Évaluation de la masse sismique effective
Comprendre l’Évaluation de la masse sismique effective
Dans le cadre de l’analyse dynamique d’une structure en réponse à un séisme, il est essentiel de calculer la masse sismique effective pour prédire le comportement de la structure sous l’action sismique.
Cet exercice vise à appliquer les principes de dynamique des structures pour évaluer la masse sismique effective d’un bâtiment modélisé par un système à un degré de liberté (SDOF).
Données fournies:
- Hauteur du bâtiment (H): 15 m
- Nombre d’étages (n): 5
- Masse par étage (m): 5000 kg
- Rigidité de l’ensemble du bâtiment (k): 3000 kN/m
- Amortissement (ξ): 5%
Question:
Calculer la masse sismique effective du bâtiment en considérant que la première fréquence propre est dominante dans la réponse sismique. Utiliser l’approche modale pour estimer cette masse, sachant que la masse totale participe de manière non uniforme à la réponse dynamique.
Correction : Évaluation de la masse sismique effective
1. Calcul de la masse totale du bâtiment (M)
- Nombre d’étages (n) = 5
- Masse par étage (m) = 5000 kg
\[ M = m \times n \] \[ M = 5000 \, \text{kg} \times 5 \] \[ M = 25000 \, \text{kg} \]
2. Calcul de la période propre du bâtiment (T)
- Rigidité (k) = 3000 kN/m = 3000000 N/m (conversion de kN en N)
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}} \] \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{25000}{3000000}} \] \[ T \approx 0.52 \, \text{s} \]
3. Déformation maximale sous charge statique (\(\delta_{\text{max}}\))
Puisque la charge statique équivalente (\(F_{\text{stat}}\)) est typiquement la masse totale multipliée par l’accélération due à la gravité (g = 9.81 m/s²) agissant comme une force:
\[ F_{\text{stat}} = M \times g \] \[ F_{\text{stat}} = 25000 \times 9.81 \] \[ F_{\text{stat}} = 245250 \, \text{N} \]
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{F_{\text{stat}}}{k} \] \[ \delta_{\text{max}} = \frac{245250}{3000000} \] \[ \delta_{\text{max}} \approx 0.08175 \, \text{m} \]
4. Déplacement de chaque étage (\(\delta_i\)) pour i de 1 à 5
\[ \delta_i = \delta_{\text{max}} \times \frac{i}{n} \]
Calculons les déplacements pour chaque étage:
- Étage 1:
\[ \delta_1 = 0.08175 \times \frac{1}{5} \] \[ \delta_1 = 0.01635 \, \text{m} \]
- Étage 2:
\[ \delta_2 = 0.08175 \times \frac{2}{5} \] \[ \delta_2 = 0.0327 \, \text{m} \]
- Étage 3:
\[ \delta_3 = 0.08175 \times \frac{3}{5} \] \[ \delta_3 = 0.04905 \, \text{m} \]
- Étage 4:
\[ \delta_4 = 0.08175 \times \frac{4}{5} \] \[ \delta_4 = 0.0654 \, \text{m} \]
- Étage 5:
\[ \delta_5 = 0.08175 \times \frac{5}{5} \] \[ \delta_5 = 0.08175 \, \text{m} \]
5. Calcul de la masse sismique effective (\(M_{\text{eff}}\))
\[ M_{\text{eff}} = \frac{\sum_{i=1}^{5} m_i \delta_i^2}{\delta_{\text{max}}^2} \]
Appliquons la formule avec les déplacements calculés:
\[ M_{\text{eff}} = \frac{5000(0.000267) + 5000(0.00107) + 5000(0.00241) + 5000(0.00428) + 5000(0.00668)}{0.00668} \] \[ M_{\text{eff}} \approx 11000 \, \text{kg} \]
Discussion:
La masse sismique effective calculée de 11000 kg représente environ 44% de la masse totale du bâtiment.
Cela montre que la contribution de la masse aux modes supérieurs est significativement moindre, concentrant la plus grande partie de l’inertie sismique sur les premiers modes de vibration.
L’impact de la distribution de masse montre que les étages supérieurs, ayant des déplacements plus importants, contribuent davantage à la masse sismique effective, soulignant l’importance de modéliser précisément la répartition des masses dans l’analyse dynamique des structures.
Évaluation de la masse sismique effective
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