique.

Méthode des Bielles (Calcul des Aciers)
Dans une semelle rigide, la charge est transmise par des bielles de compression inclinées. L'effort de traction horizontal \(F_s\) généré à la base doit être repris par les aciers.

Section d'acier théorique

A_s = \frac{N_{Ed} (A - a)}{8 \cdot d \cdot f_{yd}}

Correction : Ferraillage Semelle Isolée

Question 1 : Dimensions en plan (\(A, B\))

Principe

Le rôle d'une fondation superficielle est de répartir la charge concentrée du poteau sur une surface de sol suffisamment grande pour ne pas le poinçonner. C'est le principe des raquettes à neige : on augmente la surface de contact pour réduire la pression (\(\sigma = F/S\)). La pression exercée sur le sol doit rester inférieure à la contrainte admissible du sol (\(\sigma_{sol}\)).

Mini-Cours : Homothétie des débords

Pour que la semelle travaille de manière équilibrée dans les deux directions (flexion homogène), on cherche à avoir des débords égaux (\(e_x = e_y\)). Cela implique de respecter le rapport d'homothétie avec le poteau : \(\frac{A}{B} = \frac{a}{b}\).
Ici, le poteau est carré (\(a=b\)), donc la semelle sera carrée (\(A=B\)).

Remarque Pédagogique

La contrainte du sol (\(\sigma_{sol}\)) est donnée par le rapport de sol géotechnique. 0.25 MPa correspond à un sol de qualité moyenne (type argile raide ou sables compacts). Sur de la roche, on pourrait avoir 1 à 5 MPa.

Normes

DTU 13.1 (Fondations superficielles) et Eurocode 7 (Calcul géotechnique).

Formule(s)

Surface minimale requise

La condition de stabilité est que la contrainte appliquée soit inférieure à la contrainte admissible :

\frac{N_{Ed}}{A \cdot B} \le \sigma_{sol} \Rightarrow S_{\text{req}} = A \cdot B \ge \frac{N_{Ed}}{\sigma_{sol}}

Pour une semelle carrée (\(A=B\)), on en déduit le côté :

A \ge \sqrt{S_{\text{req}}}

Hypothèses

Charge centrée verticale. Poids propre de la semelle négligé dans cette pré-étude (ou supposé inclus dans la marge de sécurité).

Donnée(s)

Paramètre	Valeur	Unité SI
Charge ELU (\(N_{Ed}\))	0,80 MN	0,80 MN
Contrainte Sol (\(\sigma_{sol}\))	0,25 MPa	0,25 MN/m²

Astuces

Calcul mental : Diviser par 0.25 revient à multiplier par 4. Donc \(0.8 \times 4 = 3.2\). C'est pratique pour vérifier l'ordre de grandeur !

Répartition des Pressions

Calcul(s) Détaillés

1. Calcul de la Surface nécessaire (\(S_{req}\))

On divise la charge \(N_{Ed}\) par la contrainte admissible du sol \(\sigma_{sol}\). Les unités sont cohérentes (MN et MN/m²).

\begin{aligned} S_{\text{req}} &= \frac{0,80 \text{ MN}}{0,25 \text{ MN/m}^2} \\ &= 3,20 \text{ m}^2 \end{aligned}

Il faut donc une surface de contact au sol d'au moins 3,20 m².

2. Calcul du Côté de la semelle (\(A\))

Comme le poteau est carré, on choisit une semelle carrée (\(A=B\)). On prend la racine carrée de la surface :

\begin{aligned} A_{\text{théorique}} &= \sqrt{3,20} \\ &= 1,7888... \text{ m} \end{aligned}

Pour faciliter le coffrage sur le chantier, on arrondit toujours cette valeur au multiple de 5 cm supérieur :

A = 1,80 \text{ m}

Réflexions

Vérifions : Avec \(1,80 \times 1,80 = 3,24 \text{ m}^2\), la contrainte réelle sera \(0,80 / 3,24 = 0,247 \text{ MPa}\).
Comme \(0,247 < 0,25\), la condition de portance est bien respectée.

