Exercice corrigé

Création d'un Diagramme (PERT/CPM)

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 25 mars 2026• 126 min de lecture• 10 vues

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Étude de cas · Note de calculs Réf. GP-21 / RÉSEAU

Création d'un Diagramme PERT/CPM

Viaduc à haubans en phase d'études d'exécution : établir le calendrier détaillé, calculer les dates au plus tôt et au plus tard, distinguer marge totale et marge libre, isoler le chemin critique et chiffrer ce que coûte un jour de retard.

NiveauTous niveaux

DomaineGestion de projet de construction

ThèmeOrdonnancement, pilotage et coordination

PrérequisGraphe orienté sans circuit · tri topologique · opérateurs maximum et minimum · différence de dates · pourcentages et ratios

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Vous êtes chargé de la mission d'ordonnancement, pilotage et coordination d'un viaduc à haubans desservant une vallée de montagne. Le marché est notifié, la période de préparation est ouverte, et il vous revient d'établir le calendrier détaillé d'exécution à partir de la décomposition en dix tâches et de leurs contraintes d'enchaînement. Ce calendrier sera soumis à l'approbation du maître d'ouvrage puis notifié aux titulaires par ordre de service : les dates que vous allez calculer deviendront contractuelles.

Les Points Clés du Projet

Quatre éléments commandent toute l'étude, et le troisième est celui que la plupart des plannings omettent :

La durée du projet n'est pas la somme des durées : Le réseau comporte des branches parallèles. La durée est celle du plus long chemin, jamais celle de l'addition de toutes les tâches.
Aux convergences, tout se joue : Une tâche qui attend deux prédécesseurs attend le plus tardif. À l'aller c'est un maximum, au retour un minimum. Confondre les deux opérateurs suffit à fausser tout le calendrier.
Une marge affichée n'est pas une marge disponible : La marge totale se partage entre les tâches d'une même branche. Deux tâches annoncées à trois semaines de marge n'en offrent pas six, mais trois — et seule la marge libre peut être consommée sans déplacer personne.
Un retard se chiffre en euros : Le marché stipule une pénalité journalière. Le cahier des clauses administratives générales précise que les samedis, dimanches et jours fériés ne sont pas déduits : l'unité de compte change le résultat de moitié.

Votre Mission

Établir la note de calculs du calendrier détaillé d'exécution : structurer le réseau par rangs, calculer les dates au plus tôt puis au plus tard, distinguer marge totale et marge libre, identifier le chemin critique et les chemins quasi critiques, et valoriser financièrement les retards au regard des pénalités contractuelles.

VUE SYNOPTIQUE DU CHANTIER ET LOCALISATION DES DIX TÂCHES

2. Données Techniques & Normes

Les données de cette étude se répartissent en trois familles. Les premières sont opposables : les articles du cahier des clauses administratives générales applicable aux marchés publics de travaux, qui régissent le calendrier d'exécution, la prolongation des délais et les pénalités de retard. Les deuxièmes sont les données de l'opération : décomposition en tâches, durées estimées et contraintes d'antériorité, issues du travail des méthodes. Les troisièmes sont des conventions d'étude : origine des temps, granularité hebdomadaire, absence de contrainte de ressources. Aucune de ces dernières ne procède d'un texte, et il faut les annoncer avant de les appliquer.

DÉCOMPOSITION EN TÂCHES, DURÉES ET ANTÉRIORITÉS

Code	Désignation de la tâche	Durée	Antériorités
A	Installation de chantier et amenée des moyens	2 semaines	aucune
B	Terrassement des culées	3 semaines	A
C	Fondations profondes des pylônes (pieux forés)	4 semaines	A
D	Élévation des pylônes en béton armé	5 semaines	C
E	Construction des culées	3 semaines	B
F	Assemblage du tablier métallique	6 semaines	D et E
G	Mise en tension des haubans	4 semaines	F
H	Pose des équipements de sécurité	2 semaines	F
I	Finitions et revêtements	2 semaines	G et H
J	Réception et repli des installations	1 semaine	I

DONNÉES CONTRACTUELLES

Symbole	Désignation	Valeur	Unité
\( M \)	Montant du marché de travaux, hors taxes	12 500 000	€
\( p \)	Pénalité journalière de retard stipulée par les documents particuliers du marché	15 000	€/jour
\( n_{\text{s}} \)	Nombre de jours retenus par semaine pour le décompte des pénalités fixé par l'article 19.1.1	7	jours

EXTRAITS DU CCAG TRAVAUX — ARRÊTÉ DU 30 MARS 2021 MODIFIÉ

Référence	Disposition
art. 28.2.3	« Dans le cas de travaux allotis, le calendrier détaillé d'exécution est élaboré par le responsable de la mission d'ordonnancement-pilotage-coordination (OPC) du chantier, en concertation avec les titulaires des différents lots, puis il est soumis par l'OPC à l'approbation du maître d'ouvrage et adressé pour avis au maître d'œuvre, au plus tard quinze jours avant l'expiration de la période de préparation. Ce calendrier est ensuite notifié par ordre de service aux titulaires de chacun des lots. »
art. 18.1.1	« Le délai d'exécution du marché comprend la période de préparation […] et le délai d'exécution des travaux […]. Le délai d'exécution des travaux est celui imparti pour la réalisation des travaux incombant au titulaire, y compris le repliement des installations de chantier et la remise en état des terrains et des lieux. »
art. 18.2.1	« En dehors des cas prévus aux articles 18.2.2 et 18.2.3, la prolongation du délai d'exécution ne peut résulter que d'un avenant. »
art. 18.2.2	Une prolongation du délai « peut être justifié par : […] la survenance de difficultés ou de circonstances imprévues au cours du chantier ; un ajournement de travaux décidé par le maître d'ouvrage ; un retard dans l'exécution d'opérations préliminaires […] qui sont à la charge du maître d'ouvrage, ou de travaux préalables qui font l'objet d'un autre marché ».
art. 19.1.1	« Les samedis, les dimanches et les jours fériés ou chômés ne sont pas déduits pour le calcul des pénalités. »
art. 19.2.1	« Le titulaire est exonéré des pénalités dont le montant total ne dépasse pas 1 000 euros pour l'ensemble du marché. »
art. 19.2.2	« Le montant total des pénalités de retard appliquées au titulaire ne peut excéder 10 % du montant total hors taxes du marché, de la tranche considérée ou du bon de commande. »
art. 19.2.3	« En cas de retard imputable au titulaire dans l'exécution des travaux […] il est appliqué une pénalité journalière de 1/3 000 du montant hors taxes de l'ensemble du marché, de la tranche considérée ou du bon de commande. »

Conventions d'étude

Les hypothèses suivantes ne sont fixées par aucun texte : elles sont posées pour les besoins de l'exercice et doivent être annoncées comme telles dans toute note d'ordonnancement.

Origine des temps : la date de début d'exécution notifiée par ordre de service constitue l'instant zéro. Toutes les dates sont exprimées en semaines écoulées depuis cet instant.
Granularité hebdomadaire : les durées sont des nombres entiers de semaines. Aucun fractionnement de tâche n'est admis.
Liaisons de fin à début, sans décalage : une tâche démarre dès l'achèvement de tous ses prédécesseurs. Aucun délai d'attente technique ni recouvrement n'est introduit.
Ressources illimitées : deux tâches sans lien d'antériorité peuvent se dérouler simultanément. Le nivellement des ressources ne fait pas partie de la présente étude.
Durées déterministes : chaque tâche est décrite par une durée unique, et non par un triplet optimiste, probable et pessimiste. Le réseau est donc traité en calcul déterministe.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche progresse en six étapes, de la structure vers l'argent. La première ordonne le réseau par rangs ; la deuxième calcule les dates au plus tôt et fixe la durée incompressible ; la troisième remonte le réseau pour établir les marges totales ; la quatrième distingue la marge réellement disponible de celle qui déplace les tâches suivantes ; la cinquième isole le chemin critique et mesure la distance des autres chemins ; la sixième traduit le tout en pénalités. Un planning qui s'arrêterait à la marge totale serait exact et trompeur.

Question 1 : Structure du réseau et rangs

Structurer 20 min | Accessible

But de l'étape : Ordonner les tâches par profondeur topologique pour rendre le réseau lisible et vérifier qu’il est complet.

Travail demandé : Établissez le rang de la tâche d’assemblage du tablier puis celui de la réception, la charge totale du réseau, le nombre de liaisons d’antériorité et le taux de parallélisme.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le rang d’une tâche vaut le rang le plus élevé de ses antériorités, augmenté de un.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Une tâche sans antériorité est de rang 1 ; le rang le plus élevé du réseau en donne la profondeur.

Question 2 : Dates au plus tôt et durée du projet

Calculer 25 min | Accessible

But de l'étape : Déterminer la durée incompressible du chantier par le parcours aller du réseau.

Travail demandé : Calculez les fins au plus tôt des deux branches qui convergent sur le tablier, le début au plus tôt du tablier, celui des finitions, puis la durée totale du projet.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Aux convergences, la tâche attend le plus tardif de ses prédécesseurs : c’est un maximum.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La durée du projet est la fin au plus tôt de la dernière tâche du réseau.

Question 3 : Dates au plus tard et marges totales

Analyser 30 min | Intermédiaire

But de l'étape : Mesurer, par le parcours retour, la flexibilité de chaque tâche au regard de la date de livraison.

Travail demandé : Calculez le début au plus tard des équipements, la fin au plus tard du tablier au point de convergence retour, puis les marges totales des équipements, des culées et du terrassement.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Au retour, une tâche suivie de plusieurs autres doit satisfaire la plus contraignante : c’est un minimum.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La marge totale est l’écart entre le début au plus tard et le début au plus tôt d’une même tâche.

Question 4 : Marge libre et partage de la marge

Distinguer 30 min | Intermédiaire

But de l'étape : Séparer la marge réellement disponible de celle qui, si elle est consommée, déplace les tâches suivantes.

Travail demandé : Calculez la marge libre du terrassement, sa marge interférente, la marge libre des culées, celle des équipements, puis le facteur de surestimation qu’introduit la lecture du seul tableau des marges totales.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La marge libre se mesure sur le début au plus tôt du successeur, jamais sur la date de fin du projet.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Une marge totale positive assortie d’une marge libre nulle signale une marge empruntée à la tâche suivante.

Question 5 : Chemin critique et robustesse du réseau

Identifier 25 min | Intermédiaire

But de l'étape : Isoler la séquence qui commande la date de livraison et mesurer à quelle distance se tiennent les autres.

Travail demandé : Vérifiez la longueur du chemin critique, calculez celle du chemin quasi critique et sa marge, celle du chemin le plus court, puis la part de la charge portée par les tâches critiques.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La somme des durées des tâches à marge totale nulle doit redonner exactement la durée du projet.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La marge d’un chemin complet est égale à la somme des marges libres des tâches qui le composent.

Question 6 (Finale) : Valorisation financière des retards

Conclure 30 min | BOSS

But de l'étape : Traduire le réseau en euros : c’est sous cette forme que le calendrier engage le titulaire et le maître d’ouvrage.

La difficulté de cette question : l’unité de compte des pénalités n’est pas celle du planning. Les durées sont exprimées en semaines de travail, les pénalités en jours calendaires — et le cahier des clauses administratives générales interdit de déduire les samedis, les dimanches et les jours fériés.

Chiffrez la pénalité d’une semaine de retard sur le chemin critique, l’écart qu’introduirait un décompte en jours ouvrés, la pénalité d’un retard de trois semaines sur les équipements, le plafond réglementaire des pénalités et le nombre de jours de retard qui l’atteindrait.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Convertissez d’abord les semaines en jours calendaires, puis multipliez par la pénalité journalière.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Un retard inférieur à la marge libre d’une tâche ne décale rien : la pénalité correspondante est nulle.

NOTE DE CALCULS

Création d'un Diagramme PERT/CPM

Question 1 : Structure du réseau et rangs

Dans la tête de l'ingénieur

« Dix tâches, onze liaisons : je pourrais tracer le réseau tout de suite, à la main, et j'obtiendrais un graphe illisible avec des flèches qui se croisent. Le rang existe pour éviter cela. Il ne s'agit pas d'esthétique : un réseau où l'on ne voit pas les branches parallèles est un réseau où l'on ne verra pas non plus les marges. Je vais donc classer les tâches par profondeur topologique, ce qui me donnera en prime deux contrôles de cohérence gratuits — toute tâche doit recevoir un rang, et le rang de la dernière tâche donne la profondeur du réseau. Attention à une confusion classique : le rang n'est pas une date. Une tâche de rang 3 peut fort bien démarrer avant une tâche de rang 2 si les durées qui la précèdent sont courtes ; le rang ordonne la logique, pas le temps. »

Observation : Une seule tâche est sans antériorité et une seule est sans successeur : le réseau possède une entrée unique et une sortie unique.
Analyse du risque : Une tâche oubliée dans le classement signale une antériorité mal saisie ou un circuit dans le graphe, qui rendrait tout calcul de dates impossible.
Choix stratégique : Procéder par élimination successive : on retire les tâches classées, puis on recommence sur ce qui reste.
Alternative : On pourrait classer directement par date au plus tôt. Le graphe serait alors à l'échelle du temps, mais deux tâches indépendantes de même date se superposeraient, et la logique d'antériorité deviendrait illisible.
Objectif visé : Obtenir le rang du tablier, la profondeur du réseau, sa charge totale, son nombre de liaisons et son taux de parallélisme.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Rang du tablier 4 · profondeur du réseau 7 rangs · charge totale 32 semaines-tâches · 11 liaisons · taux de parallélisme 1,43

Rappel Théorique : le rang dans un graphe sans circuit

Le réseau d'ordonnancement est un graphe orienté sans circuit. Le rang en est la structure d'ordre, et il se calcule avant toute date.

Définition : le rang d'une tâche est la longueur du plus long chemin, comptée en nombre de tâches, qui aboutit à elle. Les tâches sans antériorité sont de rang 1.
Construction par élimination : le rang \( k \) rassemble les tâches dont toutes les antériorités appartiennent aux rangs 1 à \( k-1 \). On les retire, et l'on recommence.
Condition d'existence : le classement n'aboutit que si le graphe est sans circuit. Un blocage — un lot de tâches dont aucune ne peut être classée — révèle une boucle d'antériorités.
Le rang n'est pas une date : il ordonne la logique, non le temps. Une tâche de rang élevé peut démarrer tôt si les chaînes qui la précèdent sont courtes.
Portée contractuelle : l'article 28.2.3 du cahier des clauses administratives générales applicable aux marchés publics de travaux confie l'élaboration du calendrier détaillé d'exécution au responsable de la mission d'ordonnancement-pilotage-coordination, qui le soumet à l'approbation du maître d'ouvrage avant notification par ordre de service aux titulaires de chacun des lots.

Équations Fondamentales

Quatre relations. La première classe les tâches, les trois autres caractérisent le réseau obtenu : sa charge, sa connexité et son parallélisme.

Formule 1 — Rang d'une tâche :

Elle donne le rang d'une tâche à partir de ceux de ses antériorités.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une tâche ne peut être placée qu'après la plus profonde de ses antériorités. Le maximum traduit cette contrainte, et l'ajout de un place la tâche au rang immédiatement suivant. C'est la même logique que celle du calcul des dates, appliquée à un compteur de profondeur au lieu d'un compteur de temps.

Contexte de validité : elle suppose le graphe sans circuit : sinon le rang n'est pas défini.
Avantage : elle permet de tracer le réseau sans croisement de flèches, ce qui rend les branches parallèles immédiatement visibles.
Paramètre clé : l'exhaustivité de la liste des antériorités : une liaison omise fait remonter la tâche d'un ou plusieurs rangs.
Vérification : chaque tâche doit recevoir un rang, et un seul.
Limite : le rang ignore les durées : deux tâches de même rang peuvent démarrer à des dates très différentes.

\[ \begin{aligned} \text{rang}(j) = \max_{i \in \text{pred}(j)} \; \text{rang}(i) + 1 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Combien de tâches doivent nécessairement s'enchaîner avant celle-ci ? C'est la profondeur logique de la tâche dans le chantier.

Décomposition des termes :

\( \text{rang}(j) \) : rang de la tâche \( j \), sans dimension
\( \text{pred}(j) \) : ensemble des antériorités de la tâche \( j \), sans dimension
\( \text{rang}(i) \) : rang d'une antériorité, sans dimension

Formule 2 — Charge totale du réseau :

Elle additionne les durées de toutes les tâches du réseau.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle donne la durée qu'aurait le chantier si aucune tâche ne pouvait être menée en parallèle. C'est la borne supérieure du délai, et le terme de comparaison qui rendra visible le bénéfice du parallélisme une fois la durée réelle établie.

Contexte de validité : elle exige que chaque tâche soit comptée une seule fois.
Avantage : elle fournit une borne supérieure immédiate, indépendante de toute analyse du réseau.
Paramètre clé : la finesse de la décomposition : découper une tâche en deux ne change pas la charge, mais change le nombre de liaisons.
Vérification : la charge doit être supérieure ou égale à la durée du projet, quelle que soit la structure du réseau.
Limite : elle ne dit rien de la durée réelle : deux réseaux de même charge peuvent avoir des délais très différents.

\[ \begin{aligned} W = \sum_{i=1}^{n} d_{i} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Combien de temps durerait le chantier si tout se faisait l'un après l'autre ? C'est la borne supérieure du délai.

