Contraintes en fibres extrêmes et intermédiaires
Comprendre la contraintes en fibres extrêmes et intermédiaires
Vous êtes ingénieur en structure et devez analyser une poutre en acier soumise à une charge uniformément répartie.
La poutre a une section transversale rectangulaire.
Données
- Longueur de la poutre : L = 6 mètres.
- Largeur de la section transversale : b = 0.15 mètres.
- Hauteur de la section transversale : h = 0.3 mètres.
- Charge uniformément répartie : q = 5 kN/m.
- Module d’élasticité de l’acier : E = 210 GPa.
Pour comprendre le Calcul de la contrainte de flexion, cliquez sur le lien.
Questions à Résoudre
1. Calculez le moment fléchissant maximal \( M \).
2. Déterminez le moment d’inertie \( I \) de la section transversale.
3. Calculez la contrainte en fibres extrêmes \( \sigma_{\text{ext}} \).
4. Choisissez un point intermédiaire et calculez la contrainte en ce point \( \sigma_{\text{int}} \).
Réflexion Supplémentaire
- Comment la distribution de contrainte varie-t-elle sur la hauteur de la section transversale ?
- Quelles sont les implications de ces contraintes sur le choix du matériau et le design de la poutre ?
Correction : contraintes en fibres extrêmes et intermédiaires
1. Calcul du Moment Fléchissant Maximal (M)
Pour une poutre encastrée aux deux extrémités avec une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal se produit au centre de la poutre.
La formule pour calculer le moment fléchissant maximal sous une charge uniformément répartie est:
\begin{equation*}
M = \frac{qL^2}{8}
\end{equation*}
En substituant les valeurs données:
\begin{equation*}
M = \frac{5 \times 6^2}{8} = \frac{180}{8} = 22.5 \text{ kNm}
\end{equation*}
2. Détermination du Moment d’Inertie (I)
Le moment d’inertie pour une section rectangulaire est donné par:
\begin{equation*}
I = \frac{bh^3}{12}
\end{equation*}
En substituant les valeurs:
\begin{equation*}
I = \frac{0.15 \times 0.3^3}{12} \end{equation*} \begin{equation*}
I = \frac{0.15 \times 0.027}{12} \end{equation*} \begin{equation*}
I \approx 3.375 \times 10^{-4} \text{ m}^4
\end{equation*}
3. Calcul de la Contrainte en Fibres Extrêmes (\(\sigma_{ext}\))
La contrainte en fibres extrêmes est calculée à la surface supérieure et inférieure de la section transversale. Pour une section rectangulaire, la distance \(y\) de l’axe neutre à la fibre extrême est \(\frac{h}{2}\).
\begin{equation*}
y = \frac{h}{2} = \frac{0.3}{2} = 0.15 \text{ m}
\end{equation*}
La contrainte en fibres extrêmes est:
\[ \sigma_{ext} = \frac{M \times y}{I} \] \[ \sigma_{ext} = \frac{22.5 \times 1000 \times 0.15}{3.375 \times 10^{-4}} \] \[
\sigma_{ext} \approx 100 \times 10^6 \text{ Pa} \text{ ou } 100 \text{ MPa}
\]
4. Contrainte en Fibres Intermédiaires (\(\sigma_{int}\))
Choisissons un point intermédiaire à 0.1 m de l’axe neutre.
La contrainte en ce point est:
\[ \sigma_{int} = \frac{M \times 0.1}{I} \] \[ = \frac{22.5 \times 1000 \times 0.1}{3.375 \times 10^{-4}} \]
\[ \sigma_{int} \approx 66.67 \times 10^6 \text{ Pa} \text{ ou } 66.67 \text{ MPa}
\]
Réflexion sur la Distribution de Contrainte
- La contrainte est maximale aux fibres extrêmes et diminue vers l’axe neutre.
- Cette distribution de contrainte influence le choix du matériau pour la poutre, car il doit résister aux contraintes maximales sans fléchir ou se rompre.
Contraintes en fibres extrêmes et intermédiaires
Diagramme des contraintes en fibres extrêmes et intermédiaires
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