Points de vigilance

Attention au poids propre ! Une semelle de 1.8x1.8x0.45m pèse environ 36 kN (0.036 MN). Il faudrait normalement l'ajouter à \(N_{Ed}\) et vérifier : \((0.80 + 0.036) / 3.24 = 0.258 > 0.25\). En toute rigueur, il faudrait augmenter légèrement A (ex: 1.85m). Dans cet exercice simplifié, on néglige ce poids ou on considère qu'il est inclus dans la marge de sécurité.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

La surface \(S\) dépend de la charge \(N\) et de la qualité du sol \(\sigma_{sol}\).
Semelle carrée sous poteau carré pour optimiser.
Toujours arrondir les dimensions au 5 cm supérieur.

Le saviez-vous ?

Le bulbe de pression (zone d'influence de la contrainte dans le sol) sous une semelle carrée de largeur B s'étend jusqu'à une profondeur d'environ 1.5 à 2 fois B. Il faut donc vérifier le sol sur au moins 3 à 4 mètres de profondeur sous notre semelle !

FAQ

Pourquoi faire une semelle carrée et pas rectangulaire ?

La forme carrée est la plus économique en matériaux (périmètre minimal pour une aire donnée) et la plus simple à ferrailler (symétrie). On fait du rectangulaire si on est gêné par un obstacle ou une mitoyenneté.

Semelle carrée : \(A = B = 1,80 \text{ m}\)

A vous de jouer
Si la charge passe à 1.0 MN, quel serait le côté A théorique ?

📝 Mémo
Surface = Charge / Contrainte Admissible. Toujours arrondir la dimension supérieure.

Question 2 : Hauteur de la semelle (\(h\))

Principe

Une semelle doit être rigide pour transmettre la charge uniformément au sol. Si elle est trop fine (trop souple), elle va se courber comme une feuille de papier, et les coins ne porteront plus sur le sol (la pression se concentrerait sous le poteau). La hauteur de la semelle est donc déterminée par une condition de rigidité géométrique.

Mini-Cours : La Condition de Rigidité

La condition pour qu'une semelle soit considérée comme rigide est définie empiriquement : la hauteur utile \(d\) doit être au moins égale au quart de la largeur du débord de la semelle.
La règle standard (méthode des bielles) est : \(d \ge \frac{A-a}{4}\).
Si cette condition est respectée, on n'a pas besoin de vérifier le cisaillement (l'effort tranchant) : le béton le reprend seul.

Remarque Pédagogique

Le débord est la distance entre le nu du poteau et le bord de la semelle : \(e = (A-a)/2\). La condition de rigidité revient à dire que la pente de la bielle de compression doit être supérieure à environ 1 pour 2 (pente \(\approx 26°\)).

Normes

DTU 13.11 et Eurocode 2 (Principes de dimensionnement des fondations superficielles par bielles et tirants).

Formule(s)

Hauteur utile minimale

d \ge \frac{A - a}{4}

Hauteur totale

h = d + c_{\text{nom}}

Le terme \(c_{\text{nom}}\) est l'enrobage nominal (protection des aciers). On néglige souvent le diamètre des aciers dans le pré-calcul.

Hypothèses

Poteau centré sur la semelle. Semelle coulée sur béton de propreté.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Largeur Semelle \(A\)	1.80 m
Largeur Poteau \(a\)	0.30 m
Enrobage Fondation (\(c_{\text{nom}}\))	0.05 m (5 cm)

Astuces

Règle de chantier : Pour faciliter le coffrage, on arrondit toujours la hauteur totale \(h\) au multiple de 5 cm supérieur (ex: 45, 50, 55 cm).

