Étude d’une Installation Hydroélectrique
Comprendre l’Étude d’une Installation Hydroélectrique
Un investisseur examine la possibilité de construire une petite centrale hydroélectrique sur un fleuve dans les Pyrénées. Le débit moyen de l’eau est de 20 m³/s et la hauteur de chute est de 30 mètres.
Données :
- Débit d’eau : 20 m³/s
- Hauteur de chute : 30 m
- Efficacité de la turbine : 85%
- Densité de l’eau : 1000 kg/m³
- Accélération due à la gravité : 9,81 m/s²
Questions :
1. Calculez la puissance théorique de l’eau à cette hauteur de chute.
2. En tenant compte de l’efficacité de la turbine, quelle serait la puissance électrique réelle générée?
3. Si la centrale fonctionne à cette puissance électrique réelle 24 heures sur 24, 365 jours par an, quelle quantité d’énergie annuelle pourrait-elle produire?
Correction : Étude d’une Installation Hydroélectrique
1. Calcul de la puissance théorique de l’eau
La puissance théorique représente l’énergie potentielle de l’eau disponible par seconde avant toute perte. Elle s’obtient à partir de la formule :
Formule :
\[ P_{\text{th}} = \rho \times g \times Q \times H \]
- \(\rho\) : densité de l’eau
- \(g\) : accélération due à la gravité
- \(Q\) : débit de l’eau
- \(H\) : hauteur de chute
Données :
- \(\rho = 1000\, \text{kg/m}^3\)
- \(g = 9,81\, \text{m/s}^2\)
- \(Q = 20\, \text{m}^3/\text{s}\)
- \(H = 30\, \text{m}\)
Calcul :
1. Remplacer les valeurs dans la formule :
\[ P_{\text{th}} = 1000 \times 9,81 \times 20 \times 30 \] \[ P_{\text{th}} = 196\,200 \times 30 \] \[ P_{\text{th}} = 5\,886\,000 \]
Résultat :
La puissance théorique de l’eau est donc :
\[ P_{\text{th}} = 5\,886\,000\, \text{W} \quad \text{soit} \quad 5,886\, \text{MW} \]
2. Calcul de la puissance électrique réelle générée
La puissance électrique réelle prend en compte le rendement de la turbine. En effet, la turbine ne convertit pas toute l’énergie potentielle en électricité. On utilise alors le rendement \(\eta\) de la turbine.
Formule :
\[ P_{\text{réelle}} = P_{\text{th}} \times \eta \]
Données :
- \(P_{\text{th}} = 5\,886\,000\, \text{W}\)
- Rendement de la turbine, \(\eta = 85\% = 0,85\)
Calcul :
1. Remplacer dans la formule :
\[ P_{\text{réelle}} = 5\,886\,000 \times 0,85 \] \[ P_{\text{réelle}} = 5\,003\,100 \]
Résultat :
La puissance électrique réelle générée est :
\[ P_{\text{réelle}} = 5\,003\,100\, \text{W} \quad \text{soit environ} \quad 5,003\, \text{MW} \]
3. Calcul de l’énergie annuelle produite
Pour déterminer l’énergie annuelle produite, on multiplie la puissance réelle par le temps de fonctionnement sur une année. La centrale fonctionne en continu (24h/24 et 365 jours/an).
Formule :
\[ E = P_{\text{réelle}} \times t \]
où \(t\) représente la durée totale de fonctionnement.
Données :
- \(P_{\text{réelle}} = 5\,003\,100\, \text{W}\)
- Durée annuelle en secondes :
\[ t = 365 \, \text{jours} \times 24 \, \text{heures/jour} \times 3600 \, \text{s/heure} \] \[ t = 31\,536\,000 \, \text{s} \]
Calcul en Joules :
1. Remplacer dans la formule :
\[ E = 5\,003\,100 \times 31\,536\,000 \] \[ E \approx 1,5763 \times 10^{14}\, \text{J} \]
Conversion en kilowattheures (kWh) :
Pour convertir des Joules en kWh, on utilise la relation :
\[ 1\, \text{kWh} = 3\,600\,000\, \text{J} \]
Calcul :
\[ E_{\text{kWh}} = \frac{1,5763 \times 10^{14}}{3\,600\,000} \] \[ E_{\text{kWh}} \approx 43\,786\,111\, \text{kWh} \]
Soit environ 43,79 GWh (gigawattheures).
Résultat :
L’énergie annuelle produite par la centrale serait donc d’environ :
- \(1,5763 \times 10^{14}\, \text{J}\)
ou
- \(43,79\, \text{GWh}\)
Étude d’une Installation Hydroélectrique
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