Décomposition des termes :

\( W \) : charge totale du réseau, unité : semaines-taches
\( n \) : nombre de tâches du réseau, sans dimension
\( d_{i} \) : durée de la tâche de rang \( i \), unité : semaines

Formule 3 — Nombre de liaisons d'antériorité :

Elle compte les contraintes d'enchaînement déclarées dans le réseau.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est le contrôle de complétude du réseau. Chaque liaison exprime une contrainte physique de chantier ; leur nombre se compare à la liste des antériorités saisie, et tout écart signale une saisie incomplète — la cause la plus fréquente d'un planning faux.

Contexte de validité : elle compte les liaisons déclarées ; les liaisons implicites par transitivité ne sont pas recomptées.
Avantage : elle détecte une tâche isolée, sans antériorité ni successeur, qui serait une erreur de saisie.
Paramètre clé : les tâches à double antériorité, qui apportent chacune deux liaisons et créent les points de convergence.
Vérification : le total doit valoir au moins \( n-1 \) pour que le réseau soit d'un seul tenant.
Limite : un nombre correct de liaisons ne garantit pas qu'elles soient les bonnes : seule la revue de chantier le dit.

\[ \begin{aligned} m = \sum_{j=1}^{n} \; \bigl| \text{pred}(j) \bigr| \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Combien de contraintes d'enchaînement le chantier impose-t-il ? Chacune correspond à une impossibilité physique de commencer avant.

Décomposition des termes :

\( m \) : nombre de liaisons d'antériorité, sans dimension
\( n \) : nombre de tâches du réseau, sans dimension
\( \bigl| \text{pred}(j) \bigr| \) : nombre d'antériorités de la tâche \( j \), sans dimension

Formule 4 — Taux de parallélisme moyen :

Elle rapporte le nombre de tâches à la profondeur du réseau.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle donne en un nombre la forme du réseau. Proche de l'unité, le chantier est une file : chaque corps d'état attend le précédent, et toute défaillance se répercute intégralement. Très supérieur à l'unité, le chantier est un peigne : beaucoup d'équipes simultanées, donc un problème de ressources plutôt qu'un problème de délai.

Contexte de validité : elle décrit une moyenne : un réseau peut être très parallèle localement et séquentiel ailleurs.
Avantage : elle annonce le type de pilotage requis : coordination d'équipes ou surveillance d'une file.
Paramètre clé : la profondeur du réseau, qui décroît dès qu'une antériorité est supprimée.
Vérification : le taux vaut exactement un lorsque toutes les tâches sont strictement séquentielles.
Limite : il ignore les durées : deux tâches parallèles très inégales ne produisent pas le parallélisme que le taux laisse espérer.

\[ \begin{aligned} \rho = \frac{n}{r} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Combien de tâches se déroulent en moyenne de front sur ce chantier ? C'est la forme du réseau, résumée en un nombre.

Décomposition des termes :

\( \rho \) : taux de parallélisme moyen, sans dimension
\( n \) : nombre de tâches du réseau, sans dimension
\( r \) : profondeur du réseau, en nombre de rangs, sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le réseau compte sept rangs et la charge totale atteint 32 semaines. Le chantier durera donc entre 7 et 32 semaines, et probablement autour de 20 semaines si l'on répartit uniformément. »

L'approche d'ingénieur : Le rang et la durée sont deux grandeurs sans rapport de proportionnalité. Sept rangs signifient que sept tâches au moins devront s'enchaîner, mais la durée dépendra entièrement de lesquelles. Un rang peut porter une tâche de une semaine comme une tâche de six. Aucune moyenne, aucune interpolation entre 7 et 32 ne donnera la durée : seul le calcul des dates au plus tôt le fera, en suivant chemin par chemin. La charge de 32 semaines-tâches n'est utile que comme borne supérieure et comme terme de comparaison une fois la durée réelle connue.

L'erreur : traiter le rang comme une date ou comme un facteur d'échelle du temps.
La bonne méthode : utiliser le rang pour tracer le réseau, puis calculer les dates sur ce réseau tracé.
L'astuce de pro : inscrire la durée dans la case de chaque tâche dès le tracé du réseau. Le lecteur voit alors immédiatement qu'un rang peut peser six semaines ou une seule.
Le moyen mnémotechnique : « le rang compte les tâches, pas les semaines ».
L'impact direct : une durée annoncée au maître d'ouvrage avant tout calcul, sur laquelle il faudra revenir.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Rangs, nombre de tâches, nombre de liaisons : grandeurs entières sans dimension
Durées : exprimées en semaines entières
Charge totale : somme de durées, exprimée en semaines-taches pour la distinguer d'un délai
Taux de parallélisme : rapport de deux nombres entiers, donc sans dimension
Aucune de ces grandeurs n'est une date : les dates n'apparaîtront qu'à l'étape suivante

Cinq calculs. Les deux premiers appliquent la relation de rang au point de convergence puis à la dernière tâche, le troisième établit la charge, le quatrième compte les liaisons, le cinquième donne le taux de parallélisme.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Rang de l'assemblage du tablier

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le tablier est le premier point de convergence du réseau : c'est là que le classement par rang doit trancher entre deux branches.

Méthodologie du calcul :

L'installation est seule sans antériorité : elle est de rang 1. Le terrassement et les fondations n'en dépendent que d'elle : rang 2. Les culées suivent le terrassement et l'élévation des pylônes suit les fondations : rang 3. Le tablier prend alors le rang immédiatement supérieur au plus élevé de ses deux antériorités.

Substitution : on injecte les rangs des deux antériorités, tous deux égaux à 3.
Piège évité : ne pas classer le tablier au rang 4 avant d'avoir vérifié que ses deux antériorités sont classées : c'est la condition même de la méthode.
Hypothèse validée : les deux branches — culées et pylônes — sont bien indépendantes l'une de l'autre jusqu'à ce point.
Vérification croisée : aucune tâche de rang supérieur à 3 ne figure parmi les antériorités du tablier.
Finalité : placer le point de convergence à sa colonne exacte dans le tracé du réseau.

\[ \begin{aligned} \text{rang}(\text{F}) &= \max \bigl( \text{rang}(\text{D}) , \; \text{rang}(\text{E}) \bigr) + 1 \\[3pt] &= \max(3 , \, 3) + 1 \\[3pt] &= \mathbf{4} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le tablier occupe le quatrième rang du réseau, à mi-parcours exact de sa profondeur. Sa position n'est pas anodine : c'est la seule tâche par laquelle tous les chemins du chantier doivent passer. Ce qui la précède est un faisceau de deux branches, ce qui la suit un second faisceau. Un point de passage obligé de cette nature concentre le risque : tout ce qui l'affecte affecte le projet entier.

Ordre de grandeur : rang 4 sur une profondeur de 7.
Impact sur la suite : c'est à cette tâche que s'appliquera le premier maximum du calcul des dates au plus tôt.
Cohérence : les deux antériorités sont de même rang, ce qui confirme la symétrie topologique des deux branches.
Attention : cette symétrie est topologique et non temporelle : les deux branches n'ont pas la même durée.
Comparaison : c'est aussi la tâche la plus longue du réseau, avec six semaines.

Remarque pédagogique : Repérez toujours les points de passage obligé d'un réseau. Ce sont les tâches par lesquelles tous les chemins transitent, et elles concentrent à elles seules l'essentiel du risque de délai.

Calcul 2 — Profondeur du réseau

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le rang de la dernière tâche donne le nombre de colonnes du tracé et confirme qu'aucune tâche n'est restée orpheline.

Méthodologie du calcul :

On poursuit l'élimination au-delà du tablier : la mise en tension des haubans et la pose des équipements n'en dépendent que de lui, puis les finitions dépendent des deux, puis la réception des finitions.

Substitution : on applique trois fois la relation de rang, à partir du rang 4 du tablier.
Piège évité : les finitions ont deux antériorités de même rang 5 : le rang obtenu est 6, et non 7.
Hypothèse validée : la réception est bien la seule tâche sans successeur du réseau.
Vérification croisée : les dix tâches se répartissent en 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1, ce qui totalise bien dix.
Finalité : fixer le nombre de colonnes du réseau et clore le classement.

\[ \begin{aligned} r &= \text{rang}(\text{J}) \\[3pt] &= \text{rang}(\text{I}) + 1 \\[3pt] &= \mathbf{7} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Sept rangs pour dix tâches : le réseau est profond et peu ramifié. Sept tâches au moins devront s'enchaîner strictement, ce qui laisse peu de prise à l'accélération par mobilisation de moyens. Le contrôle de complétude est satisfait : chacune des dix tâches a reçu un rang, ce qui établit au passage que le graphe des antériorités ne comporte aucun circuit.

Ordre de grandeur : 7 rangs pour 10 tâches.
Impact sur la suite : cette profondeur donne le nombre de colonnes du tracé du réseau.
Cohérence : aucune tâche n'est restée non classée : le graphe est bien sans circuit.
Attention : sept rangs ne signifient pas sept semaines : la profondeur ne mesure pas le temps.
Comparaison : trois rangs seulement portent deux tâches ; les quatre autres n'en portent qu'une.

Remarque pédagogique : Le classement par rang est aussi un test de validité du réseau. S'il se bloque sur un lot de tâches qu'aucune règle ne libère, c'est qu'un circuit d'antériorités a été saisi — et aucun calcul de dates ne serait alors possible.

Calcul 3 — Charge totale du réseau

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'elle fournit la borne supérieure du délai et le terme auquel se comparera la durée réelle une fois établie.

Méthodologie du calcul :

On additionne les durées des dix tâches, dans l'ordre alphabétique de leurs codes.

Substitution : on injecte 2, 3, 4, 5, 3, 6, 4, 2, 2 et 1 semaine.
Piège évité : ne pas confondre cette somme avec la durée du projet : elle en est la borne supérieure, atteinte seulement si rien n'est parallélisable.
Hypothèse validée : chaque tâche est comptée une seule fois, y compris celles qui appartiennent à deux chemins.
Vérification croisée : la charge divisée par le nombre de tâches donne une durée moyenne de 3,20 semaines, cohérente avec les valeurs saisies.
Finalité : disposer d'un terme de comparaison pour mesurer le bénéfice du parallélisme.

\[ \begin{aligned} W &= 2 + 3 + 4 + 5 + 3 + 6 + 4 + 2 + 2 + 1 \\[3pt] &= \mathbf{32} \text{ semaines-taches} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Trente-deux semaines-tâches de travail à répartir sur le chantier. C'est ce que durerait l'opération si une seule équipe traitait les tâches l'une après l'autre. La durée réelle sera nécessairement inférieure, puisque le réseau comporte des branches parallèles ; l'écart entre les deux mesurera exactement ce que le parallélisme fait gagner. La tâche la plus longue, le tablier, en représente à elle seule 18,75 %.

Ordre de grandeur : 32 semaines-tâches, pour une durée moyenne de 3,20 semaines par tâche.
Impact sur la suite : la durée du projet sera confrontée à cette charge pour établir la part portée par le chemin critique.
Cohérence : la charge dépasse nécessairement la durée du projet, quelle que soit la structure du réseau.
Attention : l'unité semaines-taches n'est pas une durée : deux tâches d'une semaine menées de front font une semaine de calendrier.
Comparaison : les trois tâches les plus longues — tablier, pylônes et haubans — cumulent 15 semaines, soit 46,88 % de la charge.

Remarque pédagogique : Distinguez toujours par l'unité une charge et un délai. Écrire « 32 semaines » pour une charge est l'origine de la plupart des malentendus entre les méthodes et la conduite de travaux.

Calcul 4 — Nombre de liaisons d'antériorité

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le contrôle de complétude du réseau : une liaison manquante produit un planning optimiste que rien ne signale.

Méthodologie du calcul :

On compte les antériorités déclarées tâche par tâche : sept tâches en ont une seule, deux en ont deux, et l'installation n'en a aucune.

Substitution : on injecte sept liaisons simples et deux tâches à double antériorité.
Piège évité : compter deux liaisons pour le tablier et deux pour les finitions : ce sont les points de convergence, et c'est là que les saisies s'oublient.
Hypothèse validée : aucune liaison n'est déclarée deux fois, et aucune n'est implicite.
Vérification croisée : le total doit valoir au moins neuf pour que les dix tâches forment un réseau d'un seul tenant.
Finalité : s'assurer qu'aucune contrainte de chantier n'a été omise du réseau.

\[ \begin{aligned} m &= 7 \times 1 + 2 \times 2 \\[3pt] &= \mathbf{11} \text{ liaisons} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Onze liaisons pour dix tâches : le réseau est presque une arborescence. Neuf liaisons suffiraient à relier dix tâches en une file ; les deux liaisons supplémentaires sont exactement celles qui créent les deux points de convergence. Un réseau de chantier réel en compterait bien davantage, et c'est précisément le nombre de liaisons — non le nombre de tâches — qui rend un planning difficile à tenir.

Ordre de grandeur : 11 liaisons pour 10 tâches, soit 1,10 liaison par tâche.
Impact sur la suite : les deux liaisons excédentaires marquent les deux convergences où s'appliqueront les opérateurs maximum et minimum.
Cohérence : onze est bien supérieur au minimum de neuf : le réseau est d'un seul tenant.
Attention : un compte correct ne dit pas que les liaisons sont les bonnes : seule la revue avec les conducteurs de travaux le dit.
Comparaison : deux tâches sur dix concentrent quatre des onze liaisons, soit 36,36 % d'entre elles.

Remarque pédagogique : Faites relire la liste des liaisons par les conducteurs de travaux, pas la liste des tâches. Les tâches, tout le monde les voit ; les contraintes d'enchaînement, personne, sauf ceux qui les subissent.

Calcul 5 — Taux de parallélisme moyen

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il annonce en un nombre le type de pilotage que le chantier exigera : coordination de fronts simultanés ou surveillance d'une file.

Méthodologie du calcul :

On divise le nombre de tâches par la profondeur du réseau.

Substitution : on injecte \( n = 10 \) tâches et \( r = 7 \) rangs.
Piège évité : ne pas lire ce taux comme un nombre d'équipes : il ne tient aucun compte des durées ni des ressources.
Hypothèse validée : les tâches d'un même rang sont bien simultanément réalisables, aucune contrainte de ressource n'étant introduite.
Vérification croisée : un réseau strictement séquentiel donnerait exactement 1,00.
Finalité : caractériser la forme du réseau avant d'en calculer les dates.

\[ \begin{aligned} \rho &= \frac{10}{7} \\[3pt] &= \mathbf{1{,}43} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un virgule quarante-trois : le chantier est une file, à peine ramifiée. En moyenne, une tâche et demie se déroule de front. La conséquence pratique est immédiate : ce chantier ne se pilote pas par la coordination d'équipes simultanées mais par la surveillance d'un enchaînement. Renforcer les moyens n'y raccourcira le délai que si l'on agit sur les tâches de la file elle-même — celles que le chemin critique désignera.

Ordre de grandeur : 1,43, pour une valeur plancher de 1,00.
Impact sur la suite : un réseau peu parallèle laisse attendre une forte proportion de tâches critiques.
Cohérence : trois rangs sur sept portent deux tâches, ce qui donne bien une moyenne légèrement supérieure à l'unité.
Attention : ce taux est une moyenne topologique : il ne dit pas combien d'équipes seront simultanément présentes sur site.
Comparaison : un réseau de même effectif étalé sur quatre rangs donnerait 2,50, soit un chantier bien plus difficile à approvisionner.

Remarque pédagogique : Un réseau peu parallèle est simple à coordonner et difficile à rattraper. Un réseau très parallèle est l'inverse. Le taux de parallélisme vous dit lequel des deux problèmes vous aurez.

RÉSEAU LOGIQUE ORDONNÉ PAR RANGS

RÉSULTAT FINAL

r = 7 rangs charge 32 semaines-tâches — 11 liaisons — parallélisme 1,43

Le réseau se structure en sept rangs, l'assemblage du tablier occupant le quatrième en position de passage obligé. Les dix tâches représentent une charge de 32 semaines-tâches et onze liaisons d'antériorité, dont deux excédentaires qui créent les points de convergence. Le taux de parallélisme de 1,43 annonce un chantier en file, peu ramifié.

Question 2 : Dates au plus tôt et durée du projet

Dans la tête de l'ingénieur

« Le réseau est tracé, je vais maintenant le parcourir de l'entrée vers la sortie en propageant les dates. La règle est celle de la prudence : une tâche ne démarre que lorsque toutes ses antériorités sont achevées, donc lorsque la plus tardive d'entre elles l'est. Deux points seulement demandent de l'attention — les deux convergences — et c'est là que se commettent presque toutes les erreurs de planning, parce qu'on y lit la première date d'arrivée au lieu de la dernière. Ce que je vais obtenir n'est pas une durée souhaitée mais une durée incompressible : à moyens constants et à logique constante, le chantier ne peut pas aller plus vite. Si le maître d'ouvrage veut moins, il devra changer l'un des deux. »

Observation : Les deux branches issues de l'installation ne durent pas le même temps : l'une totalise neuf semaines, l'autre six.
Analyse du risque : Lire un minimum au lieu d'un maximum à une convergence produit un planning irréalisable que rien ne signale : les dates restent cohérentes entre elles.
Choix stratégique : Écrire explicitement les deux dates d'arrivée à chaque convergence avant de choisir, plutôt que de conclure de tête.
Alternative : On pourrait parcourir le réseau chemin par chemin et retenir le plus long. La méthode donne le même résultat mais devient impraticable dès que les chemins se comptent par centaines.
Objectif visé : Obtenir les fins au plus tôt des deux branches, les deux dates de convergence et la durée totale du projet.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Fin des pylônes semaine 11 · fin des culées semaine 8 · début du tablier semaine 11 · début des finitions semaine 21 · durée du projet 24 semaines

Rappel Théorique : le parcours aller et la durée incompressible

Le parcours aller propage les dates de l'entrée du réseau vers sa sortie. Il ne demande qu'une addition et un maximum, et il donne la seule durée que la logique du chantier autorise.

