Contraintes sur un Panneau Composite Stratifié
Comprendre les Contraintes sur un Panneau Composite Stratifié
Un panneau composite est utilisé dans la fabrication d’une aile d’avion. Le panneau est stratifié et comprend trois couches de fibres de carbone époxydiques orientées différemment.
L’objectif est de déterminer les propriétés mécaniques du panneau, notamment sa rigidité en flexion et sa résistance à la traction sous une charge spécifique.
Pour comprendre les Contraintes Thermiques en Aérospatiale, cliquez sur le lien.
Données Fournies:
– Composition des couches:
- Couche 1: Fibres orientées à \(0^\circ\).
- Couche 2: Fibres orientées à \(45^\circ\).
- Couche 3: Fibres orientées à \(-45^\circ\).
– Propriétés des matériaux (pour chaque couche):
- Module de Young, \(E_f = 70 \, \text{GPa}\)
- Module de cisaillement, \(G_f = 30 \, \text{GPa}\)
- Coefficient de Poisson, \(\nu_f = 0.25\)
– Épaisseur de chaque couche: \(0.5 \, \text{mm}\)
– Charge appliquée: \(1000 \, \text{N/m}\)
Questions:
1. Calculer la matrice de rigidité \([Q]\) pour chaque couche en utilisant les propriétés transformées selon l’orientation des fibres.
2. Déterminer la rigidité en flexion du panneau composite (\([A]\), \([B]\), \([D]\) matrices).
4. Analyser la contrainte et la déformation sous la charge appliquée, en vérifiant l’intégrité structurale du panneau.
Correction : Contraintes sur un Panneau Composite Stratifié
1. Calcul de la Matrice de Rigidité \([Q]\) pour Chaque Couche
Propriétés des Matériaux
- Module de Young, \(E_f = 70 \, \text{GPa}\)
- Module de cisaillement, \(G_f = 30 \, \text{GPa}\)
- Coefficient de Poisson, \(\nu_f = 0.25\)
Les propriétés des matériaux restent constantes, mais nous appliquons une transformation basée sur l’angle d’orientation des fibres dans chaque couche.
Transformation des Propriétés pour Chaque Couche
- Couche 1 (0\(^{\circ}\)) :
\[ Q_{11} = Q_{22} = \frac{E_f}{1 – \nu_f^2} \] \[ Q_{11} = \frac{70}{1 – 0.25^2} \] \[ Q_{11} \approx 74.67 \, \text{GPa} \]
\[ Q_{12} = \frac{\nu_f E_f}{1 – \nu_f^2} \] \[ Q_{12} = 0.25 \times 70 / (1 – 0.25^2) \] \[ Q_{12} \approx 18.67 \, \text{GPa} \]
\[ Q_{66} = G_f = 30 \, \text{GPa} \]
- Couche 2 et 3 (\(\pm 45^{\circ}\)) :
\[ Q_{11} = Q_{22} = \frac{E_f}{2(1 + \nu_f)} \approx 25.93 \, \text{GPa} \]
\[ Q_{12} = \frac{E_f \nu_f}{2(1 + \nu_f)} \approx 9.26 \, \text{GPa} \]
\[ Q_{66} = \frac{E_f}{2(1 + \nu_f)} \approx 25.93 \, \text{GPa} \]
2. Construction des Matrices \([A]\), \([B]\), \([D]\)
Calcul des Matrices de Rigidité Globale
- Épaisseur totale, \(h = 3 \times 0.5 \, \text{mm} = 1.5 \, \text{mm}\)
- Les matrices de rigidité \([A]\), \([B]\), et \([D]\) pour un panneau composite stratifié sont calculées en intégrant les contributions des propriétés élastiques de chaque couche sur l’épaisseur du panneau.