Définition de la Hauteur Utile

Calcul(s) Détaillés

1. Calcul de la différence de largeur (\(A-a\))

C'est la largeur totale qui "dépasse" du poteau (somme des deux débords).

\begin{aligned} A - a &= 1,80 \text{ m} - 0,30 \text{ m} \\ &= 1,50 \text{ m} \end{aligned}

2. Calcul de la hauteur utile minimale (\(d_{\text{min}}\))

On applique la règle du quart :

\begin{aligned} d_{\text{min}} &= \frac{1,50 \text{ m}}{4} \\ &= 0,375 \text{ m} \quad (37,5 \text{ cm}) \end{aligned}

Pour plus de sécurité et de simplicité, on arrondit au multiple supérieur : on retient \(d = 0,40 \text{ m}\) (40 cm).

3. Calcul de la hauteur totale (\(h\))

La hauteur totale \(h\) inclut la hauteur utile \(d\) plus l'enrobage \(c_{\text{nom}}\). Pour une fondation coulée sur béton de propreté, l'enrobage minimum est de 5 cm.

\begin{aligned} h &= d + c_{\text{nom}} \\ &= 0,40 \text{ m} + 0,05 \text{ m} \\ &= 0,45 \text{ m} \end{aligned}

Réflexions

Une semelle de 1,80 m de large nécessite une épaisseur d'environ 45 cm. C'est une proportion "massive" typique des fondations. Si elle faisait 20 cm de haut, elle travaillerait en flexion (comme une dalle) et nécessiterait beaucoup plus d'acier (et des cadres d'effort tranchant).

Points de vigilance

Attention à l'enrobage ! En fondation, l'environnement est agressif (eau, terre acide). Ne jamais descendre en dessous de 4-5 cm d'enrobage, sinon les aciers rouilleront très vite, faisant éclater le béton.

Hauteur utile \(d = 0,40 \text{ m}\) | Hauteur totale \(h = 0,45 \text{ m}\)

A vous de jouer
Quelle serait la hauteur utile minimale \(d\) pour une semelle de \(2,30 \times 2,30 \text{ m}\) sous un poteau de 30 cm ?

📝 Mémo
Règle du quart : \(d \approx A/4\). Ajouter 5 cm pour \(h\).

Question 3 : Calcul des Aciers (\(A_s\)) - Méthode des Bielles

Principe (Méthode des Bielles)

La charge du poteau ne descend pas tout droit dans le sol. Elle se diffuse en diagonale à travers la semelle en formant des trajectoires de compression obliques appelées "bielles". Ces bielles poussent vers le bas et vers l'extérieur. Cette poussée oblique tend à écarter la base de la semelle (traction). C'est pour résister à cet écartement qu'on place un quadrillage d'acier en partie basse pour "retenir" les bords de la semelle.

Normes

Eurocode 2 - Annexe normative (Méthode des bielles et tirants pour les massifs). C'est la méthode de référence pour les fondations superficielles rigides.

Formule(s)

Section d'acier nappe inférieure

A_s = \frac{N_{Ed} \cdot (A - a)}{8 \cdot d \cdot f_{yd}}

Où \(f_{yd}\) est la résistance de calcul de l'acier (435 MPa). Le facteur 8 au dénominateur est une constante géométrique spécifique aux semelles centrées.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur SI	Unité
Charge ELU \(N_{Ed}\)	0.80 MN	0.80 MN
Différence \(A-a\)	\(1.80 - 0.30 = 1.50\)	m
Hauteur utile \(d\)	0.40	m
Acier \(f_{yd}\)	435	MPa (MN/m²)

Astuces

Vérification d'unités : Si vous mettez \(N\) en MN et \(f_{yd}\) en MPa, le résultat sort en \(m^2\). C'est la méthode la plus sûre pour éviter les erreurs de puissances de 10.