Origine des temps : la date de début d'exécution notifiée par ordre de service constitue l'instant zéro. Les tâches sans antériorité démarrent à cette date.
Propagation : la fin au plus tôt d'une tâche est son début au plus tôt augmenté de sa durée. Cette fin devient le début au plus tôt de ses successeurs.
Règle des convergences : une tâche à plusieurs antériorités démarre au maximum de leurs fins. C'est la traduction mathématique de « on attend le plus lent ».
Durée du projet : c'est la fin au plus tôt de la dernière tâche. Elle est incompressible à logique et à durées constantes.
Portée contractuelle : l'article 18.1.1 du cahier des clauses administratives générales applicable aux marchés publics de travaux précise que le délai d'exécution des travaux est celui « imparti pour la réalisation des travaux incombant au titulaire, y compris le repliement des installations de chantier et la remise en état des terrains et des lieux » : la tâche de repli entre dans le délai et ne peut être retranchée du calcul.

Équations Fondamentales

Deux relations suffisent au parcours aller. La première avance le long d'une tâche, la seconde arbitre aux convergences.

Formule 1 — Fin au plus tôt d'une tâche :

Elle ajoute la durée de la tâche à son début au plus tôt.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle constitue le pas élémentaire de la propagation. Toute la marche avant se ramène à sa répétition le long des chemins, entrecoupée d'arbitrages aux convergences. Sa simplicité est trompeuse : c'est elle qui transforme une logique d'antériorités en un calendrier de dates.

Contexte de validité : elle suppose la tâche continue : ni interruption, ni fractionnement.
Avantage : elle ne demande qu'une addition, ce qui rend le calcul vérifiable à la main sur un réseau de cette taille.
Paramètre clé : la durée estimée, seule donnée du calcul qui repose sur un jugement de méthodes.
Vérification : la fin au plus tôt doit être strictement supérieure au début, toute durée étant non nulle.
Limite : elle ignore les ressources : deux tâches simultanées mobilisant la même grue seraient pourtant incompatibles.

\[ \begin{aligned} \text{EF}_{i} = \text{ES}_{i} + d_{i} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? À quelle date cette tâche peut-elle être achevée au mieux ? C'est le pas élémentaire de tout le calendrier.

Décomposition des termes :

\( \text{EF}_{i} \) : fin au plus tôt de la tâche \( i \), unité : semaines
\( \text{ES}_{i} \) : début au plus tôt de la tâche \( i \), unité : semaines
\( d_{i} \) : durée de la tâche \( i \), unité : semaines

Formule 2 — Début au plus tôt à une convergence :

Elle retient la plus tardive des fins au plus tôt des antériorités.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une tâche à plusieurs antériorités ne peut commencer qu'une fois la dernière achevée. Le maximum est la traduction exacte de cette contrainte physique : on ne lance pas un tablier sur des appuis dont l'un n'est pas encore construit. C'est la seule opération du parcours aller qui puisse être fausse sans être détectable.

Contexte de validité : elle suppose des liaisons de fin à début sans décalage.
Avantage : elle identifie au passage la branche déterminante : celle qui a fourni le maximum.
Paramètre clé : l'écart entre les deux dates comparées, qui préfigure la marge de la branche la plus rapide.
Vérification : le résultat doit être supérieur ou égal à chacune des fins comparées.
Limite : prendre le minimum par inadvertance produit un calendrier cohérent et irréalisable : aucune vérification interne ne l'attrape.

\[ \begin{aligned} \text{ES}_{j} = \max_{i \in \text{pred}(j)} \; \text{EF}_{i} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Quand la dernière des conditions préalables sera-t-elle remplie ? On attend le plus lent, jamais le plus rapide.

Décomposition des termes :

\( \text{ES}_{j} \) : début au plus tôt de la tâche \( j \), unité : semaines
\( \text{pred}(j) \) : ensemble des antériorités de la tâche \( j \), sans dimension
\( \text{EF}_{i} \) : fin au plus tôt d'une antériorité, unité : semaines

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Les culées sont achevées en semaine 8 : l'assemblage du tablier peut donc démarrer en semaine 8, ce qui livrerait l'ouvrage en semaine 21 au lieu de 24. »

L'approche d'ingénieur : Le tablier repose sur les culées et sur les pylônes. Il ne peut donc être assemblé qu'une fois les deux appuis disponibles, c'est-à-dire en semaine 11 et non en semaine 8. Retenir la première date d'arrivée au lieu de la dernière raccourcit le planning de trois semaines — et le rend physiquement irréalisable. Le plus insidieux est que ce planning reste parfaitement cohérent : toutes les dates s'enchaînent, aucune ne se contredit. Seule la confrontation au chantier révélerait qu'on lance un tablier sur des pylônes en cours de coulage.

L'erreur : appliquer un minimum là où la convergence impose un maximum.
La bonne méthode : écrire les deux dates l'une sous l'autre, puis choisir. Jamais l'inverse.
L'astuce de pro : annoter le réseau du nom de la branche déterminante à chaque convergence. Le lecteur sait alors immédiatement quelle chaîne surveiller.
Le moyen mnémotechnique : « à l'aller on attend, au retour on contraint » — maximum puis minimum.
L'impact direct : trois semaines annoncées en trop au maître d'ouvrage, soit 315 000 € de pénalités inéluctables au tarif contractuel.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Dates : exprimées en semaines écoulées depuis l'origine des temps
Durées : exprimées en semaines, entières
Somme d'une date et d'une durée : semaine + semaine = semaine
La semaine 11 désigne l'instant où onze semaines se sont écoulées, non la onzième semaine de travail
Un maximum ou un minimum de dates reste une date

Cinq calculs. Les deux premiers remontent les deux branches jusqu'à la première convergence, le troisième et le quatrième arbitrent aux deux convergences, le cinquième donne la durée du projet.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Fin au plus tôt de l'élévation des pylônes

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette branche enchaîne les deux tâches les plus longues des fondations : c'est elle qui risque de commander la convergence.

Méthodologie du calcul :

L'installation démarre à l'origine et s'achève en semaine 2. Les fondations profondes lui succèdent et s'achèvent en semaine 6. L'élévation des pylônes démarre alors et dure cinq semaines.

Substitution : on injecte \( \text{ES}_{\text{D}} = 6 \) semaines et \( d_{\text{D}} = 5 \) semaines.
Piège évité : ne pas oublier les deux semaines d'installation : la branche démarre en semaine 2, pas à l'origine.
Hypothèse validée : l'élévation succède aux fondations sans délai d'attente, conformément aux conventions d'étude.
Vérification croisée : la somme des trois durées de la branche, soit 2 + 4 + 5, doit redonner la fin obtenue.
Finalité : disposer de la première des deux dates que la convergence devra départager.

\[ \begin{aligned} \text{EF}_{\text{D}} &= \text{ES}_{\text{D}} + d_{\text{D}} \\[3pt] &= 6 + 5 \\[3pt] &= \mathbf{11} \text{ semaines} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les pylônes sont achevés en semaine 11, soit après onze des vingt-quatre semaines du chantier. Cette branche cumule 11 semaines-tâches, c'est-à-dire 34,38 % de la charge totale du réseau pour trois tâches sur dix. Elle concentre les ouvrages en béton armé, dont les durées sont les moins compressibles : un pieu foré et un pylône ne s'accélèrent pas en doublant les équipes.

Ordre de grandeur : fin en semaine 11, après 2 + 4 + 5 semaines enchaînées.
Impact sur la suite : c'est la première des deux dates que la convergence du tablier devra départager.
Cohérence : la somme directe 2 + 4 + 5 redonne bien 11 semaines.
Attention : cette branche n'a encore aucun statut : rien ne dit à ce stade qu'elle est critique.
Comparaison : elle représente 45,83 % de la durée totale du projet pour trois tâches seulement.

Remarque pédagogique : Traitez les branches l'une après l'autre jusqu'à la convergence. Alterner entre elles multiplie les risques de report d'une date sur la mauvaise chaîne.

Calcul 2 — Fin au plus tôt de la construction des culées

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seconde branche du réseau, et que la convergence du tablier ne peut être arbitrée sans elle.

Méthodologie du calcul :

Le terrassement des culées succède à l'installation et s'achève en semaine 5. La construction des culées démarre alors et dure trois semaines.

Substitution : on injecte \( \text{ES}_{\text{E}} = 5 \) semaines et \( d_{\text{E}} = 3 \) semaines.
Piège évité : ne pas rattacher cette branche aux fondations : le terrassement des culées ne dépend que de l'installation.
Hypothèse validée : les deux branches sont menées simultanément, aucune contrainte de ressource ne s'y opposant.
Vérification croisée : la somme des trois durées de la branche, soit 2 + 3 + 3, doit redonner la fin obtenue.
Finalité : disposer de la seconde des deux dates que la convergence devra départager.

\[ \begin{aligned} \text{EF}_{\text{E}} &= \text{ES}_{\text{E}} + d_{\text{E}} \\[3pt] &= 5 + 3 \\[3pt] &= \mathbf{8} \text{ semaines} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les culées sont achevées en semaine 8, soit trois semaines avant les pylônes. Cet écart de trois semaines entre deux branches qui aboutissent au même point est la source de toute la souplesse du planning : c'est lui, et lui seul, qui produira les marges de cette partie du réseau. Une branche plus rapide ne fait pas gagner de temps au projet ; elle fabrique de la marge.

Ordre de grandeur : fin en semaine 8, après 2 + 3 + 3 semaines enchaînées.
Impact sur la suite : l'écart de trois semaines avec l'autre branche annonce la marge dont disposeront le terrassement et les culées.
Cohérence : la somme directe 2 + 3 + 3 redonne bien 8 semaines.
Attention : ces trois semaines d'écart sont une marge de branche, à partager entre ses tâches — non une marge par tâche.
Comparaison : la branche des culées est plus courte de 27,27 % que celle des pylônes.

Remarque pédagogique : Une branche rapide ne raccourcit rien : elle fabrique de la marge. Cette distinction sépare l'optimisation d'un planning de son simple accompagnement.

Calcul 3 — Début au plus tôt de l'assemblage du tablier

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la première convergence du réseau, et le point où se décide quelle branche commande le chantier.

Méthodologie du calcul :

On confronte les deux fins au plus tôt obtenues et l'on retient la plus tardive, le tablier ne pouvant reposer que sur des appuis tous achevés.

Substitution : on injecte \( \text{EF}_{\text{D}} = 11 \) semaines et \( \text{EF}_{\text{E}} = 8 \) semaines.
Piège évité : retenir le maximum et non le minimum : c'est ici que se joue la validité de tout le calendrier.
Hypothèse validée : les deux antériorités sont bien toutes deux nécessaires : le tablier prend appui sur les pylônes et sur les culées.
Vérification croisée : le résultat doit être supérieur ou égal à chacune des deux dates comparées.
Finalité : identifier la branche déterminante et fixer le démarrage du tablier.

\[ \begin{aligned} \text{ES}_{\text{F}} &= \max \bigl( \text{EF}_{\text{D}} , \; \text{EF}_{\text{E}} \bigr) \\[3pt] &= \max(11 , \, 8) \\[3pt] &= \mathbf{11} \text{ semaines} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Ce sont les pylônes qui imposent le rythme, et les culées qui attendent. Le tablier démarre en semaine 11, la branche des culées ayant terminé trois semaines plus tôt. Cette information a une valeur opérationnelle immédiate : accélérer le terrassement ou les culées ne fera rien gagner au projet, tandis qu'une semaine gagnée sur les fondations ou les pylônes en fera gagner une au chantier entier.

Ordre de grandeur : démarrage en semaine 11, dicté par la branche des pylônes.
Impact sur la suite : le tablier s'achèvera en semaine 17, ce qui commandera les deux tâches d'équipement.
Cohérence : 11 est bien supérieur aux deux dates comparées, dont l'une lui est égale.
Attention : les trois semaines d'écart ne sont pas perdues : elles deviennent la marge de la branche des culées.
Comparaison : retenir 8 au lieu de 11 raccourcirait le planning de 12,50 % et le rendrait irréalisable.

Remarque pédagogique : Notez à chaque convergence quelle branche a gagné. C'est cette annotation, et non la date elle-même, qui dit au conducteur de travaux où porter son effort.

Calcul 4 — Début au plus tôt des finitions

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seconde convergence, et la dernière occasion pour une branche secondaire de peser sur la date de livraison.

Méthodologie du calcul :

Le tablier s'achève en semaine 17. La mise en tension des haubans, de quatre semaines, s'achève en semaine 21 ; la pose des équipements, de deux semaines, s'achève en semaine 19. Les finitions attendent la plus tardive des deux.

Substitution : on injecte \( \text{EF}_{\text{G}} = 21 \) semaines et \( \text{EF}_{\text{H}} = 19 \) semaines.
Piège évité : les deux tâches démarrent à la même date : c'est leur durée, non leur début, qui les départage.
Hypothèse validée : les finitions supposent bien les haubans tendus et les équipements posés.
Vérification croisée : l'écart entre les deux fins doit valoir la différence des durées, soit deux semaines.
Finalité : fixer le démarrage des finitions et préparer le calcul de la durée du projet.

\[ \begin{aligned} \text{ES}_{\text{I}} &= \max \bigl( \text{EF}_{\text{G}} , \; \text{EF}_{\text{H}} \bigr) \\[3pt] &= \max(21 , \, 19) \\[3pt] &= \mathbf{21} \text{ semaines} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La mise en tension des haubans commande la seconde convergence, et les équipements attendent deux semaines. La situation est ici plus simple que la première : les deux tâches démarrent ensemble, seule leur durée les sépare. Les deux semaines d'écart constituent un temps mort pour l'équipe des équipements — un temps mort qui, à la différence de celui de la première convergence, sera intégralement disponible.

Ordre de grandeur : démarrage en semaine 21, dicté par les haubans.
Impact sur la suite : les deux semaines d'écart deviendront la marge des équipements, et elle sera intégralement libre.
Cohérence : l'écart de 21 à 19 vaut bien la différence des durées, soit 4 − 2 = 2 semaines.
Attention : cette marge appartient à une tâche unique et non à une chaîne : elle ne se partagera avec personne.
Comparaison : les haubans durent le double des équipements, pour un démarrage identique.

Remarque pédagogique : Une convergence dont les branches démarrent ensemble produit une marge d'un genre particulier : elle appartient tout entière à une tâche, et sera donc réellement mobilisable.

Calcul 5 — Durée du projet

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la grandeur que le calendrier détaillé doit établir, et celle qui sera notifiée aux titulaires par ordre de service.

Méthodologie du calcul :

Les finitions démarrent en semaine 21 et durent deux semaines : la réception démarre donc en semaine 23 et dure une semaine.

Substitution : on injecte \( \text{ES}_{\text{J}} = 23 \) semaines et \( d_{\text{J}} = 1 \) semaine.
Piège évité : ne pas retrancher la tâche de repli du délai : l'article 18.1.1 l'y inclut expressément.
Hypothèse validée : la réception est bien la seule tâche sans successeur : la durée du projet est sa fin au plus tôt.
Vérification croisée : la durée obtenue doit être inférieure à la charge totale de 32 semaines-tâches.
Finalité : arrêter la durée incompressible du chantier.

\[ \begin{aligned} D &= \text{ES}_{\text{J}} + d_{\text{J}} \\[3pt] &= 23 + 1 \\[3pt] &= \mathbf{24} \text{ semaines} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Vingt-quatre semaines : le parallélisme fait gagner huit semaines sur les trente-deux de charge, soit 25,00 %. C'est peu, et cela confirme le taux de parallélisme de 1,43 : ce chantier est une file. Toute demande de réduction du délai devra donc porter sur les durées unitaires des tâches de la file, non sur une meilleure organisation des travaux en parallèle — il n'y a presque rien à paralléliser de plus.

Ordre de grandeur : 24 semaines, contre 32 semaines-tâches de charge.
Impact sur la suite : cette date sert d'origine au parcours retour et de dénominateur à toutes les analyses de marge.
Cohérence : 24 est bien inférieur à la charge totale de 32 semaines-tâches.
Attention : cette durée est incompressible à logique constante : la réduire suppose de modifier les durées ou les antériorités.
Comparaison : le gain du parallélisme, huit semaines, représente le tiers de la durée obtenue.

Remarque pédagogique : Présentez toujours la durée à côté de la charge. L'écart entre les deux dit d'un seul coup d'œil s'il reste du parallélisme à exploiter, ou s'il faudra agir sur les durées.

