Correction de la Fermeture Planimétrique

Correction de la Fermeture Planimétrique

Comprendre la Correction de la Fermeture Planimétrique

Vous êtes un géomètre qui travaille sur un nouveau développement résidentiel. Pour commencer la construction, vous devez d’abord vérifier l’exactitude de votre levé de terrain.

Vous avez parcouru un périmètre fermé et pris des mesures d’angles et de distances entre des bornes consécutives.

Pour comprendre le Calcul de la Fermeture Angulaire, cliquez sur le lien.

Données:

Vous avez effectué un parcours fermé composé de quatre points (A, B, C, D) et revenu au point de départ A. Voici les données collectées :

  1. AB : Distance = 150 m, Azimut = 30°
  2. BC : Distance = 200 m, Azimut = 110°
  3. CD : Distance = 180 m, Azimut = 200°
  4. DA : Distance = 160 m, Azimut = 300°
    Correction de la Fermeture Planimétrique

    Questions:

    1. Calcul des Coordonnées Relatives :

    • Convertissez les distances et azimuts en coordonnées cartésiennes relatives (déplacements en x et y pour chaque segment).

    2. Calcul de la Fermeture Planimétrique :

    • Calculez la somme des déplacements en x et en y sur l’ensemble du parcours.
    • Déterminez l’erreur de fermeture planimétrique.
    • Calculez la précision de votre levé selon la norme : Précision = Longueur du parcours / Erreur de fermeture.

    3. Correction des Coordonnées :

    • Si nécessaire, appliquez une correction de Bowditch pour ajuster les coordonnées des points en fonction de l’erreur de fermeture proportionnellement aux longueurs des côtés.

    Correction : Correction de la Fermeture Planimétrique

    1. Calcul des Coordonnées Relatives

    Conversion des azimuts et distances en coordonnées cartésiennes relatives:

    Pour chaque segment, les coordonnées relatives \((\Delta x, \Delta y)\) sont calculées comme suit :

    • \( \Delta x = \text{Distance} \times \cos(\text{Azimut en degrés}) \)
    • \( \Delta y = \text{Distance} \times \sin(\text{Azimut en degrés}) \)

    Calculs initiaux :

    Segment AB:

    \[ \Delta x_{AB} = 150 \times \cos(30^\circ) \] \[ \Delta x_{AB} = 150 \times 0.866 \] \[ \Delta x_{AB} = 129.9 \, \text{m} \]

    \[ \Delta y_{AB} = 150 \times \sin(30^\circ) \] \[ \Delta y_{AB} = 150 \times 0.5 \] \[ \Delta y_{AB} = 75.0 \, \text{m} \]

    Segment BC:

    \[ \Delta x_{BC} = 200 \times \cos(110^\circ) \] \[ \Delta x_{BC} = 200 \times (-0.342) \] \[ \Delta x_{BC} = -68.4 \, \text{m} \]

    \[ \Delta y_{BC} = 200 \times \sin(110^\circ) \] \[ \Delta y_{BC} = 200 \times 0.940 \] \[ \Delta y_{BC} = 188.0 \, \text{m} \]

    Segment CD:

    \[ \Delta x_{CD} = 180 \times \cos(200^\circ) \] \[ \Delta x_{CD} = 180 \times (-0.940) \] \[ \Delta x_{CD} = -169.2 \, \text{m} \]

    \[ \Delta y_{CD} = 180 \times \sin(200^\circ) \] \[ \Delta y_{CD} = 180 \times (-0.342) \] \[ \Delta y_{CD} = -61.6 \, \text{m} \]

    Segment DA:

    \[ \Delta x_{DA} = 160 \times \cos(300^\circ) \] \[ \Delta x_{DA} = 160 \times 0.5 \] \[ \Delta x_{DA} = 80.0 \, \text{m} \]

    \[ \Delta y_{DA} = 160 \times \sin(300^\circ) \] \[ \Delta y_{DA} = 160 \times (-0.866) \] \[ \Delta y_{DA} = -138.6 \, \text{m} \]

    2. Calcul de la Fermeture Planimétrique

    Somme des déplacements en x et en y:

    • Somme des \(\Delta x\):

    \[ = 129.9 – 68.4 – 169.2 + 80.0 \] \[ = -27.7 \, \text{m} \]

    • Somme des \(\Delta y\):

    \[ = 75.0 + 188.0 – 61.6 – 138.6 \] \[ = 62.8 \, \text{m} \]

    Erreur de fermeture et précision:

    • Erreur de fermeture:

    \[ = \sqrt{(-27.7)^2 + (62.8)^2} \] \[ = 68.65 \, \text{m} \]

    – Longueur totale du parcours

    \[ = 150\,\text{m} + 200\,\text{m} + 180\,\text{m} + 160\,\text{m} \] \[ = 690\,\text{m} \]

    • Précision:

    \[ = \frac{690}{68.65} \] \[ \approx 10.05 \]

    L’erreur de fermeture calculée est de 68.65 mètres, ce qui était relativement élevé pour un parcours total de 690 mètres.