Mécanisme des Bielles

Calcul(s) Détaillés

1. Calcul du numérateur (Moment statique équivalent)

\begin{aligned} \text{Num} &= N_{Ed} \times (A - a) \\ &= 0,80 \text{ MN} \times 1,50 \text{ m} \\ &= 1,20 \text{ MN.m} \end{aligned}

2. Calcul du dénominateur (Effort résistant)

\begin{aligned} \text{Denom} &= 8 \times d \times f_{yd} \\ &= 8 \times 0,40 \text{ m} \times 435 \text{ MPa} \\ &= 3,2 \times 435 \\ &= 1392 \text{ MN/m} \end{aligned}

3. Calcul final de la section

\begin{aligned} A_s (m^2) &= \frac{1,20}{1392} \\ &= 0,00086206... \text{ m}^2 \end{aligned}

On convertit en cm² (en multipliant par 10 000) :

A_s = 8,62 \text{ cm}^2

Réflexions

Nous avons besoin de 8,62 cm² d'acier. Comme la semelle est carrée et chargée centralement, cette section d'acier doit être disposée dans le sens X ET dans le sens Y (nappe orthogonale). On devra donc placer cette quantité dans les deux directions.

Points de vigilance

Si la semelle était rectangulaire (\(A \ne B\)), le calcul ne serait pas symétrique ! Il faudrait calculer \(A_{s,A}\) avec le grand côté et \(A_{s,B}\) avec le petit côté.

Section requise (par sens) : \(A_s = 8,62 \text{ cm}^2\)

A vous de jouer
Si on augmentait la hauteur utile à \(d = 0,50 \text{ m}\) ?

📝 Mémo
Formule des bielles : \(N(A-a)/(8 d f_{yd})\). Simple et efficace.

Question 4 : Condition de Non-Fragilité (\(A_{s,min}\))

Principe

Le béton est un matériau fragile qui résiste très mal à la traction. Si la semelle est peu chargée (moment faible), le calcul mécanique (bielles) peut donner une section d'acier très faible. Or, si le béton fissure (retrait, tassement), cet acier insuffisant casserait net, entraînant la ruine brutale de la fondation. La condition de non-fragilité impose une section minimale d'acier capable de reprendre l'effort de traction que le béton supportait juste avant de fissurer.

Mini-Cours : Les deux bornes

L'Eurocode impose de respecter le plus grand de deux minimums :
1. Minimum Mécanique : Basé sur la résistance en traction du béton (\(f_{ctm}\)). C'est la quantité d'acier nécessaire pour remplacer la résistance du béton tendu.
2. Minimum Géométrique : Un pourcentage minimal de la section de béton (souvent 0.13% ou 0.15%) pour contrôler la fissuration de retrait.

Remarque Pédagogique

Pour les semelles larges et peu épaisses, c'est très souvent cette condition qui dimensionne le ferraillage, et non le calcul de charges (bielles). Ne jamais l'oublier !

Normes

Eurocode 2 - Article 9.2.1.1 (Section minimale des armatures). Adapté aux fondations.

Formule(s)

Section minimale à respecter

A_{s,min} = \max \left( 0,26 \frac{f_{ctm}}{f_{yk}} B \cdot d \ ; \ 0,0013 \cdot B \cdot d \right)

Avec \(f_{ctm} = 0.30 \times f_{ck}^{(2/3)}\) (Résistance moyenne en traction).

Hypothèses

Béton C25/30.

Largeur de la section tendue \(b_t = B\) (largeur totale de la semelle).
Acier B500B (\(f_{yk} = 500 \text{ MPa}\)).

Donnée(s)

Paramètre	Valeur SI	Unité
Largeur Semelle \(B\)	1.80	m
Hauteur utile \(d\)	0.40	m
Résistance béton \(f_{ck}\)	25	MPa

Astuces

Pour un béton C25/30 standard, la résistance à la traction \(f_{ctm}\) est d'environ 2.6 MPa. C'est une valeur utile à connaître par cœur.