CALENDRIER GRADUÉ AUX DATES AU PLUS TÔT

RÉSULTAT FINAL

D = 24 semaines convergences en semaine 11 et en semaine 21

La branche des pylônes s'achève en semaine 11, celle des culées en semaine 8 : c'est la première qui commande le démarrage du tablier. La mise en tension des haubans commande ensuite le démarrage des finitions en semaine 21. La durée incompressible du chantier s'établit à 24 semaines, soit huit de moins que la charge totale du réseau.

Question 3 : Dates au plus tard et marges totales

Dans la tête de l'ingénieur

« Je repars maintenant de la fin. La question n'est plus « au plus tôt quand ? » mais « au plus tard quand, sans décaler la livraison ? ». L'opérateur s'inverse : une tâche suivie de plusieurs autres doit finir assez tôt pour ne retarder aucune d'entre elles, donc pour satisfaire la plus contraignante — c'est un minimum. Je m'attends à ce que la plupart des tâches n'aient aucune souplesse, parce que le réseau est une file. Ce que j'obtiendrai est une marge totale, et je veux être clair dès maintenant sur ce qu'elle mesure : la latitude d'une tâche au regard de la date de livraison, pas au regard de ses voisines. C'est une nuance qui paraît académique et qui ne l'est pas du tout : elle décidera de ce que je peux réellement dire à un conducteur de travaux. »

Observation : Une seule tâche du réseau possède deux successeurs : c'est là que s'appliquera le seul minimum du parcours retour.
Analyse du risque : Appliquer un maximum au retour donnerait à une tâche une latitude qu'elle n'a pas, et ferait glisser la livraison sans que rien ne le signale.
Choix stratégique : Initialiser la fin au plus tard de la dernière tâche à la durée du projet, sans y ajouter de tampon : la marge doit apparaître, non être créée.
Alternative : Le maître d'ouvrage pourrait imposer une date de livraison antérieure à la durée calculée. Les marges deviendraient alors négatives, ce qui est la signature mathématique d'un délai contractuel intenable.
Objectif visé : Obtenir le début au plus tard des équipements, la fin au plus tard du tablier et les marges totales des trois tâches non critiques.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Début au plus tard des équipements semaine 19 · fin au plus tard du tablier semaine 17 · marges totales : équipements 2 semaines, culées 3 semaines, terrassement 3 semaines

Rappel Théorique : le parcours retour et la marge totale

Le parcours retour propage les contraintes de la sortie du réseau vers son entrée. Il produit la marge totale, seul indicateur de flexibilité au regard de la date de livraison.

Initialisation : la fin au plus tard de la dernière tâche est posée égale à la durée du projet. Toute autre valeur reviendrait à s'accorder ou à s'interdire un tampon global.
Règle des divergences : une tâche à plusieurs successeurs doit finir assez tôt pour ne retarder aucun d'entre eux : sa fin au plus tard est le minimum de leurs débuts au plus tard.
Marge totale : c'est l'écart entre le début au plus tard et le début au plus tôt d'une même tâche. Elle mesure le retard admissible sans décaler la livraison.
Tâche critique : une tâche de marge totale nulle. Tout retard sur elle se reporte intégralement sur la date de fin.
Portée contractuelle : l'article 18.2.1 du cahier des clauses administratives générales applicable aux marchés publics de travaux dispose qu'en dehors des cas énumérés à l'article 18.2.2, « la prolongation du délai d'exécution ne peut résulter que d'un avenant ». Consommer plus que la marge totale d'une tâche n'est donc pas un ajustement de planning : c'est une modification du marché.

Équations Fondamentales

Trois relations. La première contraint aux divergences, la deuxième recule le long d'une tâche, la troisième mesure la latitude obtenue.

Formule 1 — Fin au plus tard à une divergence :

Elle retient le plus précoce des débuts au plus tard des successeurs.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une tâche qui alimente plusieurs successeurs doit satisfaire le plus pressé d'entre eux. Il suffit qu'un seul successeur soit retardé pour que la contrainte soit violée : la conjonction des exigences se traduit donc par un minimum, exactement comme la conjonction des attentes se traduisait par un maximum à l'aller.

Contexte de validité : elle suppose la date de livraison fixée, égale ici à la durée calculée à l'étape précédente.
Avantage : elle identifie le successeur contraignant, celui qu'il faudra surveiller en priorité.
Paramètre clé : le nombre de successeurs : plus il est élevé, plus la contrainte se resserre.
Vérification : le résultat doit être inférieur ou égal à chacun des débuts comparés.
Limite : elle raisonne sur la seule date de livraison : elle ne dit rien du dérangement causé aux tâches voisines.

\[ \begin{aligned} \text{LF}_{i} = \min_{j \in \text{succ}(i)} \; \text{LS}_{j} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Au plus tard quand cette tâche doit-elle être finie pour ne bloquer personne ? On satisfait le plus pressé, jamais le plus patient.

Décomposition des termes :

\( \text{LF}_{i} \) : fin au plus tard de la tâche \( i \), unité : semaines
\( \text{succ}(i) \) : ensemble des successeurs de la tâche \( i \), sans dimension
\( \text{LS}_{j} \) : début au plus tard d'un successeur, unité : semaines

Formule 2 — Début au plus tard d'une tâche :

Elle retranche la durée de la tâche de sa fin au plus tard.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle constitue le pas élémentaire du parcours retour, symétrique de l'addition du parcours aller. Elle donne la date que le conducteur de travaux doit retenir : celle au-delà de laquelle il ne peut plus attendre pour engager la tâche.

Contexte de validité : elle suppose la durée inchangée entre le parcours aller et le parcours retour.
Avantage : elle fournit une date d'alerte directement exploitable en réunion de chantier.
Paramètre clé : la fin au plus tard, qui vient d'être établie par la contrainte des successeurs.
Vérification : le début au plus tard doit être supérieur ou égal au début au plus tôt de la même tâche.
Limite : un résultat négatif signale une date de livraison antérieure à la durée réalisable : le calendrier est alors intenable.

\[ \begin{aligned} \text{LS}_{i} = \text{LF}_{i} - d_{i} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Au plus tard quand faut-il engager cette tâche ? C'est la date d'alerte du conducteur de travaux.

Décomposition des termes :

\( \text{LS}_{i} \) : début au plus tard de la tâche \( i \), unité : semaines
\( \text{LF}_{i} \) : fin au plus tard de la tâche \( i \), unité : semaines
\( d_{i} \) : durée de la tâche \( i \), unité : semaines

Formule 3 — Marge totale d'une tâche :

Elle mesure l'écart entre le début au plus tard et le début au plus tôt.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle répond à la seule question que pose le maître d'ouvrage : de combien puis-je retarder cette tâche sans décaler la livraison ? Elle sépare en outre le réseau en deux populations, les tâches critiques et les autres, et cette partition commande toute l'organisation de la surveillance du chantier.

Contexte de validité : elle se calcule indifféremment sur les débuts ou sur les fins : les deux écarts sont égaux.
Avantage : elle isole les tâches à marge nulle, qui constitueront le chemin critique.
Paramètre clé : la date de livraison retenue, qui translate uniformément toutes les marges.
Vérification : une marge totale ne peut être négative si la date de livraison est celle qui a été calculée.
Limite : elle est partagée entre les tâches d'une même branche : les marges totales de plusieurs tâches ne s'additionnent pas.

\[ \begin{aligned} \text{MT}_{i} = \text{LS}_{i} - \text{ES}_{i} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? De combien cette tâche peut-elle glisser sans décaler la livraison ? C'est la latitude au regard de la date contractuelle, et d'elle seule.

Décomposition des termes :

\( \text{MT}_{i} \) : marge totale de la tâche \( i \), unité : semaines
\( \text{LS}_{i} \) : début au plus tard de la tâche \( i \), unité : semaines
\( \text{ES}_{i} \) : début au plus tôt de la tâche \( i \), unité : semaines

L'Erreur Classique (Le Piège)

« L'assemblage du tablier précède les haubans, qui doivent démarrer au plus tard en semaine 17, et les équipements, qui peuvent attendre la semaine 19. Le tablier peut donc finir en semaine 19. »

L'approche d'ingénieur : Le tablier alimente les deux tâches, et il suffit d'en retarder une pour manquer la livraison. Sa fin au plus tard est donc de 17 semaines, imposée par les haubans — le successeur le plus pressé. Retenir 19 lui attribuerait deux semaines de latitude imaginaires : le jour où le tablier finirait en semaine 19, les haubans démarreraient en semaine 19 au lieu de 17, s'achèveraient en semaine 23, et la livraison glisserait à la semaine 26. Deux semaines d'erreur au retour se paient deux semaines de retard, soit 210 000 € au tarif contractuel.

L'erreur : appliquer un maximum là où la divergence impose un minimum.
La bonne méthode : lister les débuts au plus tard de tous les successeurs, puis retenir le plus petit.
L'astuce de pro : vérifier la symétrie : à l'aller, un maximum sur les prédécesseurs ; au retour, un minimum sur les successeurs. Si vous employez deux fois le même opérateur, l'un des deux est faux.
Le moyen mnémotechnique : « on attend le plus lent, on satisfait le plus pressé ».
L'impact direct : deux semaines de retard à la livraison, soit 210 000 € de pénalités au tarif du marché.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Dates au plus tard : exprimées en semaines écoulées depuis l'origine, comme les dates au plus tôt
Différence d'une date et d'une durée : semaine − semaine = semaine
Marge totale : différence de deux dates, donc une durée
Une marge négative n'a pas de sens physique ici : elle signalerait une date de livraison imposée trop tôt
Une marge s'exprime en semaines, jamais en pourcentage de la durée du projet

Cinq calculs. Le premier recule le long d'une tâche à marge, le deuxième arbitre à la seule divergence du réseau, les trois derniers établissent les marges totales des trois tâches non critiques.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Début au plus tard de la pose des équipements

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette tâche est la première du parcours retour à disposer d'une latitude, et qu'elle contraindra ensuite le tablier.

Méthodologie du calcul :

La réception doit finir en semaine 24 : elle démarre donc au plus tard en semaine 23. Les finitions doivent finir en semaine 23 : elles démarrent au plus tard en semaine 21. La pose des équipements doit donc finir en semaine 21, et elle dure deux semaines.

Substitution : on injecte \( \text{LF}_{\text{H}} = 21 \) semaines et \( d_{\text{H}} = 2 \) semaines.
Piège évité : initialiser la fin au plus tard de la réception à 24 semaines exactement, sans tampon ajouté.
Hypothèse validée : la pose des équipements n'a qu'un seul successeur : aucun minimum n'est requis ici.
Vérification croisée : le résultat doit être supérieur au début au plus tôt de la même tâche, qui vaut 17 semaines.
Finalité : obtenir la date d'alerte de l'équipe des équipements et préparer l'arbitrage du tablier.

\[ \begin{aligned} \text{LS}_{\text{H}} &= \text{LF}_{\text{H}} - d_{\text{H}} \\[3pt] &= 21 - 2 \\[3pt] &= \mathbf{19} \text{ semaines} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'équipe des équipements peut arriver en semaine 19 alors que le chantier lui est ouvert dès la semaine 17. C'est une information directement utilisable : deux semaines séparent la date d'ouverture du front de travail de la date d'alerte. Pour une entreprise qui intervient sur plusieurs chantiers, cette latitude vaut mieux qu'une injonction à se tenir prête dès la semaine 17.

Ordre de grandeur : date d'alerte en semaine 19, pour une ouverture du front en semaine 17.
Impact sur la suite : cette date entrera dans le minimum qui fixera la fin au plus tard du tablier.
Cohérence : 19 est bien supérieur au début au plus tôt de 17 semaines.
Attention : cette latitude ne vaut que si la chaîne amont n'a pas déjà consommé du retard.
Comparaison : les haubans, qui démarrent à la même date, n'ont eux aucune latitude.

Remarque pédagogique : Communiquez aux entreprises la date au plus tard et non la seule date au plus tôt. La première engage, la seconde informe — et confondre les deux transforme toute la marge du projet en attente sur site.

Calcul 2 — Fin au plus tard de l'assemblage du tablier

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le tablier est la seule tâche du réseau à posséder deux successeurs : c'est l'unique divergence du parcours retour.

Méthodologie du calcul :

Les haubans doivent finir en semaine 21 et durent quatre semaines : ils démarrent au plus tard en semaine 17. Les équipements démarrent au plus tard en semaine 19. Le tablier doit satisfaire les deux, donc le plus contraignant.

Substitution : on injecte \( \text{LS}_{\text{G}} = 17 \) semaines et \( \text{LS}_{\text{H}} = 19 \) semaines.
Piège évité : retenir le minimum et non le maximum : l'opérateur s'inverse par rapport au parcours aller.
Hypothèse validée : les deux successeurs sont bien tous deux conditionnés par l'achèvement du tablier.
Vérification croisée : le résultat doit être inférieur ou égal à chacune des deux dates comparées.
Finalité : identifier le successeur contraignant et poursuivre le parcours retour.

\[ \begin{aligned} \text{LF}_{\text{F}} &= \min \bigl( \text{LS}_{\text{G}} , \; \text{LS}_{\text{H}} \bigr) \\[3pt] &= \min(17 , \, 19) \\[3pt] &= \mathbf{17} \text{ semaines} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Ce sont les haubans qui contraignent le tablier, et non les équipements. La fin au plus tard coïncide exactement avec la fin au plus tôt : le tablier n'a aucune latitude. La latitude apparente que lui offriraient les équipements, deux semaines, ne lui est d'aucun secours — il suffit qu'un seul successeur soit critique pour que la tâche le devienne.

Ordre de grandeur : fin au plus tard en semaine 17, identique à la fin au plus tôt.
Impact sur la suite : le tablier est donc critique, et il contraindra à son tour toute la branche des pylônes.
Cohérence : 17 est bien inférieur ou égal aux deux dates comparées.
Attention : un seul successeur critique suffit à rendre une tâche critique, quel que soit le nombre de successeurs souples.
Comparaison : retenir 19 attribuerait au tablier deux semaines de latitude imaginaires et décalerait la livraison d'autant.

Remarque pédagogique : La criticité se propage vers l'amont : une tâche dont au moins un successeur est critique et enchaîné sans battement l'est aussi. C'est ce mécanisme qui construit le chemin critique de proche en proche.

Calcul 3 — Marge totale de la pose des équipements

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la latitude d'une tâche isolée entre deux convergences, le cas le plus simple et le plus favorable.

Méthodologie du calcul :

On retranche le début au plus tôt de la tâche, établi au parcours aller, de son début au plus tard, établi au parcours retour.

Substitution : on injecte \( \text{LS}_{\text{H}} = 19 \) semaines et \( \text{ES}_{\text{H}} = 17 \) semaines.
Piège évité : comparer deux débuts ou deux fins, jamais un début et une fin.
Hypothèse validée : la date de livraison retenue est bien celle calculée, et non une date imposée.
Vérification croisée : l'écart des fins, 21 moins 19, doit donner la même valeur.
Finalité : chiffrer la souplesse offerte à l'équipe des équipements.

\[ \begin{aligned} \text{MT}_{\text{H}} &= \text{LS}_{\text{H}} - \text{ES}_{\text{H}} \\[3pt] &= 19 - 17 \\[3pt] &= \mathbf{2} \text{ semaines} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Deux semaines de latitude sur la pose des équipements, soit l'équivalent de sa propre durée. La tâche peut donc être différée du temps qu'elle dure sans conséquence sur la livraison. Rapportée à la durée du projet, cette marge représente 8,33 % — et elle possède une propriété que les deux autres marges du réseau n'auront pas, comme la question suivante l'établira.

Ordre de grandeur : 2 semaines, soit 100 % de la durée de la tâche.
Impact sur la suite : cette tâche sera candidate au nivellement des ressources, puisqu'elle peut glisser sans dommage.
Cohérence : l'écart des fins au plus tard et au plus tôt, 21 moins 19, donne bien 2 semaines.
Attention : consommer cette marge rend la tâche critique : elle perd son statut de tampon.
Comparaison : c'est la plus faible des trois marges du réseau, et pourtant la seule qui soit intégralement mobilisable.

Remarque pédagogique : Une marge consommée est une marge perdue. Le planning ne se regénère pas : chaque semaine prise sur un tampon rapproche la tâche du statut critique.

Calcul 4 — Marge totale de la construction des culées

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette tâche est la dernière de la branche courte, et qu'elle porte l'écart des trois semaines relevé à la convergence du tablier.

Méthodologie du calcul :

Le tablier démarre au plus tard en semaine 11 : les culées doivent donc finir en semaine 11 et, durant trois semaines, démarrer au plus tard en semaine 8. Leur début au plus tôt est la semaine 5.

Substitution : on injecte \( \text{LS}_{\text{E}} = 8 \) semaines et \( \text{ES}_{\text{E}} = 5 \) semaines.
Piège évité : la fin au plus tard des culées est le début au plus tard du tablier, soit 11 semaines, et non sa fin.
Hypothèse validée : les culées n'ont qu'un seul successeur : aucun minimum n'est requis.
Vérification croisée : la marge obtenue doit égaler l'écart des deux branches relevé à la convergence, soit 11 moins 8.
Finalité : chiffrer la souplesse de la branche courte du réseau.

\[ \begin{aligned} \text{MT}_{\text{E}} &= \text{LS}_{\text{E}} - \text{ES}_{\text{E}} \\[3pt] &= 8 - 5 \\[3pt] &= \mathbf{3} \text{ semaines} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Trois semaines de marge totale, exactement l'écart relevé à la convergence du tablier. Ce n'est pas une coïncidence : la marge d'une branche est, par construction, l'écart entre sa longueur et celle de la branche déterminante. Elle vaut ici 12,50 % de la durée du projet et représente une fois la durée de la tâche.