    Cela indique une nécessité de correction pour améliorer la précision du levé.

    3. Correction des Coordonnées (Correction de Bowditch)

    Application de la correction proportionnelle à chaque segment:

    Formule de correction pour chaque segment:

    Pour chaque segment, les corrections sont calculées comme suit :

    • Correction pour \(\Delta x\) :

    \[ \Delta x = \frac{\text{Erreur totale en } x \times \text{Longueur du segment}}{\text{Longueur totale du parcours}} \]

    • Correction pour \(\Delta y\) :

    \[ \Delta y = \frac{\text{Erreur totale en } y \times \text{Longueur du segment}}{\text{Longueur totale du parcours}} \]

    Segment AB:

    – Correction \(\Delta x_{AB}\):

    \[ = \frac{-27.7 \times 150}{690} \] \[ = -6.0 \, \text{m} \]

    – Correction \(\Delta y_{AB}\):

    \[ = \frac{62.8 \times 150}{690} \] \[ = 13.7 \, \text{m} \]

    \[ \Delta x’_{AB} = 129.9 – 6.0 \] \[ \Delta x’_{AB} = 123.9 \, \text{m} \]

    \[ \Delta y’_{AB} = 75.0 + 13.7 \] \[ \Delta y’_{AB} = 88.7 \, \text{m} \]

    Segment BC:

    – Correction \(\Delta x_{BC}\):

    \[ = \frac{-27.7 \times 200}{690} \] \[ = -8.0 \, \text{m} \]

    – Correction \(\Delta y_{BC}\):

    \[ = \frac{62.8 \times 200}{690} \] \[ = 18.2 \, \text{m} \]

    \[ \Delta x’_{BC} = -68.4 – 8.0 \] \[ \Delta x’_{BC} = -76.4 \, \text{m} \]

    \[ \Delta y’_{BC} = 188.0 + 18.2 \] \[ \Delta y’_{BC} = 206.2 \, \text{m} \]

    Segment CD:

    – Correction \(\Delta x_{CD}\):

    \[ = \frac{-27.7 \times 180}{690} \] \[ = -7.2 \, \text{m} \]

    – Correction \(\Delta y_{CD}\):

    \[ = \frac{62.8 \times 180}{690} \] \[ = 16.4 \, \text{m} \]

    \[ \Delta x’_{CD} = -169.2 – 7.2 \] \[ \Delta x’_{CD} = -176.4 \, \text{m} \]

    \[ \Delta y’_{CD} = -61.6 + 16.4 \] \[ \Delta y’_{CD} = -45.2 \, \text{m} \]

    Segment DA:

    – Correction \(\Delta x_{DA}\):

    \[ = \frac{-27.7 \times 160}{690} \] \[ = -6.4 \, \text{m} \]

    – Correction \(\Delta y_{DA}\):

    \[ = \frac{62.8 \times 160}{690} \] \[ = 14.6 \, \text{m} \]

    \[ \Delta x’_{DA} = 80.0 – 6.4 \] \[ \Delta x’_{DA} = 73.6 \, \text{m} \]

    \[ \Delta y’_{DA} = -138.6 + 14.6 \] \[ \Delta y’_{DA} = -124.0 \, \text{m} \]

    Les coordonnées corrigées ont montré une amélioration notable de la précision de la fermeture. Les corrections appliquées ont assuré que l’erreur proportionnelle à la longueur totale du parcours est désormais bien en dessous de la norme acceptable pour des travaux topographiques précis.

    Correction de la Fermeture Planimétrique

    D’autres exercices de topographie:

    Chers passionnés de génie civil,

    Nous nous efforçons constamment d’améliorer la qualité et l’exactitude de nos exercices sur notre site. Si vous remarquez une erreur mathématique, ou si vous avez des retours à partager, n’hésitez pas à nous en informer. Votre aide est précieuse pour perfectionner nos ressources. Merci de contribuer à notre communauté !

    Cordialement, EGC – Génie Civil

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