Le Risque de Rupture Fragile

Calcul(s) Détaillés

1. Calcul de la résistance en traction \(f_{ctm}\)

On utilise la formule empirique de l'Eurocode pour un béton C25 :

\begin{aligned} f_{ctm} &= 0,30 \times f_{ck}^{(2/3)} \\ &= 0,30 \times 25^{(0,66)} \\ &\approx 0,30 \times 8,55 \\ &\approx 2,56 \text{ MPa} \end{aligned}

2. Première borne (Condition mécanique)

On calcule la section d'acier équivalente à la force de traction du béton. Attention aux unités (mètres pour les dimensions) :

\begin{aligned} A_{min1} &= 0,26 \times \frac{f_{ctm}}{f_{yk}} \times B \times d \\ &= 0,26 \times \frac{2,56}{500} \times 1,80 \times 0,40 \\ &= 0,26 \times 0,00512 \times 0,72 \\ &= 0,00133 \times 0,72 \\ &= 0,000958 \text{ m}^2 \end{aligned}

Conversion en cm² : \(0,000958 \times 10000 = \mathbf{9,58 \text{ cm}^2}\).

3. Seconde borne (Condition géométrique)

On vérifie le pourcentage minimal (0.13%) :

\begin{aligned} A_{min2} &= 0,0013 \times B \times d \\ &= 0,0013 \times 1,80 \times 0,40 \\ &= 0,000936 \text{ m}^2 \end{aligned}

Conversion en cm² : \(0,000936 \times 10000 = \mathbf{9,36 \text{ cm}^2}\).

4. Synthèse et Choix Final

La section minimale réglementaire est le maximum des deux bornes :

A_{s,min} = \max(9,58 \ ; \ 9,36) = 9,58 \text{ cm}^2

On compare maintenant cette valeur minimale à notre calcul théorique de la Question 3 (\(A_{s,calcul} = 8,62 \text{ cm}^2\)).

9,58 \text{ cm}^2 (\text{Min}) > 8,62 \text{ cm}^2 (\text{Bielles})

C'est la condition de non-fragilité qui l'emporte ! Nous devons donc ferrailler la semelle avec au moins 9,58 cm² d'acier.

Section Dimensionnante Retenue : \(A_s = 9,58 \text{ cm}^2\)

Réflexions

Ce cas est fréquent pour les semelles de fondation : pour respecter la contrainte du sol (0.25 MPa), on a dû faire une semelle très large (1.80m). Cette grande largeur augmente la section de béton tendu, ce qui augmente mécaniquement la quantité d'acier minimal de non-fragilité, dépassant ainsi le besoin lié à la charge pure.

Points de vigilance

Erreur fatale : Prendre le minimum entre le calcul et la condition de non-fragilité. C'est toujours le MAXIMUM qu'il faut retenir pour être en sécurité dans tous les scénarios.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

La condition de non-fragilité assure la ductilité.
Elle dépend de la section de béton (\(B \times d\)).
Elle est souvent dimensionnante pour les éléments surdimensionnés en béton (comme les fondations).

Le saviez-vous ?

Utiliser un béton plus résistant (ex: C30/37) augmenterait \(f_{ctm}\), et donc augmenterait la quantité d'acier minimal requise ! Paradoxalement, un béton trop "fort" peut coûter plus cher en acier de non-fragilité.

FAQ

Et si j'utilise des aciers doux (fyk = 235) ?

La section minimale doublerait presque, car elle est inversement proportionnelle à la limite élastique \(f_{yk}\). Les aciers à haute adhérence (500 MPa) sont donc plus économiques.

A vous de jouer
Quelle serait la section min \(A_{min1}\) pour une semelle de largeur \(B=1.00 \text{ m}\) et \(d=0.30 \text{ m}\) ?

📝 Mémo
Toujours comparer \(A_{\text{calcul}}\) et \(A_{\text{min}}\). Le chef, c'est le plus grand.

Question 5 : Choix du Ferraillage Pratique

Principe

Nous devons maintenant "concrétiser" notre calcul. Il faut choisir des barres d'acier standardisées dont la section totale est supérieure ou égale à \(9,58 \text{ cm}^2\). Ces barres seront disposées en quadrillage (nappe) au fond de la semelle. L'espacement doit être régulier et permettre le bétonnage correct (passage des granulats).