Ordre de grandeur : 3 semaines, soit 12,50 % de la durée du projet.
Impact sur la suite : cette marge sera confrontée à celle du terrassement, sur la même branche.
Cohérence : elle égale bien l'écart des deux branches à la convergence, soit 11 moins 8.
Attention : cette marge est partagée avec le terrassement qui la précède sur la même branche.
Comparaison : elle dépasse de moitié la marge des équipements, qui vaut deux semaines.

Remarque pédagogique : Reliez toujours une marge à son origine géométrique : elle vient d'un écart entre deux branches à une convergence. Une marge dont on ne sait pas d'où elle vient est une marge qu'on ne saura pas gérer.

Calcul 5 — Marge totale du terrassement des culées

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette tâche appartient à la même branche que les culées, et que le rapprochement des deux résultats va révéler la propriété centrale de la marge totale.

Méthodologie du calcul :

Les culées démarrent au plus tard en semaine 8 : le terrassement doit donc finir en semaine 8 et, durant trois semaines, démarrer au plus tard en semaine 5. Son début au plus tôt est la semaine 2.

Substitution : on injecte \( \text{LS}_{\text{B}} = 5 \) semaines et \( \text{ES}_{\text{B}} = 2 \) semaines.
Piège évité : ne pas conclure que la branche dispose de six semaines de souplesse au motif que deux tâches en affichent trois chacune.
Hypothèse validée : le terrassement n'a qu'un seul successeur, la construction des culées.
Vérification croisée : la marge obtenue doit être identique à celle des culées, les deux tâches appartenant à la même branche.
Finalité : compléter le tableau des marges totales du réseau.

\[ \begin{aligned} \text{MT}_{\text{B}} &= \text{LS}_{\text{B}} - \text{ES}_{\text{B}} \\[3pt] &= 5 - 2 \\[3pt] &= \mathbf{3} \text{ semaines} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Trois semaines encore — et ce sont exactement les mêmes trois semaines. Le terrassement et les culées affichent chacun trois semaines de marge totale, mais la branche n'en offre que trois au total, non six. Si le terrassement consomme ses trois semaines, les culées n'en auront plus aucune. Le tableau des marges totales, lu ligne à ligne, annonce ici six semaines-tâches de souplesse là où le réseau n'en contient que trois.

Ordre de grandeur : 3 semaines, identiques à celles des culées.
Impact sur la suite : ce constat impose de calculer la marge libre, seule capable de départager les deux tâches.
Cohérence : les deux tâches de la branche portent bien la même marge, ce qui confirme le partage.
Attention : additionner les marges totales d'une même branche double ici la souplesse réelle du réseau.
Comparaison : sept tâches sur dix n'ont aucune marge : le réseau est tendu à 70,00 %.

Remarque pédagogique : N'additionnez jamais les marges totales d'un tableau. Elles décrivent chacune la même souplesse vue depuis une tâche différente, et leur somme n'a aucun sens physique.

CALENDRIER GRADUÉ AVEC LES PLAGES DE FLOTTEMENT

RÉSULTAT FINAL

MT = 0 pour sept tâches terrassement 3 semaines — culées 3 semaines — équipements 2 semaines

Le parcours retour établit que sept des dix tâches n'ont aucune latitude au regard de la date de livraison. Les trois autres affichent respectivement trois, trois et deux semaines de marge totale. Mais les deux premières appartiennent à la même branche et se partagent les mêmes trois semaines : leur addition n'aurait aucun sens physique.

Question 4 : Marge libre et partage de la marge

Dans la tête de l'ingénieur

« Trois tâches affichent une marge et je m'apprête à en informer trois entreprises. Avant de le faire, je dois répondre à une question que le tableau des marges totales ne pose même pas : cette marge, à qui appartient-elle ? Le terrassement et les culées se suivent sur la même branche ; si j'annonce trois semaines à chacun, l'un des deux découvrira au moment de s'en servir que l'autre les a déjà prises. Il me faut donc la grandeur qui mesure ce qu'une tâche peut consommer sans déplacer personne : la marge libre. C'est elle, et non la marge totale, que l'on peut annoncer sans réunir tout le monde. Je m'attends à une surprise sur le terrassement — une tâche peut fort bien avoir trois semaines de marge totale et pas un seul jour de marge libre. »

Observation : Deux des trois tâches à marge se suivent sur la même branche : leurs marges ne peuvent pas être indépendantes.
Analyse du risque : Annoncer une marge totale à une entreprise revient à lui promettre une souplesse qui appartient peut-être à son voisin d'aval.
Choix stratégique : Calculer la marge libre tâche par tâche, puis mesurer l'écart entre ce que le tableau annonce et ce que le réseau contient.
Alternative : On pourrait répartir conventionnellement la marge d'une branche entre ses tâches, par exemple au prorata des durées. C'est une décision de pilotage, pas un résultat de calcul, et elle doit être notifiée.
Objectif visé : Obtenir les marges libres des trois tâches, la marge interférente du terrassement et le facteur de surestimation du tableau.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Marge libre du terrassement 0 · marge interférente 3 semaines · marge libre des culées 3 semaines · marge libre des équipements 2 semaines · facteur de surestimation 1,60

Rappel Théorique : marge totale, marge libre et marge interférente

Une tâche possède deux marges, et elles ne répondent pas à la même question. Les confondre est l'erreur de pilotage la plus répandue.

Marge totale : retard admissible sans décaler la livraison. Elle se mesure par rapport à la date de fin du projet.
Marge libre : retard admissible sans décaler le moindre successeur. Elle se mesure par rapport au début au plus tôt des tâches suivantes.
Marge interférente : différence entre les deux. C'est la part de la marge totale qui, si elle est consommée, ne retarde pas la livraison mais déplace les tâches suivantes.
Inégalité fondamentale : la marge libre est toujours inférieure ou égale à la marge totale. Une tâche peut donc avoir de la marge totale et aucune marge libre.
Partage le long d'une branche : la marge totale d'une chaîne est un stock commun. Ce que la première tâche consomme, la suivante ne l'a plus.

Équations Fondamentales

Trois relations. La première mesure la marge réellement disponible, la deuxième isole la part empruntée, la troisième chiffre l'erreur de lecture du tableau des marges totales.

Formule 1 — Marge libre d'une tâche :

Elle mesure l'écart entre la fin au plus tôt d'une tâche et le début au plus tôt du plus pressé de ses successeurs.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est la seule marge annonçable. Une entreprise à qui l'on communique sa marge libre peut en user sans consulter personne : aucune autre tâche ne bougera. Une entreprise à qui l'on communique sa marge totale peut, en l'utilisant, contraindre son voisin d'aval sans même le savoir.

Contexte de validité : elle se mesure sur les dates au plus tôt des successeurs, jamais sur leurs dates au plus tard.
Avantage : elle désigne les tâches candidates au nivellement des ressources : décaler une tâche à marge libre ne perturbe rien.
Paramètre clé : le battement entre la fin de la tâche et le démarrage effectif de son successeur.
Vérification : elle doit toujours rester inférieure ou égale à la marge totale de la même tâche.
Limite : une marge libre nulle ne signifie pas que la tâche est critique : elle signifie seulement qu'elle ne peut glisser sans entraîner son successeur.

\[ \begin{aligned} \text{ML}_{i} = \min_{j \in \text{succ}(i)} \; \text{ES}_{j} - \text{EF}_{i} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? De combien cette tâche peut-elle glisser sans déranger personne ? C'est la seule marge que l'on puisse annoncer à une entreprise sans réunir les autres.

Décomposition des termes :

\( \text{ML}_{i} \) : marge libre de la tâche \( i \), unité : semaines
\( \text{ES}_{j} \) : début au plus tôt d'un successeur, unité : semaines
\( \text{EF}_{i} \) : fin au plus tôt de la tâche \( i \), unité : semaines

Formule 2 — Marge interférente d'une tâche :

Elle isole la part de la marge totale qui déplace les tâches suivantes.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle nomme et chiffre la zone dangereuse. Consommer de la marge interférente ne fait pas glisser la livraison, mais transfère la contrainte sur l'aval : le successeur, qui croyait disposer d'une souplesse, la découvre disparue. C'est le mécanisme par lequel un planning se tend sans qu'aucune alerte ne se déclenche.

Contexte de validité : elle suppose les deux marges calculées sur le même réseau et la même date de livraison.
Avantage : elle rend visible le transfert de contrainte vers l'aval, qu'aucun tableau de marges totales ne montre.
Paramètre clé : la position de la tâche dans sa branche : les tâches amont concentrent la marge interférente.
Vérification : elle est toujours positive ou nulle, et nulle pour toute tâche critique.
Limite : elle ne dit pas combien de tâches seront déplacées : seule la lecture du réseau le montre.

\[ \begin{aligned} \text{MI}_{i} = \text{MT}_{i} - \text{ML}_{i} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Quelle part de ma marge est en réalité empruntée à mes successeurs ? C'est la zone où l'on tend le planning sans déclencher d'alerte.

Décomposition des termes :

\( \text{MI}_{i} \) : marge interférente de la tâche \( i \), unité : semaines
\( \text{MT}_{i} \) : marge totale de la tâche \( i \), unité : semaines
\( \text{ML}_{i} \) : marge libre de la tâche \( i \), unité : semaines

Formule 3 — Facteur de surestimation du tableau des marges :

Elle rapporte la somme des marges totales affichées à la souplesse réellement contenue dans le réseau.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un tableau de marges se lit ligne à ligne, et que cette lecture est fausse. Additionner les marges totales revient à compter plusieurs fois la même plage de flottement. Le facteur obtenu chiffre l'illusion de souplesse que le tableau produit, et il se calcule en une division.

Contexte de validité : la souplesse réelle se compte branche par branche, chaque plage n'étant comptée qu'une fois.
Avantage : elle transforme une objection théorique en un chiffre, seule forme sous laquelle une direction de projet l'entendra.
Paramètre clé : la longueur des chaînes non critiques : plus une branche compte de tâches, plus le facteur croît.
Vérification : le facteur vaut exactement un lorsque toutes les tâches à marge sont isolées les unes des autres.
Limite : c'est un indicateur de lecture, non une grandeur du réseau : il mesure une erreur d'interprétation, pas une propriété physique.

\[ \begin{aligned} \varphi = \frac{\sum \text{MT}_{i}}{M_{\text{disp}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? De combien le tableau des marges surestime-t-il la souplesse du chantier ? C'est l'illusion de souplesse, chiffrée.

Décomposition des termes :

\( \varphi \) : facteur de surestimation, sans dimension
\( \sum \text{MT}_{i} \) : somme des marges totales affichées, unité : semaines-taches
\( M_{\text{disp}} \) : souplesse réellement disponible dans le réseau, unité : semaines

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le terrassement dispose de trois semaines de marge totale. S'il prend une semaine de retard, cela n'a donc aucune incidence sur le chantier. »

L'approche d'ingénieur : Aucune incidence sur la date de livraison — et une incidence immédiate sur la construction des culées, qui sera décalée d'exactement une semaine. Le terrassement s'achève au plus tôt en semaine 5, et les culées démarrent au plus tôt en semaine 5 : il n'y a aucun battement entre les deux. Sa marge libre est donc nulle, et la totalité de ses trois semaines de marge totale est empruntée à l'aval. Annoncer « aucune incidence » à l'entreprise de terrassement, c'est décider à la place de l'entreprise de gros œuvre sans l'en informer.

L'erreur : lire « aucune incidence sur la livraison » comme « aucune incidence », en oubliant les tâches voisines.
La bonne méthode : faire figurer trois colonnes dans le tableau des marges : totale, libre et interférente.
L'astuce de pro : ne communiquer aux entreprises que la marge libre. La marge interférente relève d'un arbitrage de l'ordonnancement, pas d'une information à diffuser.
Le moyen mnémotechnique : « la marge totale protège la date, la marge libre protège le voisin ».
L'impact direct : une équipe de gros œuvre mobilisée pour rien en semaine 5, et une réclamation d'immobilisation parfaitement fondée.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Marges libre, totale et interférente : toutes en semaines
Différence de deux dates : semaine − semaine = semaine
Somme de marges de tâches distinctes : exprimée en semaines-taches, jamais en semaines
Facteur de surestimation : rapport de semaines-taches sur semaines, lu comme un nombre sans dimension
Une marge libre est toujours positive ou nulle

Cinq calculs. Le premier révèle la marge libre nulle du terrassement, le deuxième en isole la part empruntée, les deux suivants traitent les tâches réellement souples, le dernier chiffre la surestimation du tableau.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Marge libre du terrassement des culées

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la tâche dont la marge totale de trois semaines est la plus susceptible d'être annoncée telle quelle à une entreprise.

Méthodologie du calcul :

Le terrassement s'achève au plus tôt en semaine 5 et n'a qu'un successeur, la construction des culées, qui démarre au plus tôt en semaine 5. On mesure le battement entre les deux.

Substitution : on injecte \( \text{ES}_{\text{E}} = 5 \) semaines et \( \text{EF}_{\text{B}} = 5 \) semaines.
Piège évité : prendre le début au plus tôt du successeur, et non son début au plus tard, qui vaut 8 semaines et donnerait la marge totale.
Hypothèse validée : le terrassement n'a qu'un seul successeur : aucun minimum n'est à prendre.
Vérification croisée : le résultat doit rester inférieur ou égal à la marge totale de trois semaines.
Finalité : établir ce que l'entreprise de terrassement peut réellement consommer sans concertation.

\[ \begin{aligned} \text{ML}_{\text{B}} &= \text{ES}_{\text{E}} - \text{EF}_{\text{B}} \\[3pt] &= 5 - 5 \\[3pt] &= \mathbf{0} \text{ semaine} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Trois semaines de marge totale, et pas un seul jour de marge libre. Le résultat est le cœur de l'étude. Le terrassement peut être retardé de trois semaines sans que la livraison bouge, mais toute journée qu'il prendra déplacera d'autant la construction des culées. La souplesse existe, elle n'est simplement pas à sa disposition : elle appartient à la branche entière, et il faudra décider qui en use.

Ordre de grandeur : 0 semaine de marge libre, contre 3 semaines de marge totale.
Impact sur la suite : la totalité de la marge totale de cette tâche est donc interférente.
Cohérence : la marge libre est bien inférieure ou égale à la marge totale, conformément à l'inégalité fondamentale.
Attention : une marge libre nulle ne rend pas la tâche critique : la livraison reste protégée par trois semaines.
Comparaison : les équipements, avec deux semaines de marge totale seulement, disposent en revanche de deux semaines libres.

Remarque pédagogique : Une tâche suivie sans battement par une autre a toujours une marge libre nulle, quelle que soit sa marge totale. Repérez ces enchaînements serrés : ce sont eux qui rendent un planning fragile en pratique alors qu'il paraît souple sur le papier.

Calcul 2 — Marge interférente du terrassement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il chiffre exactement ce que le terrassement emprunterait à l'aval s'il consommait sa marge totale.

Méthodologie du calcul :

On retranche la marge libre, qui vient d'être établie, de la marge totale calculée précédemment.

Substitution : on injecte \( \text{MT}_{\text{B}} = 3 \) semaines et \( \text{ML}_{\text{B}} = 0 \) semaine.
Piège évité : ne pas conclure de l'égalité entre marge interférente et marge totale que la tâche est sans souplesse : la livraison reste protégée.
Hypothèse validée : les deux marges ont été calculées sur le même réseau et la même date de livraison.
Vérification croisée : le résultat doit être positif ou nul.
Finalité : chiffrer le transfert de contrainte vers l'aval.

\[ \begin{aligned} \text{MI}_{\text{B}} &= \text{MT}_{\text{B}} - \text{ML}_{\text{B}} \\[3pt] &= 3 - 0 \\[3pt] &= \mathbf{3} \text{ semaines} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La totalité de la marge du terrassement est empruntée à la construction des culées. C'est 100 % de sa marge totale qui relève de l'arbitrage de l'ordonnancement et non de la décision de l'entreprise. Le terrassement est d'ailleurs la seule tâche du réseau dans ce cas : les deux autres tâches à marge disposent intégralement de la leur.

Ordre de grandeur : 3 semaines interférentes, soit 100 % de la marge totale.
Impact sur la suite : la souplesse de la branche devra faire l'objet d'une décision de répartition, à notifier.
Cohérence : le résultat est bien positif, comme l'exige la définition.
Attention : ces trois semaines ne sont pas perdues : elles sont disponibles pour la branche, mais une seule fois.
Comparaison : c'est la seule marge interférente du réseau : les deux autres tâches à marge en ont une nulle.

Remarque pédagogique : La marge interférente est la propriété de l'ordonnancement, la marge libre celle de l'entreprise. Cette répartition des rôles doit figurer explicitement dans la note de diffusion du calendrier.

Calcul 3 — Marge libre de la construction des culées

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette tâche occupe l'autre extrémité de la branche, et que sa situation est exactement inverse de celle du terrassement.

Méthodologie du calcul :

Les culées s'achèvent au plus tôt en semaine 8 et n'ont qu'un successeur, l'assemblage du tablier, qui démarre au plus tôt en semaine 11.