– Matrice \([A]\) (rigidité en membrane) :
\[ A_{11} = A_{22} = (74.67 \times 0.5 + 2 \times 25.93 \times 0.5) \, \text{mm} \] \[ A_{11} \approx 63.30 \, \text{N/mm} \]
\[ A_{12} = (18.67 \times 0.5 + 2 \times 9.26 \times 0.5) \, \text{mm} \] \[ A_{12} \approx 18.60 \, \text{N/mm} \]
\[ A_{66} = (30 \times 0.5 + 2 \times 25.93 \times 0.5) \, \text{mm} \] \[ A_{66} \approx 40.93 \, \text{N/mm} \]
– Matrice \([B]\) (couplage flexion-extension) :
Comme les fibres dans les couches 2 et 3 sont symétriques,
\[ B_{11} = B_{22} = B_{12} = B_{66} = 0 \]
– Matrice \([D]\) (rigidité en flexion) :
\[ D_{11} = D_{22} = \frac{1}{3}(74.67 \times 0.5^3 + 2 \times 25.93 \times 0.5^3) \] \[ D_{11} \approx 4.21 \, \text{N} \]
\[ D_{12} = \frac{1}{3}(18.67 \times 0.5^3 + 2 \times 9.26 \times 0.5^3) \] \[ D_{12} \approx 1.23 \, \text{N} \]
\[ D_{66} = \frac{1}{3}(30 \times 0.5^3 + 2 \times 25.93 \times 0.5^3) \] \[ D_{66} \approx 2.72 \, \text{N} \]
3. Analyse sous la Charge Appliquée
Données Initiales:
- Charge appliquée : \(1000 \, \text{N/m}\)
Matrices de rigidité obtenues :
\[ [A] \approx \begin{bmatrix}
63.30 & 18.60 \\
18.60 & 63.30
\end{bmatrix} \, \text{N/mm} \]
\[ [D] \approx \begin{bmatrix}
4.21 & 1.23 \\
1.23 & 4.21
\end{bmatrix} \, \text{N} \]
– Calcul des Contraintes dans le Panneau:
La charge uniforme \( q = 1000 \, \text{N/m} \) se répartit sur une largeur de \(1 \, \text{m}\), ce qui équivaut à \(1 \, \text{N/mm}\) pour chaque direction normale sur le panneau.
Contrainte appliquée :
\[ \sigma_x = \sigma_y = 1 \, \text{N/mm}^2 \]
– Calcul des Déformations dans le Panneau
La déformation est calculée à partir de l’inversion de la matrice \([A]\), qui nous donne les coefficients pour convertir les contraintes en déformations.
- Inversion de la matrice \([A]\) :
\[ [A]^{-1} \approx \begin{bmatrix}
0.016 & -0.0048 \\
-0.0048 & 0.016
\end{bmatrix} \, \text{mm/N} \]
- Calcul des déformations dues à la charge de membrane :
\[ \begin{bmatrix}
\epsilon_x \\
\epsilon_y
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0.016 & -0.0048 \\
-0.0048 & 0.016
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix}
0.0112 \\
0.0112
\end{bmatrix} \]
Résultats :
\[ \epsilon_x \approx \epsilon_y \approx 0.0112 \, \text{mm/mm} \quad (\text{ou } 1.12\%) \]
– Analyse des Effets de Flexion
Les effets de flexion ne sont pas directement liés à la contrainte normale, mais ils peuvent être estimés en utilisant la matrice \([D]\) pour des charges de flexion spécifiques. Pour simplifier, nous supposons ici que les effets de flexion sont minimes ou traités séparément selon la configuration de charge spécifique.
Conclusion
Les contraintes dans chaque direction sont uniformes à \(1 \, \text{N/mm}^2\), ce qui est inférieur à la capacité de résistance typique des composites à fibres de carbone, indiquant une marge de sécurité adéquate sous la charge donnée.
Les déformations calculées sont de 1.12%, ce qui est généralement acceptable pour des matériaux composites en ingénierie structurale, dépendant de l’application spécifique (ici, aéronautique).
Contraintes sur un Panneau Composite Stratifié
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