Mini-Cours : Dispositions Constructives

Espacement (\(e\)) :
- Minimum : Pour que le béton (et les cailloux !) passe entre les barres, il faut laisser au moins 1 fois le diamètre du granulat (souvent \(> 3 \text{ cm}\)).
- Maximum : Pour éviter que le béton ne fissure entre deux barres, on limite l'espacement à environ \(20\) à \(30 \text{ cm}\).
Ancrage : La longueur droite disponible (le débord) étant souvent courte, on prévoit systématiquement des crosses (retours courbes) aux extrémités des barres pour empêcher le glissement.

Remarque Pédagogique

Dans une semelle carrée chargée au centre, les efforts sont identiques dans les deux sens (X et Y). On place donc le même nombre de barres dans les deux directions (nappe isotrope).

Normes

Eurocode 2 (Section 9.8 - Fondations). L'espacement maximal recommandé est souvent de \(30 \text{ cm}\) pour les semelles courantes.

Formule(s)

Nombre de barres

n = \frac{A_{s,\text{requis}}}{\text{Section d'une barre}}

Espacement (répartition uniforme)

e = \frac{A - 2c_{\text{nom}}}{n - 1}

Hypothèses

Enrobage latéral de \(5 \text{ cm}\) pour protéger les bouts des barres contre la corrosion du sol.

Donnée(s) : Tableau des Aciers (cm²)

Diamètre \(\phi\)	Section 1 barre (cm²)	Poids (kg/m)
HA 10	0.785	0.617
HA 12	1.13	0.888
HA 14	1.54	1.208
HA 16	2.01	1.578

Astuces

Choix du diamètre : Pour une semelle de maison ou petit immeuble (\(A < 2\text{m}\)), le HA 10 ou HA 12 est standard. Au-delà, on passe au HA 14 ou HA 16 pour limiter le nombre de barres et garder de l'espace pour le bétonnage.

Disposition en Plan (Nappe)

Calcul(s) Détaillés

On cherche le nombre de barres \(n\) tel que \(n \times \text{Section} \ge 9,58\).

Option 1 : Barres HA 10 (0.785 cm²)

n = \frac{9,58}{0,785} \approx 12,2 \rightarrow 13 \text{ barres}

Espacement : \((180 - 10) / 12 \approx 14 \text{ cm}\). C'est faisable, mais 13 barres, c'est beaucoup de ligatures.

Option 2 : Barres HA 12 (1.13 cm²) - Recommandée

n = \frac{9,58}{1,13} \approx 8,47 \rightarrow \text{On prend } \mathbf{9 \text{ barres}}

Section réelle : \(9 \times 1.13 = 10,17 \text{ cm}^2 > 9,58\). C'est OK.
Vérifions l'espacement sur une largeur utile de \(180 - 10 = 170 \text{ cm}\) :

e = \frac{170}{9 - 1} = \frac{170}{8} = 21,25 \text{ cm}

L'espacement de 21 cm est idéal (ni trop serré, ni trop large).

Réflexions

L'ajout de la condition de non-fragilité nous a fait passer de 8 barres (calcul bielles initial) à 9 barres. C'est une augmentation modeste mais nécessaire pour la sécurité normative.

Points de vigilance

Crosse d'ancrage : Avec un débord de \( (1.80-0.30)/2 = 0.75 \text{ m} \), la longueur est juste pour un ancrage droit (50 diamètres = 60 cm pour du HA12). Pour plus de sécurité et rigidifier la cage, on prévoit systématiquement des retours verticaux (crosses).

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

On ferraille toujours avec le MAX(Calcul, Non-Fragilité).
La répartition est uniforme.
Le quadrillage est identique dans les deux sens pour une semelle carrée.

Le saviez-vous ?

Pour les fondations, on utilise souvent de l'acier soudable pour pouvoir préfabriquer les cages en usine ou à l'atelier du chantier.

FAQ

Peut-on utiliser du HA 14 ?

Oui. \(9.58 / 1.54 \approx 6.2 \to 7\) barres. Espacement \(170/6 = 28 \text{ cm}\). C'est proche de la limite de 30 cm, mais c'est acceptable.

Choix : 9 HA 12 dans chaque sens (e \(\approx\) 21 cm)

A vous de jouer
Quel serait l'espacement si on mettait 7 barres de 14 ?