Substitution : on injecte \( \text{ES}_{\text{F}} = 11 \) semaines et \( \text{EF}_{\text{E}} = 8 \) semaines.
Piège évité : ne pas conclure que la branche offre six semaines : trois pour le terrassement et trois pour les culées.
Hypothèse validée : le battement de trois semaines est bien celui relevé à la convergence du tablier.
Vérification croisée : marge libre et marge totale doivent ici coïncider, la tâche étant la dernière de sa branche.
Finalité : établir ce que l'entreprise de gros œuvre peut consommer sans concertation.

\[ \begin{aligned} \text{ML}_{\text{E}} &= \text{ES}_{\text{F}} - \text{EF}_{\text{E}} \\[3pt] &= 11 - 8 \\[3pt] &= \mathbf{3} \text{ semaines} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les culées disposent, elles, de l'intégralité des trois semaines. Marge libre et marge totale coïncident : la tâche est la dernière de sa branche, plus rien ne se trouve derrière elle avant la convergence. Ce sont les mêmes trois semaines que celles du terrassement, vues depuis l'autre extrémité de la chaîne — et c'est bien pourquoi elles ne se cumulent pas.

Ordre de grandeur : 3 semaines de marge libre, égales à la marge totale.
Impact sur la suite : ces trois semaines constituent la souplesse réelle de la branche, à compter une seule fois.
Cohérence : la marge interférente des culées est donc nulle, ce qui est attendu pour la dernière tâche d'une branche.
Attention : si le terrassement consomme ses trois semaines, cette marge libre tombe à zéro.
Comparaison : c'est la plus grande marge libre du réseau, et elle vaut une fois la durée de la tâche.

Remarque pédagogique : Sur une branche non critique, la marge libre se concentre sur la dernière tâche. Les tâches amont n'ont que de la marge interférente : c'est une règle générale, et elle oriente la surveillance.

Calcul 4 — Marge libre de la pose des équipements

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette tâche est isolée entre deux convergences, cas où la marge appartient tout entière à une seule entreprise.

Méthodologie du calcul :

Les équipements s'achèvent au plus tôt en semaine 19 et n'ont qu'un successeur, les finitions, qui démarrent au plus tôt en semaine 21.

Substitution : on injecte \( \text{ES}_{\text{I}} = 21 \) semaines et \( \text{EF}_{\text{H}} = 19 \) semaines.
Piège évité : ne pas se fier au fait que la marge totale est la plus faible du réseau pour en conclure qu'elle est la moins utile.
Hypothèse validée : la tâche n'a aucun prédécesseur à marge : sa souplesse n'est empruntée à personne.
Vérification croisée : marge libre et marge totale doivent coïncider, comme pour toute tâche isolée entre deux convergences.
Finalité : établir la seule marge du réseau qui soit à la fois libre et sans partage amont.

\[ \begin{aligned} \text{ML}_{\text{H}} &= \text{ES}_{\text{I}} - \text{EF}_{\text{H}} \\[3pt] &= 21 - 19 \\[3pt] &= \mathbf{2} \text{ semaines} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Deux semaines entièrement libres, et sans aucun partage. C'est la marge la plus faible du réseau et la plus utile : l'entreprise des équipements peut décaler son intervention de deux semaines sans consulter personne, ni son amont — qui est critique et ne bougera pas — ni son aval. Aucune autre tâche du réseau ne réunit ces deux propriétés.

Ordre de grandeur : 2 semaines de marge libre, égales à la marge totale.
Impact sur la suite : cette tâche est la meilleure candidate au nivellement des ressources du chantier.
Cohérence : sa marge interférente est nulle, ce qui est attendu pour une tâche isolée.
Attention : cette marge s'éteint si le tablier, qui la précède, prend le moindre retard.
Comparaison : elle vaut deux tiers de la marge libre des culées, mais elle est disponible sans arbitrage.

Remarque pédagogique : Classez les marges par leur disponibilité, non par leur ampleur. Deux semaines libres et sans partage valent mieux, en pilotage, que trois semaines qu'il faut négocier.

Calcul 5 — Facteur de surestimation du tableau des marges

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une direction de projet n'entend une objection méthodologique que sous forme de chiffre.

Méthodologie du calcul :

Le tableau affiche trois plus trois plus deux, soit huit semaines-tâches de marge totale. Le réseau ne contient en réalité que deux plages distinctes : trois semaines partagées par le terrassement et les culées, et deux semaines propres aux équipements, soit cinq semaines.

Substitution : on injecte 8 semaines-tâches affichées et 5 semaines réellement disponibles.
Piège évité : compter la plage de la branche des culées une seule fois, bien que deux tâches l'affichent.
Hypothèse validée : les deux plages sont indépendantes l'une de l'autre : elles appartiennent à des branches distinctes.
Vérification croisée : la somme des marges libres du réseau, soit 0 plus 3 plus 2, redonne bien les cinq semaines disponibles.
Finalité : chiffrer l'illusion de souplesse que produit la lecture ligne à ligne du tableau.

\[ \begin{aligned} \varphi &= \frac{8}{5} \\[3pt] &= \mathbf{1{,}60} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le tableau des marges totales annonce soixante pour cent de souplesse de plus que le réseau n'en contient. Le contrôle est immédiat : la somme des marges libres, zéro plus trois plus deux, donne exactement les cinq semaines réellement disponibles. Cette coïncidence n'en est pas une — la marge libre ne compte jamais deux fois la même plage, et c'est précisément ce qui la rend additive là où la marge totale ne l'est pas.

Ordre de grandeur : 1,60, soit 60 % de souplesse annoncée en trop.
Impact sur la suite : seules les cinq semaines réelles pourront être valorisées face aux pénalités contractuelles.
Cohérence : la somme des marges libres, 0 + 3 + 2, redonne exactement 5 semaines.
Attention : ce facteur croît avec la longueur des branches non critiques : sur un réseau réel, il dépasse couramment 2.
Comparaison : les cinq semaines réelles représentent 20,83 % de la durée du projet, les huit affichées 33,33 %.

Remarque pédagogique : Les marges libres s'additionnent, les marges totales non. Retenez cette dissymétrie : c'est elle qui permet de totaliser honnêtement la souplesse d'un planning.

CE QUE DEVIENT LA BRANCHE DES CULÉES SELON QUI CONSOMME LA MARGE

RÉSULTAT FINAL

ML_B = 0 semaine culées 3 semaines — équipements 2 semaines — surestimation 1,60

Le terrassement affiche trois semaines de marge totale et n'en possède aucune de libre : la totalité en est interférente, empruntée à la construction des culées. Les culées et les équipements disposent au contraire de l'intégralité de leur marge. Le réseau contient cinq semaines de souplesse réelle là où le tableau des marges totales en annonce huit, soit un facteur de 1,60.

Question 5 : Chemin critique et robustesse du réseau

Dans la tête de l'ingénieur

« Les marges sont établies ; le chemin critique se lit maintenant tout seul, c'est la suite des tâches à marge nulle. Mais m'arrêter là serait une faute professionnelle. Un chemin critique dit ce qu'il faut surveiller aujourd'hui ; il ne dit rien de ce qu'il faudra surveiller dans un mois. Le réseau compte quatre chemins complets, et si l'un d'eux ne se tient qu'à deux semaines du chemin critique, alors le moindre incident sur cette branche fera basculer la criticité — et le conducteur de travaux, qui aura concentré ses moyens sur l'ancien chemin, sera pris à contretemps. Je vais donc mesurer la distance de chaque chemin à la criticité, et j'aurai au passage un contrôle élégant : la marge d'un chemin doit égaler la somme des marges libres des tâches qui le composent. »

Observation : Deux divergences et deux convergences engendrent exactement quatre chemins complets de l'entrée à la sortie.
Analyse du risque : Un chemin proche de la criticité peut prendre la place du chemin critique en cours de chantier, sans qu'aucune alerte ne se déclenche.
Choix stratégique : Énumérer les quatre chemins et calculer la marge de chacun, plutôt que de se contenter d'isoler le plus long.
Alternative : On pourrait fixer un seuil de quasi-criticité et filtrer les tâches sous ce seuil. C'est ce que font les logiciels ; le seuil relève alors d'une décision et doit être justifié.
Objectif visé : Vérifier la longueur du chemin critique, mesurer celles des autres chemins et établir la part de la charge portée par les tâches critiques.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Chemin critique 24 semaines · chemin quasi critique 22 semaines, marge 2 · chemin le plus court 19 semaines · part critique de la charge 75,00 %

Rappel Théorique : chemin critique, chemins quasi critiques et robustesse

Le chemin critique est une propriété de l'instant, non du projet. Il se déplace dès qu'une marge est consommée, et c'est pourquoi on ne le surveille jamais seul.

Définition : le chemin critique est la suite continue de tâches à marge totale nulle reliant l'entrée à la sortie. C'est aussi, de façon équivalente, le chemin de plus grande longueur.
Marge d'un chemin : écart entre la durée du projet et la longueur du chemin. Elle vaut zéro pour le chemin critique et mesure, pour les autres, leur distance à la criticité.
Propriété de contrôle : la marge d'un chemin complet est égale à la somme des marges libres des tâches qui le composent. Cette identité offre une vérification indépendante du calcul des marges.
Chemins quasi critiques : ceux dont la marge est faible au regard des aléas attendus. Ils deviennent critiques dès que leur marge est consommée, et doivent être surveillés au même titre que le chemin critique.
Portée contractuelle : l'article 18.2.2 du cahier des clauses administratives générales applicable aux marchés publics de travaux énumère les motifs de prolongation du délai, dont « la survenance de difficultés ou de circonstances imprévues au cours du chantier » : identifier les chemins quasi critiques est le moyen de savoir à l'avance sur quelles tâches un tel événement produirait un effet immédiat.

Équations Fondamentales

Trois relations. La première mesure un chemin, la deuxième le situe par rapport à la criticité, la troisième pèse le chemin critique dans l'ensemble du réseau.

Formule 1 — Longueur d'un chemin :

Elle additionne les durées des tâches qui composent le chemin.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un chemin est une suite de tâches strictement enchaînées : rien n'y est parallèle, donc les durées s'y additionnent sans réserve. C'est la seule situation d'un réseau où une somme de durées est légitimement un délai.

Contexte de validité : le chemin doit être complet : il relie une tâche sans antériorité à une tâche sans successeur.
Avantage : elle offre une vérification indépendante du parcours aller, par une voie entièrement différente.
Paramètre clé : la continuité du chemin : sauter une tâche fausse la longueur sans que rien ne l'indique.
Vérification : la plus grande des longueurs obtenues doit être exactement la durée du projet.
Limite : l'énumération devient impraticable dès quelques dizaines de tâches : le nombre de chemins croît de façon explosive.

\[ \begin{aligned} L(P) = \sum_{i \in P} d_{i} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Combien de temps demande cette suite ininterrompue de tâches ? Sur un chemin, et seulement là, les durées s'additionnent.

Décomposition des termes :

\( L(P) \) : longueur du chemin \( P \), unité : semaines
\( P \) : suite de tâches enchaînées de l'entrée à la sortie, sans dimension
\( d_{i} \) : durée d'une tâche du chemin, unité : semaines

Formule 2 — Marge d'un chemin :

Elle mesure l'écart entre la durée du projet et la longueur du chemin.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle donne la distance à la criticité d'une branche entière, information qu'aucune marge de tâche ne fournit. C'est elle qui permet de dire au conducteur de travaux : « ce front-là, vous pouvez le perdre de vue deux semaines, pas davantage ».

Contexte de validité : elle suppose la durée du projet établie et les longueurs mesurées sur le même réseau.
Avantage : elle hiérarchise les branches et non les tâches, ce qui correspond à l'organisation réelle des équipes.
Paramètre clé : la valeur du seuil en deçà duquel un chemin est déclaré quasi critique, qui relève d'une décision.
Vérification : la marge d'un chemin doit égaler la somme des marges libres des tâches qui le composent.
Limite : elle décrit une photographie : dès qu'une marge est consommée, toutes les marges de chemin changent.

\[ \begin{aligned} M(P) = D - L(P) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? À combien de semaines ce front de travail se tient-il de la criticité ? C'est la profondeur de sécurité d'une branche entière.

Décomposition des termes :

\( M(P) \) : marge du chemin \( P \), unité : semaines
\( D \) : durée du projet, unité : semaines
\( L(P) \) : longueur du chemin \( P \), unité : semaines

Formule 3 — Part critique de la charge :

Elle rapporte la charge portée par les tâches critiques à la charge totale du réseau.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle mesure la tension du planning. Un réseau dont l'essentiel de la charge est critique n'offre aucune capacité d'absorption : le moindre incident se transmet intégralement à la date de livraison. C'est un indicateur de fragilité, indépendant de la taille du projet.

Contexte de validité : elle se calcule sur les charges et non sur le nombre de tâches, une tâche longue pesant davantage.
Avantage : elle est sans dimension et se compare d'un chantier à l'autre.
Paramètre clé : la durée des tâches critiques : allonger une tâche critique augmente doublement la tension.
Vérification : la part critique doit toujours être inférieure ou égale à cent pour cent, l'égalité signalant un réseau entièrement séquentiel.
Limite : elle ne distingue pas une tâche maîtrisée d'une tâche risquée : toutes les tâches critiques y pèsent également.

\[ \begin{aligned} \theta = \frac{L(P_{\text{c}})}{W} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Quelle proportion du travail du chantier se trouve sous tension permanente ? C'est la fragilité du planning, résumée en un taux.

Décomposition des termes :

\( \theta \) : part critique de la charge, unité : %
\( L(P_{\text{c}}) \) : longueur du chemin critique, unité : semaines
\( W \) : charge totale du réseau, unité : semaines-taches

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le chemin critique est identifié. Il suffit désormais de surveiller ces sept tâches : les trois autres ont de la marge et ne peuvent pas mettre le projet en retard. »

L'approche d'ingénieur : Le chemin critique est une propriété de l'instant. Le chemin passant par la pose des équipements ne mesure que 22 semaines : il se tient à deux semaines de la criticité. Que les équipements prennent trois semaines de retard, et ce chemin devient long de 25 semaines — il devient le chemin critique, et le projet glisse d'une semaine. La pose des équipements, tâche « avec marge » que l'on avait cessé de regarder, aura fait dériver la livraison. C'est le mécanisme habituel des dérives de planning : elles ne viennent presque jamais du chemin critique initial, que tout le monde surveille.

L'erreur : traiter le chemin critique comme une propriété permanente du réseau.
La bonne méthode : calculer la marge de tous les chemins et surveiller ceux dont la marge est inférieure aux aléas attendus.
L'astuce de pro : recalculer le chemin critique à chaque mise à jour du planning. Un chemin critique daté de trois mois ne décrit plus le chantier.
Le moyen mnémotechnique : « le chemin critique se déplace, la vigilance aussi ».
L'impact direct : une semaine de retard non anticipée, soit 105 000 € de pénalités au tarif du marché.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Longueur d'un chemin : somme de durées enchaînées, exprimée en semaines
Marge d'un chemin : différence de deux durées, donc une durée
Sur un chemin, une somme de durées est un délai — contrairement à la charge du réseau
Part critique : rapport de semaines sur semaines-taches, lu comme un pourcentage
Une marge de chemin est toujours positive ou nulle, et nulle pour le chemin le plus long

Cinq calculs. Le premier vérifie la durée du projet par une voie indépendante, les trois suivants mesurent les autres chemins et leur distance à la criticité, le dernier établit la tension du réseau.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Longueur du chemin critique

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il valide par une voie entièrement indépendante la durée obtenue au parcours aller.

Méthodologie du calcul :

Les tâches à marge totale nulle sont l'installation, les fondations, les pylônes, le tablier, les haubans, les finitions et la réception. Elles forment une suite continue de l'entrée à la sortie : on additionne leurs durées.

Substitution : on injecte 2, 4, 5, 6, 4, 2 et 1 semaine.
Piège évité : vérifier que la suite est continue : un chemin critique interrompu signalerait une erreur dans le calcul des marges.
Hypothèse validée : ce chemin part bien de la seule tâche sans antériorité et aboutit à la seule tâche sans successeur.
Vérification croisée : la somme doit redonner exactement les 24 semaines du parcours aller.
Finalité : confirmer la durée du projet par un calcul indépendant.

\[ \begin{aligned} L(P_{\text{c}}) &= 2 + 4 + 5 + 6 + 4 + 2 + 1 \\[3pt] &= \mathbf{24} \text{ semaines} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Vingt-quatre semaines, exactement la durée obtenue au parcours aller. La concordance n'a rien d'automatique : elle établit à la fois que le calcul des dates est juste et que le calcul des marges l'est aussi, puisque le chemin a été construit à partir des marges nulles. Sept tâches sur dix composent ce chemin : c'est une proportion élevée, qui annonce un planning tendu.

Ordre de grandeur : 24 semaines pour sept tâches enchaînées.
Impact sur la suite : ces sept tâches feront l'objet d'un suivi hebdomadaire, et leur retard se traduira intégralement en pénalités.
Cohérence : la somme des marges libres de ce chemin vaut zéro, comme l'exige sa criticité.
Attention : ce chemin est celui d'aujourd'hui : il changera dès qu'une marge sera consommée ailleurs.
Comparaison : il traverse les deux convergences par leurs branches longues : les pylônes puis les haubans.