📝 Mémo
Calculer \(N\) barres. Vérifier \(e\) (15-30cm). Dessiner le quadrillage.

Schéma Bilan du Ferraillage

Synthèse : Semelle \(1.80 \times 1.80 \times 0.45 \text{ m}\) ferraillée par nappe basse.

📝 Grand Mémo : Fondations Superficielles

La procédure complète de dimensionnement :

1️⃣
Surface au Sol : \(S \ge N / \sigma_{sol}\). Détermine \(A\) et \(B\).
2️⃣
Hauteur (Rigidité) : \(d \ge \text{Débord} / 4\). Condition pour utiliser la méthode des bielles.
3️⃣
Acier (Bielles) : \(A_s = \frac{N(A-a)}{8 \cdot d \cdot f_{yd}}\). Calcul mécanique de base.
4️⃣
Condition de Non-Fragilité : \(A_{s,min}\) (Eurocode). Souvent dimensionnant pour les semelles larges !
5️⃣
Disposition : Répartir uniformément. Enrobage \(\ge 3 \text{ cm}\) (5 cm recommandé).

"Une maison solide commence par de bons pieds."

🎛️ Simulateur : Charge vs Acier

Voyez comment la section d'acier évolue si la charge du poteau augmente (à dimensions de semelle fixées).

Charge Poteau N_ed (MN) : 0.80

Section Acier (cm²) : -

Contrainte Sol (MPa) : -

📚 Glossaire

Semelle Isolée: Fondation ponctuelle sous un poteau.
Bielles: Trajectoires de compression imaginaires dans le béton qui transfèrent la charge.
\(\sigma_{sol}\): Contrainte admissible du sol (capacité portante).
Poinçonnement: Rupture brutale où le poteau traverse la semelle (cisaillement localisé).
Enrobage (\(c_{nom}\)): Épaisseur de béton recouvrant les aciers pour les protéger de la corrosion.
Béton de propreté: Couche de béton maigre coulée au fond de la fouille pour créer une surface de travail propre.

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BOÎTE À OUTILS

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À DÉCOUVRIR SUR LE SITE

Objectifs Pédagogiques

Données techniques détaillées

1. Caractéristiques du Sol (Géotechnique)

2. Descente de Charges (Sollicitations)

3. Matériaux & Géométrie du Poteau

4. Hypothèses de Calcul

Schéma de Principe : Fondation Superficielle

Questions à traiter

Les bases théoriques

Correction : Ferraillage Semelle Isolée

Question 1 : Dimensions en plan (\(A, B\))

Principe

Mini-Cours : Homothétie des débords

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Répartition des Pressions

Calcul(s) Détaillés

1. Calcul de la Surface nécessaire (\(S_{req}\))

2. Calcul du Côté de la semelle (\(A\))

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Hauteur de la semelle (\(h\))

Principe

Mini-Cours : La Condition de Rigidité

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Définition de la Hauteur Utile

Calcul(s) Détaillés

1. Calcul de la différence de largeur (\(A-a\))

2. Calcul de la hauteur utile minimale (\(d_{\text{min}}\))

3. Calcul de la hauteur totale (\(h\))

Réflexions

Points de vigilance

Question 3 : Calcul des Aciers (\(A_s\)) - Méthode des Bielles

Principe (Méthode des Bielles)

Normes

Formule(s)

Donnée(s)

Astuces

Mécanisme des Bielles

Calcul(s) Détaillés

1. Calcul du numérateur (Moment statique équivalent)

2. Calcul du dénominateur (Effort résistant)

3. Calcul final de la section

Réflexions

Points de vigilance

Question 4 : Condition de Non-Fragilité (\(A_{s,min}\))

Principe

Mini-Cours : Les deux bornes

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Le Risque de Rupture Fragile

Calcul(s) Détaillés

1. Calcul de la résistance en traction \(f_{ctm}\)

2. Première borne (Condition mécanique)

3. Seconde borne (Condition géométrique)

4. Synthèse et Choix Final

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?