Remarque pédagogique : Recalculez toujours la durée par la somme du chemin critique. C'est le seul contrôle qui teste simultanément le parcours aller, le parcours retour et le calcul des marges.

Calcul 2 — Longueur du chemin passant par les équipements

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ce chemin partage six de ses sept tâches avec le chemin critique : c'est le candidat naturel à la bascule.

Méthodologie du calcul :

On reprend le chemin critique en remplaçant la mise en tension des haubans, de quatre semaines, par la pose des équipements, de deux semaines.

Substitution : on injecte 2, 4, 5, 6, 2, 2 et 1 semaine.
Piège évité : ne conserver qu'une seule des deux branches de la seconde divergence : un chemin ne se dédouble pas.
Hypothèse validée : la suite reste continue : le tablier précède les équipements, qui précèdent les finitions.
Vérification croisée : l'écart avec le chemin critique doit valoir la différence des deux durées substituées, soit 4 moins 2.
Finalité : mesurer le chemin le plus proche de la criticité.

\[ \begin{aligned} L(P_{2}) &= 2 + 4 + 5 + 6 + 2 + 2 + 1 \\[3pt] &= \mathbf{22} \text{ semaines} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Vingt-deux semaines : ce chemin partage six de ses sept tâches, soit 20 de ses 22 semaines-tâches, avec le chemin critique. Seule la pose des équipements n'y est pas critique. Autrement dit, ce chemin n'est pas une branche indépendante mais une variante du chemin critique, et sa marge tient tout entière dans l'écart entre les haubans et les équipements.

Ordre de grandeur : 22 semaines, contre 24 pour le chemin critique.
Impact sur la suite : sa marge, calculée ci-après, dira s'il doit être surveillé au même titre que le critique.
Cohérence : l'écart de deux semaines correspond exactement à la substitution des haubans par les équipements.
Attention : six de ses sept tâches étant déjà critiques, tout retard sur celles-ci l'allonge aussi.
Comparaison : il représente 91,67 % de la durée du projet.

Remarque pédagogique : Comptez toujours le nombre de tâches communes entre un chemin quasi critique et le chemin critique. Plus il est élevé, plus les deux chemins évoluent ensemble et moins la marge affichée protège réellement.

Calcul 3 — Marge du chemin quasi critique

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le nombre qui décide si ce chemin entre ou non dans le périmètre de surveillance hebdomadaire.

Méthodologie du calcul :

On retranche la longueur du chemin de la durée du projet.

Substitution : on injecte \( D = 24 \) semaines et \( L(P_{2}) = 22 \) semaines.
Piège évité : ne pas confondre cette marge avec la marge totale d'une tâche : elle porte sur un chemin entier.
Hypothèse validée : la durée du projet retenue est celle calculée, non une date imposée.
Vérification croisée : la somme des marges libres du chemin, soit 0 + 0 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0, doit donner la même valeur.
Finalité : décider de l'inclusion de ce chemin dans le périmètre de surveillance.

\[ \begin{aligned} M(P_{2}) &= 24 - 22 \\[3pt] &= \mathbf{2} \text{ semaines} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Deux semaines seulement séparent ce chemin de la criticité, soit 8,33 % de la durée du projet. Sur un chantier de six mois, deux semaines sont une durée que n'importe quel aléa de livraison consomme. Ce chemin doit donc être surveillé au même titre que le chemin critique. Le contrôle est par ailleurs satisfait : la somme des marges libres de ses sept tâches vaut bien deux semaines, la seule marge non nulle étant celle des équipements.

Ordre de grandeur : 2 semaines, soit 8,33 % de la durée du projet.
Impact sur la suite : ce chemin entre dans le périmètre de surveillance hebdomadaire, ce qui y porte à huit le nombre de tâches suivies.
Cohérence : la somme des marges libres du chemin donne bien 2 semaines.
Attention : un retard de trois semaines sur les équipements rendrait ce chemin plus long que le critique.
Comparaison : les deux autres chemins du réseau disposent respectivement de trois et cinq semaines de marge.

Remarque pédagogique : Fixez votre seuil de quasi-criticité à partir de l'aléa typique du chantier, non d'une règle générale. Sur un ouvrage d'art, deux semaines correspondent à une seule livraison manquée.

Calcul 4 — Longueur du chemin le plus court

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il borne la dispersion des chemins et mesure la profondeur de sécurité maximale du réseau.

Méthodologie du calcul :

On emprunte les deux branches courtes : le terrassement puis les culées à la première divergence, la pose des équipements à la seconde.

Substitution : on injecte 2, 3, 3, 6, 2, 2 et 1 semaine.
Piège évité : ne pas confondre ce chemin avec une durée possible du projet : il ne s'agit que d'une des quatre suites du réseau.
Hypothèse validée : la suite est bien continue et complète, de l'installation à la réception.
Vérification croisée : elle doit être la plus courte des quatre longueurs, l'autre combinaison donnant 21 semaines.
Finalité : borner la dispersion des chemins du réseau.

\[ \begin{aligned} L(P_{4}) &= 2 + 3 + 3 + 6 + 2 + 2 + 1 \\[3pt] &= \mathbf{19} \text{ semaines} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Dix-neuf semaines : les quatre chemins du réseau s'étalent de 19 à 24 semaines. La dispersion est de cinq semaines, soit 20,83 % de la durée du projet. C'est une plage étroite : tous les chemins de ce réseau sont voisins, ce qui signifie qu'aucune branche n'offre de véritable réserve. Un réseau robuste présenterait au contraire des chemins secondaires nettement plus courts que le critique.

Ordre de grandeur : 19 semaines, soit une marge de 5 semaines.
Impact sur la suite : cette dispersion étroite confirme la tension du réseau que la part critique va chiffrer.
Cohérence : la somme des marges libres de ce chemin, 0 + 0 + 3 + 0 + 2 + 0 + 0, donne bien 5 semaines.
Attention : les quatre chemins partagent quatre tâches sur sept : ils ne sont pas indépendants.
Comparaison : le quatrième chemin, par les culées et les haubans, mesure 21 semaines et dispose de 3 semaines de marge.

Remarque pédagogique : Mesurez la dispersion des chemins avant de conclure qu'un planning est souple. Des chemins tous voisins signifient qu'aucune branche ne peut absorber un aléa.

Calcul 5 — Part critique de la charge

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il résume en un taux la fragilité du planning, et se compare directement d'un chantier à l'autre.

Méthodologie du calcul :

On rapporte la charge portée par les sept tâches critiques à la charge totale du réseau établie à la première question.

Substitution : on injecte 24 semaines de charge critique et 32 semaines-tâches de charge totale.
Piège évité : raisonner sur les charges et non sur le nombre de tâches, qui donnerait 70,00 % et sous-estimerait la tension.
Hypothèse validée : les tâches critiques forment un chemin unique : leur charge est bien la longueur de ce chemin.
Vérification croisée : la part complémentaire, celle des trois tâches non critiques, doit valoir 25,00 %.
Finalité : chiffrer la tension du planning en un indicateur comparable.

\[ \begin{aligned} \theta &= \frac{24}{32} \\[3pt] &= \mathbf{75{,}00} \; \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Trois quarts du travail du chantier se trouvent sous tension permanente. Le taux dépasse la proportion en nombre de tâches, qui n'est que de 70,00 % : les tâches critiques sont en moyenne plus longues que les autres. Un seul quart de la charge peut absorber un aléa, et encore ces huit semaines-tâches ne représentent-elles que cinq semaines de souplesse réelle. Ce planning n'a aucune réserve.

Ordre de grandeur : 75,00 % de la charge, contre 70,00 % des tâches.
Impact sur la suite : une tension de ce niveau justifie de valoriser financièrement les retards, ce que fait la question suivante.
Cohérence : les trois tâches non critiques pèsent 8 semaines-tâches, soit bien les 25,00 % complémentaires.
Attention : ce taux augmente à chaque marge consommée : il ne peut que se dégrader au fil du chantier.
Comparaison : en intégrant le chemin quasi critique, ce sont 26 des 32 semaines-tâches, soit 81,25 %, qui appellent une surveillance.

Remarque pédagogique : Suivez la part critique dans le temps. Elle ne fait que croître au cours d'un chantier, et sa progression est le meilleur indicateur précoce d'un planning qui se tend.

LES QUATRE CHEMINS DU RÉSEAU, À LA MÊME ÉCHELLE

RÉSULTAT FINAL

θ = 75,00 % chemin critique 24 semaines — quasi critique 22 semaines, marge 2

Le chemin critique enchaîne l'installation, les fondations, les pylônes, le tablier, les haubans, les finitions et la réception, pour un total de 24 semaines qui confirme le parcours aller. Le chemin passant par les équipements ne se tient qu'à deux semaines de la criticité et doit être surveillé au même titre. Les tâches critiques portent 75,00 % de la charge du réseau.

Question 6 : Valorisation financière des retards

Dans la tête de l'ingénieur

« Tout ce qui précède décrit un réseau. Il reste à le traduire dans la seule langue que comprennent également le maître d'ouvrage et le titulaire : les euros. Une difficulté m'attend, et elle n'est pas mathématique. Mon planning est en semaines de travail ; les pénalités se comptent en jours, et le cahier des clauses administratives générales précise que les samedis, les dimanches et les jours fériés ne sont pas déduits. Une semaine de retard vaut donc sept jours de pénalité, pas cinq. L'écart n'est pas un détail de rédaction : il déplace un tiers du montant. Je dois aussi savoir jusqu'où la sanction peut aller, car elle est plafonnée — et un plafond atteint signifie qu'au-delà, le retard ne coûte plus rien au titulaire tout en continuant de coûter au maître d'ouvrage. »

Observation : Le planning est exprimé en semaines et la pénalité en jours : une conversion s'impose avant tout calcul.
Analyse du risque : Retenir cinq jours par semaine au lieu de sept sous-estime la pénalité de 28,57 %, sur un montant qui se compte en centaines de milliers d'euros.
Choix stratégique : Distinguer le retard d'une tâche du retard du projet : seul le second est sanctionné.
Alternative : À défaut de stipulation particulière, le cahier des clauses administratives générales prévoit une pénalité de un trois-millième du montant hors taxes par jour. Le marché y déroge ici, et il faut savoir dans quelle proportion.
Objectif visé : Obtenir le coût d'une semaine de retard critique, l'écart lié à l'unité de compte, le coût d'un retard sur une tâche à marge, le plafond réglementaire et le nombre de jours qui l'atteint.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Une semaine critique 105 000 € · écart lié à l'unité de compte 30 000 € · trois semaines sur les équipements 105 000 € · plafond 1 250 000 € · atteint en 83,33 jours

Rappel Théorique : le régime des pénalités de retard

La pénalité de retard est une sanction forfaitaire, encadrée par le cahier des clauses administratives générales applicable aux marchés publics de travaux. Trois règles en commandent le calcul.

Unité de compte : l'article 19.1.1 dispose que « les samedis, les dimanches et les jours fériés ou chômés ne sont pas déduits pour le calcul des pénalités ». Le décompte se fait donc en jours calendaires, quelle que soit l'unité du planning.
Taux supplétif : à défaut de stipulation particulière, l'article 19.2.3 applique « une pénalité journalière de 1/3 000 du montant hors taxes de l'ensemble du marché ». Les documents particuliers peuvent y déroger, comme ici.
Plafonnement : l'article 19.2.2 dispose que « le montant total des pénalités de retard appliquées au titulaire ne peut excéder 10 % du montant total hors taxes du marché ». Au-delà, le retard cesse d'être sanctionné.
Franchise : l'article 19.2.1 exonère le titulaire « des pénalités dont le montant total ne dépasse pas 1 000 euros pour l'ensemble du marché ».
Seul le retard du projet est sanctionné : un retard consommé dans la marge libre d'une tâche ne décale aucune date contractuelle et n'ouvre droit à aucune pénalité.

Équations Fondamentales

Quatre relations. La première convertit l'unité du planning, la deuxième chiffre la sanction, la troisième et la quatrième en établissent la borne.

Formule 1 — Conversion du retard en jours calendaires :

Elle convertit un retard exprimé en semaines de planning en jours de pénalité.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le planning et le contrat ne comptent pas dans la même unité. Le premier raisonne en semaines de production, le second en jours écoulés. L'article 19.1.1 tranche : aucun jour n'est déduit, donc le facteur de conversion est sept et non cinq.

Contexte de validité : elle s'applique au retard de livraison, non au retard d'une tâche intermédiaire couverte par une marge.
Avantage : elle rend le calcul opposable : le facteur sept est fixé par le texte, non par une convention d'étude.
Paramètre clé : le facteur de conversion, dont la valeur change le résultat de 28,57 %.
Vérification : une semaine de retard doit donner sept jours, et non cinq ni six.
Limite : elle suppose une semaine calendaire pleine : un retard partiel se compte directement en jours.

\[ \begin{aligned} n_{\text{j}} = 7 \times n_{\text{sem}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Combien de jours de pénalité représente ce retard de planning ? Le contrat compte les jours, pas les semaines de travail.

Décomposition des termes :

\( n_{\text{j}} \) : nombre de jours de retard, unité : jours calendaires
\( n_{\text{sem}} \) : retard exprimé au planning, unité : semaines

Formule 2 — Pénalité de retard :

Elle multiplie le nombre de jours de retard par la pénalité journalière stipulée.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle donne le prix du temps sur cette opération. Tant qu'un planning reste un graphe de dates, il n'intéresse que les méthodes ; converti en euros par jour, il devient l'affaire de la direction et du titulaire. C'est cette conversion qui fait du chemin critique un enjeu financier.

Contexte de validité : elle suppose le retard imputable au titulaire : les motifs de l'article 18.2.2 ouvrent au contraire droit à prolongation.
Avantage : elle transforme chaque semaine de marge en un montant, ce qui permet d'arbitrer entre accélérer et subir.
Paramètre clé : la pénalité journalière, fixée par les documents particuliers du marché.
Vérification : le résultat doit rester inférieur au plafond réglementaire.
Limite : la pénalité n'indemnise pas le maître d'ouvrage de son préjudice réel : c'est une sanction forfaitaire, pas une réparation.

\[ \begin{aligned} P = p \times n_{\text{j}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Combien coûte ce retard au titulaire ? C'est le prix du temps, tel que le marché le fixe.

Décomposition des termes :

\( P \) : pénalité de retard, unité : €
\( p \) : pénalité journalière stipulée, unité : €/jour
\( n_{\text{j}} \) : nombre de jours de retard, unité : jours calendaires

Formule 3 — Plafond réglementaire des pénalités :

Elle applique au montant hors taxes du marché le taux fixé par l'article 19.2.2.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la sanction est bornée, et que cette borne a une conséquence contre-intuitive : au-delà du plafond, un jour de retard supplémentaire ne coûte plus rien au titulaire alors qu'il continue de coûter au maître d'ouvrage. L'incitation à finir disparaît exactement au moment où elle serait la plus nécessaire.

Contexte de validité : l'assiette est le montant hors taxes de l'ensemble du marché, éventuellement modifié.
Avantage : elle protège le titulaire d'une sanction sans limite sur un marché de longue durée.
Paramètre clé : le montant du marché, qui fixe seul la hauteur du plafond.
Vérification : le plafond doit être comparé à la pénalité théorique pour savoir s'il est atteignable dans la durée du chantier.
Limite : une fois atteint, le plafond supprime toute incitation financière à limiter le retard.

\[ \begin{aligned} P_{\max} = 0{,}10 \times M \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Jusqu'où la sanction peut-elle aller ? Au-delà, le retard cesse d'être sanctionné.

Décomposition des termes :

\( P_{\max} \) : plafond des pénalités, unité : €
\( M \) : montant du marché hors taxes, unité : €

Formule 4 — Retard atteignant le plafond :

Elle divise le plafond par la pénalité journalière.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un plafond exprimé en euros ne parle pas à un conducteur de travaux, alors qu'un plafond exprimé en jours de retard lui parle immédiatement. La grandeur obtenue dit à partir de quel dérapage la sanction cesse de croître, et donc à partir de quand l'incitation contractuelle s'éteint.

Contexte de validité : elle suppose une pénalité journalière constante sur toute la durée du retard.
Avantage : elle exprime le plafond dans l'unité du planning, seule forme exploitable en réunion de chantier.
Paramètre clé : le rapport entre pénalité journalière et montant du marché, qui détermine seul ce nombre de jours.
Vérification : le résultat doit être comparé à la durée du chantier pour juger si le plafond est atteignable.
Limite : le résultat est rarement entier : le plafond est effectivement atteint au jour entier suivant.

\[ \begin{aligned} n_{\max} = \frac{P_{\max}}{p} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? À partir de combien de jours de retard la sanction cesse-t-elle de croître ? C'est le point où l'incitation contractuelle s'éteint.

Décomposition des termes :

\( n_{\max} \) : retard atteignant le plafond, unité : jours calendaires
\( P_{\max} \) : plafond des pénalités, unité : €
\( p \) : pénalité journalière stipulée, unité : €/jour

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le planning est établi en semaines de travail de cinq jours. Une semaine de retard représente donc cinq jours de pénalité, soit 75 000 €. »

L'approche d'ingénieur : L'article 19.1.1 est explicite : « les samedis, les dimanches et les jours fériés ou chômés ne sont pas déduits pour le calcul des pénalités ». Une semaine de retard vaut donc sept jours et 105 000 €, non 75 000 €. L'écart de 30 000 € par semaine représente 28,57 % de la pénalité réelle. Sur un dérapage de trois semaines, l'erreur atteint 90 000 € — davantage que le lot le plus modeste de bien des marchés. Le planning peut légitimement raisonner en semaines ouvrées ; la conversion en jours calendaires doit intervenir avant tout calcul de pénalité, et l'unité retenue doit figurer dans la note.

L'erreur : appliquer au calcul contractuel l'unité de compte du planning.
La bonne méthode : convertir en jours calendaires, puis multiplier. Jamais l'inverse, jamais directement.
L'astuce de pro : faire figurer les deux unités dans la note : « 3 semaines de retard, soit 21 jours calendaires ». Le lecteur ne peut plus se tromper.
Le moyen mnémotechnique : « le planning compte en semaines, le contrat en jours ».
L'impact direct : 30 000 € par semaine de retard, soit 28,57 % de la pénalité réelle, omis de la provision.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Retard de planning : exprimé en semaines
Retard contractuel : exprimé en jours calendaires, samedis et dimanches compris
Pénalité : €/jour × jour = €
Plafond : sans dimension × € = €
Retard atteignant le plafond : € / (€/jour) = jour

Cinq calculs. Le premier chiffre le prix d'une semaine sur le chemin critique, le deuxième l'écart lié à l'unité de compte, le troisième traite un retard sur une tâche à marge, les deux derniers établissent le plafond et le retard qui l'atteint.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Pénalité d'une semaine de retard sur le chemin critique

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le prix unitaire du temps sur cette opération, et le chiffre qui donne au chemin critique sa portée financière.

Méthodologie du calcul :

Une semaine de retard sur une tâche critique décale la livraison d'une semaine, soit sept jours calendaires. On multiplie ce nombre de jours par la pénalité journalière stipulée.

Substitution : on injecte \( p = 15\,000 \) €/jour et \( n_{\text{j}} = 7 \) jours.
Piège évité : retenir sept jours et non cinq, conformément à l'article 19.1.1.
Hypothèse validée : la tâche retardée est critique : son retard se reporte intégralement sur la livraison.
Vérification croisée : le montant obtenu doit rester très inférieur au plafond réglementaire.
Finalité : établir le prix unitaire du temps sur le chemin critique.

\[ \begin{aligned} P_{1} &= 15\,000 \times 7 \\[3pt] &= \mathbf{105\,000} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Cent cinq mille euros la semaine : voilà ce que vaut le chemin critique. Le montant représente 0,84 % du marché pour une seule semaine. Sept tâches sont dans ce cas, et toute décision d'accélération se juge désormais par comparaison à ce chiffre : mobiliser une équipe supplémentaire coûtant moins de 105 000 € par semaine gagnée est économiquement fondé.

Ordre de grandeur : 105 000 € par semaine, soit 0,84 % du montant du marché.
Impact sur la suite : ce montant sert de référence à toutes les valorisations de marge et de retard.
Cohérence : 105 000 € reste très inférieur au plafond réglementaire établi ci-après.
Attention : la pénalité stipulée vaut 3,60 fois le taux supplétif de un trois-millième prévu par l'article 19.2.3.
Comparaison : les cinq semaines de marge réelle du réseau valent, à ce tarif, 525 000 € de pénalités évitées.

Remarque pédagogique : Chiffrez le prix de la semaine dès la première réunion de chantier. C'est le seul indicateur qui rende comparable un renfort d'équipe et un dérapage de planning.

Calcul 2 — Écart lié à l'unité de compte

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'erreur la plus fréquente du chiffrage des pénalités, et qu'il faut savoir ce qu'elle vaut avant de la commettre.

Méthodologie du calcul :

On applique la relation de pénalité avec cinq jours au lieu de sept, ce qui donne 75 000 €, et l'on retranche ce montant de la pénalité réelle.

Substitution : on injecte 105 000 € et 75 000 €.
Piège évité : rapporter l'écart à la pénalité réelle et non au montant erroné, sous peine d'annoncer 40 % au lieu de 28,57 %.
Hypothèse validée : la semaine ouvrée est bien de cinq jours, hypothèse la plus courante des plannings de chantier.
Vérification croisée : l'écart doit valoir deux jours de pénalité, soit deux fois 15 000 €.
Finalité : chiffrer l'enjeu de la convention d'unité de compte.

\[ \begin{aligned} \Delta P &= 105\,000 - 75\,000 \\[3pt] &= \mathbf{30\,000} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Trente mille euros par semaine séparent les deux lectures, soit 28,57 % de la pénalité réelle. L'écart ne procède d'aucun calcul contestable : il procède d'une convention d'unité que l'article 19.1.1 tranche explicitement. Sur un dérapage de trois semaines, l'erreur atteindrait 90 000 €, soit 0,72 % du marché — pour une simple confusion entre jours ouvrés et jours calendaires.

Ordre de grandeur : 30 000 € par semaine, soit deux jours de pénalité.
Impact sur la suite : toute provision pour pénalités doit être établie sur la base calendaire.
Cohérence : l'écart vaut bien deux fois la pénalité journalière de 15 000 €.
Attention : l'écart croît linéairement avec le retard : il n'est pas amorti par la durée.
Comparaison : sur trois semaines, l'erreur atteindrait 90 000 €, soit 0,72 % du marché.

Remarque pédagogique : Écrivez toujours l'unité à côté du nombre : « 21 jours calendaires » et non « 3 semaines ». Une unité implicite est un litige en préparation.

Calcul 3 — Pénalité d'un retard de trois semaines sur les équipements

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il montre que la marge libre a une valeur monétaire, et que seul son dépassement est sanctionné.

Méthodologie du calcul :

La pose des équipements dispose de deux semaines de marge libre. Un retard de trois semaines n'excède donc le planning que d'une seule semaine, soit sept jours calendaires.

Substitution : on injecte \( p = 15\,000 \) €/jour et un dépassement de 7 jours.
Piège évité : ne pas sanctionner les trois semaines : les deux premières sont absorbées par la marge et ne décalent aucune date contractuelle.
Hypothèse validée : la marge des équipements est bien libre : sa consommation ne déplace aucune autre tâche.
Vérification croisée : le résultat doit être identique à la pénalité d'une semaine sur le chemin critique.
Finalité : démontrer que la marge libre est un actif financier du planning.

\[ \begin{aligned} P_{\text{H}} &= 15\,000 \times 7 \\[3pt] &= \mathbf{105\,000} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Trois semaines de retard sur une tâche à marge coûtent autant qu'une seule semaine sur le chemin critique. Les deux premières semaines sont absorbées sans conséquence : elles valent, en pénalités évitées, 210 000 €. C'est la valeur monétaire de la marge libre des équipements, et elle justifie à elle seule d'avoir distingué marge libre et marge totale.

Ordre de grandeur : 105 000 € pour un dépassement d'une seule semaine.
Impact sur la suite : ce résultat valorise la marge libre à 105 000 € la semaine, au même tarif que le chemin critique.
Cohérence : le dépassement de 3 − 2 = 1 semaine correspond bien à 7 jours calendaires.
Attention : ce raisonnement ne vaut que pour une marge libre : une marge interférente déplacerait d'autres tâches.
Comparaison : les cinq semaines de marge réelle du réseau valent 525 000 €, soit 4,20 % du marché.

Remarque pédagogique : Valorisez les marges en euros dans votre note de planification. Une marge chiffrée à 105 000 € la semaine cesse d'être un détail technique : elle devient un actif que l'on protège.

Calcul 4 — Plafond réglementaire des pénalités

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la sanction est bornée par le cahier des clauses administratives générales, et que cette borne change l'analyse du risque de retard.

Méthodologie du calcul :

On applique au montant hors taxes du marché le taux de dix pour cent fixé par l'article 19.2.2.

Substitution : on injecte \( M = 12\,500\,000 \) € hors taxes.
Piège évité : retenir le montant hors taxes de l'ensemble du marché, et non un montant toutes taxes ni celui d'une tranche.
Hypothèse validée : le marché n'a fait l'objet d'aucune modification : le montant initial reste l'assiette.
Vérification croisée : le plafond doit être très supérieur à la franchise de 1 000 € de l'article 19.2.1.
Finalité : borner l'exposition financière du titulaire au titre du retard.

\[ \begin{aligned} P_{\max} &= 0{,}10 \times 12\,500\,000 \\[3pt] &= \mathbf{1\,250\,000} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un million deux cent cinquante mille euros : c'est le maximum que le titulaire peut perdre au titre du retard. Le montant équivaut à 11,90 semaines de pénalité, soit près de la moitié de la durée du chantier. Au-delà, la sanction cesse de croître — et l'incitation financière à finir disparaît exactement dans la situation où elle serait la plus utile.

Ordre de grandeur : 1 250 000 €, soit 10 % du montant du marché.
Impact sur la suite : ce plafond sera converti en jours de retard pour être exploitable en réunion de chantier.
Cohérence : le plafond dépasse de très loin la franchise de 1 000 € prévue par l'article 19.2.1.
Attention : le plafond porte sur le total des pénalités du marché, retards partiels compris.
Comparaison : il vaut 11,90 fois la pénalité d'une semaine de retard sur le chemin critique.

Remarque pédagogique : Le plafonnement des pénalités est une protection du titulaire, pas une garantie pour le maître d'ouvrage. Ce dernier ne peut compter sur la seule sanction financière pour tenir un délai.

Calcul 5 — Retard atteignant le plafond

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un plafond exprimé en euros ne se pilote pas, alors qu'un plafond exprimé en jours de retard s'annonce en réunion de chantier.

Méthodologie du calcul :

On divise le plafond réglementaire par la pénalité journalière stipulée.

Substitution : on injecte \( P_{\max} = 1\,250\,000 \) € et \( p = 15\,000 \) €/jour.
Piège évité : ne pas arrondir le résultat à l'entier inférieur : le plafond est effectivement atteint au jour suivant, soit le quatre-vingt-quatrième.
Hypothèse validée : la pénalité journalière est constante sur toute la durée du retard.
Vérification croisée : 83 jours à 15 000 € donnent 1 245 000 €, et 84 jours donneraient 1 260 000 €, au-delà du plafond.
Finalité : exprimer le plafond dans l'unité du planning.

\[ \begin{aligned} n_{\max} &= \frac{1\,250\,000}{15\,000} \\[3pt] &= \mathbf{83{,}33} \text{ jours} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le plafond est atteint au quatre-vingt-quatrième jour de retard, soit exactement douze semaines. C'est la moitié de la durée du chantier. Au-delà, chaque semaine supplémentaire est gratuite pour le titulaire alors qu'elle continue de coûter au maître d'ouvrage. Un tel plafond n'est pas atteignable par un dérapage ordinaire : il suppose un sinistre. Mais il définit exactement la limite de ce que le contrat peut faire pour tenir un délai — et c'est le calendrier, non la sanction, qui doit le tenir.

Ordre de grandeur : 83,33 jours, le plafond étant effectivement atteint au 84e jour.
Impact sur la suite : au-delà de douze semaines, seule la résiliation ou la mise en régie reste à la main du maître d'ouvrage.
Cohérence : 83 jours donnent 1 245 000 € et 84 jours 1 260 000 €, qui excède le plafond.
Attention : ces 84 jours représentent 50,00 % de la durée du chantier.
Comparaison : au taux supplétif de un trois-millième, le plafond ne serait atteint qu'au 300e jour.

Remarque pédagogique : Exprimez toujours un plafond de pénalités en jours de retard. C'est la seule forme sous laquelle une direction de travaux peut en tirer une conséquence opérationnelle.

RÉGLETTE DES PÉNALITÉS EN FONCTION DU RETARD

RÉSULTAT FINAL

P₁ = 105 000 € par semaine — plafond 1 250 000 €, atteint en 83,33 jours

Une semaine de retard sur le chemin critique coûte 105 000 €, décomptée en sept jours calendaires comme l'impose l'article 19.1.1 : un décompte en jours ouvrés sous-estimerait la pénalité de 30 000 € par semaine. Un retard de trois semaines sur la pose des équipements ne coûte que 105 000 €, ses deux premières semaines étant absorbées par la marge libre. Le plafond réglementaire de 1 250 000 € serait atteint au quatre-vingt-quatrième jour de retard, soit douze semaines.

SCHÉMA BILAN DE LA NOTE DE CALCULS

LA PLANCHE DE SYNTHÈSE DU CALENDRIER

Réseau logique, calendrier gradué et réglette des pénalités PLANCHE DE SYNTHÈSE

La planche ci-dessous rassemble ce que les six questions ont établi : le réseau logique montre les dix tâches ordonnées par rang, le chemin critique en trait fort et les trois tâches à marge ; le calendrier gradué place chaque tâche à sa date au plus tôt et prolonge d'une plage hachurée celles qui disposent d'une latitude ; la réglette traduit enfin le tout en euros. C'est la forme sous laquelle un calendrier détaillé se transmet : un graphe qui dit ce qui commande, un calendrier qui dit quand, et une échelle qui dit ce que coûte chaque semaine perdue.

PLANCHE DE SYNTHÈSE — RÉSEAU, CALENDRIER ET PÉNALITÉS

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche complète :

Je classe les tâches par rang avant de tracer le réseau, et je vérifie qu'aucune ne reste orpheline. J'applique un maximum aux convergences du parcours aller et un minimum aux divergences du parcours retour. Je calcule la marge libre en plus de la marge totale, et je n'annonce aux entreprises que la première. Je n'additionne jamais les marges totales d'un tableau : elles décrivent la même souplesse vue de plusieurs tâches. Je mesure la marge de tous les chemins et je surveille les chemins quasi critiques au même titre que le critique. Je convertis les semaines de planning en jours calendaires avant tout calcul de pénalité, et j'écris l'unité retenue.

La mission est remplie. Le réseau se structure en sept rangs pour dix tâches, onze liaisons d'antériorité et une charge totale de 32 semaines-tâches, soit un taux de parallélisme de 1,43. Le parcours aller fixe la durée incompressible du chantier à 24 semaines, les deux convergences se situant en semaine 11 pour l'assemblage du tablier et en semaine 21 pour les finitions. Le parcours retour établit que sept tâches sur dix ne disposent d'aucune latitude : le chemin critique enchaîne l'installation, les fondations profondes, l'élévation des pylônes, l'assemblage du tablier, la mise en tension des haubans, les finitions et la réception, et porte à lui seul 75,00 % de la charge du réseau. Les trois autres tâches affichent respectivement trois, trois et deux semaines de marge totale.

La plus-value de l'étude tient à trois constats que le tableau des marges totales ne révèle pas. Le premier est que le terrassement des culées, crédité de trois semaines de marge, n'en possède aucune de libre : il est suivi sans le moindre battement par la construction des culées, et toute journée qu'il prendra décalera celle-ci d'autant. La totalité de sa marge est interférente. Il en résulte que le tableau, lu ligne à ligne, annonce huit semaines-tâches de souplesse là où le réseau n'en contient que cinq, soit un facteur de surestimation de 1,60. Le deuxième constat est que le chemin passant par la pose des équipements mesure 22 semaines et ne se tient donc qu'à deux semaines de la criticité : six de ses sept tâches sont déjà critiques, et un retard de trois semaines sur les équipements suffirait à en faire le nouveau chemin critique. Il appelle la même surveillance hebdomadaire que le chemin critique lui-même. Le troisième constat est financier : une semaine de retard vaut 105 000 €, et non 75 000 €, parce que les pénalités se comptent en jours calendaires — un écart de 30 000 € par semaine, soit 28,57 % du montant réel.

Le cadre applicable relève du cahier des clauses administratives générales applicable aux marchés publics de travaux, approuvé par l'arrêté du 30 mars 2021 modifié. L'article 28.2.3 fonde la mission elle-même : dans le cas de travaux allotis, « le calendrier détaillé d'exécution est élaboré par le responsable de la mission d'ordonnancement-pilotage-coordination du chantier, en concertation avec les titulaires des différents lots », puis soumis à l'approbation du maître d'ouvrage et « notifié par ordre de service aux titulaires de chacun des lots » — les dates calculées ici deviennent donc contractuelles. L'article 18.1.1 précise que le délai d'exécution comprend « le repliement des installations de chantier et la remise en état des terrains » : la tâche de repli entre dans les 24 semaines et ne peut en être retranchée. L'article 18.2.1 dispose qu'en dehors des cas énumérés, « la prolongation du délai d'exécution ne peut résulter que d'un avenant », l'article 18.2.2 visant notamment « la survenance de difficultés ou de circonstances imprévues au cours du chantier ». Côté pénalités, l'article 19.1.1 commande tout le chiffrage : « les samedis, les dimanches et les jours fériés ou chômés ne sont pas déduits ». L'article 19.2.3 fixe un taux supplétif de 1/3 000 du montant hors taxes par jour, auquel les documents particuliers dérogent ici dans un rapport de 3,60. L'article 19.2.2 plafonne le total à 10 % du montant hors taxes, atteint au quatre-vingt-quatrième jour de retard, et l'article 19.2.1 exonère le titulaire en deçà de 1 000 €. En revanche, l'origine des temps, la granularité hebdomadaire, l'absence de décalage entre tâches et l'hypothèse de ressources illimitées sont des conventions d'étude qu'aucun texte ne fixe.

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