Contraintes en fibres extrêmes et intermédiaires
📝 Situation du Projet : Réhabilitation Industrielle
Vous avez intégré le bureau d'études structures "Mécabât Concept" en tant qu'ingénieur junior. Votre équipe a remporté un appel d'offres pour la réhabilitation lourde d'une ancienne halle de montage automobile construite dans les années 70, située en zone périurbaine de Lyon. Le client, un géant de la logistique, souhaite transformer cet espace en zone de stockage automatisé pour charges palettisées.
Le projet implique la création d'une nouvelle mezzanine technique capable de supporter des charges d'exploitation très élevées (\(Q = 35 \text{ kN/m}\)). L'ossature existante est conservée, mais des planchers intermédiaires sont ajoutés. Une poutre spécifique, repérée B-12 sur les plans de calepinage, soulève des inquiétudes lors de la revue de projet. Il s'agit d'un profilé laminé standard de type IPE 360 en acier S235.
Votre responsable technique, M. Valéry, vous confie la mission critique de vérifier si ce profilé, pré-dimensionné rapidement lors de l'esquisse, est réellement capable de reprendre les sollicitations de flexion sans entrer en plasticité (déformation irréversible). Vous devez mener une étude analytique rigoureuse pour valider ou invalider ce choix avant le lancement des commandes d'acier.
En tant qu'Ingénieur Structure, vous devez valider le critère de résistance en flexion (ELU) de la poutre B-12. Vous calculerez les contraintes normales maximales aux fibres extrêmes et vérifierez la marge de sécurité par rapport à la limite élastique \(f_{\text{y}}\). Vous pousserez l'analyse jusqu'aux fibres intermédiaires pour comprendre la distribution des contraintes dans la section.
"Attention, ne prenez pas ce calcul à la légère. L'acier S235 a une limite d'élasticité stricte (\(f_{\text{y}} = 235 \text{ MPa}\)). Tout dépassement, même local, entraîne une plastification qui ruinerait la certification de la structure. Soyez extrêmement rigoureux sur les unités (mètres vs millimètres), c'est la cause de 90% des erreurs juniors."
Pour mener à bien votre étude de vérification, vous disposez des documents techniques du projet et des normes en vigueur. L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif et matériel strict dans lequel vous devez opérer.
📚 Référentiel Normatif & Hypothèses
Les calculs doivent être menés conformément aux Eurocodes structuraux, qui régissent la construction en Europe. Nous utiliserons également la théorie classique des poutres pour l'analyse des contraintes élastiques.
NF EN 1993-1-1 (Eurocode 3) Hypothèse de Navier-BernoulliLe profilé est réalisé en Acier S235 JR. C'est l'acier standard pour la construction métallique courante. "S" signifie Structural, et "235" indique sa limite élastique minimale en MPa. Ce choix est dicté par des raisons économiques et de disponibilité immédiate, bien que des aciers plus résistants (S355) existent.
| PROPRIÉTÉS MÉCANIQUES (S235) | |
| Limite Élastique | \( f_{\text{y}} = 235 \text{ MPa} \) |
| Module de Young (Élasticité) | \( E = 210\,000 \text{ MPa} \) |
| Masse Volumique | \( \rho = 7850 \text{ kg/m}^3 \) |
La poutre B-12 est un IPE 360 (I à Profil Européen de hauteur 360mm). Ce profilé est optimisé pour la flexion : sa forme en "I" rejette la matière loin de l'axe neutre (dans les semelles), ce qui maximise son inertie pour un poids minimal. Elle repose simplement sur deux poteaux, ce qui nous autorise à utiliser le modèle de la poutre isostatique sur appuis simples.
| GÉOMÉTRIE DE LA SECTION (IPE 360) | |
| Hauteur totale (\(h\)) | \( 360 \text{ mm} \) |
| Largeur semelle (\(b\)) | \( 170 \text{ mm} \) |
| Épaisseur âme (\(t_{\text{w}}\)) | \( 8.0 \text{ mm} \) |
| Épaisseur semelle (\(t_{\text{f}}\)) | \( 12.7 \text{ mm} \) |
| Inertie de flexion forte (\(I_{\text{gz}}\)) | \( 162.7 \times 10^6 \text{ mm}^4 \) |
⚖️ Sollicitation de Calcul (ELU)
La charge linéique retenue inclut le poids propre de la poutre, le poids du plancher technique et les charges d'exploitation des palettes (pondérées par 1.5 selon l'Eurocode).
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur de section | \( h \) | \( 360 \text{ mm} \) | mm |
| Inertie | \( I_{\text{gz}} \) | \( 162.7 \times 10^6 \text{ mm}^4 \) | mm\(^4\) |
| Charge ELU | \( q \) | \( 35.0 \text{ kN/m} \) | kN/m |
| Portée | \( L \) | \( 6.0 \text{ m} \) | m |
E. Protocole de Résolution
Pour garantir la sécurité de la structure, nous suivrons une méthodologie rigoureuse, partant des efforts globaux pour descendre jusqu'au cœur de la matière.
Calcul du Moment Fléchissant Max
Déterminer la sollicitation maximale (\( M_{\text{Ed}} \)) agissant dans la poutre sous la charge répartie.
Contraintes Fibres Extrêmes
Calculer la contrainte normale maximale (\( \sigma_{\text{max}} \)) en haut et en bas de la section et vérifier la limite élastique.
Contraintes Fibres Intermédiaires
Calculer l'état de contrainte à la jonction Âme/Semelle pour comprendre la distribution interne.
Conclusion & Validation
Synthétiser les résultats dans un diagramme de contraintes et statuer sur la validité de la poutre B-12.
Contraintes en fibres extrêmes et intermédiaires
🎯 Objectif Scientifique
L'objectif primordial de cette première étape est de quantifier précisément la sollicitation interne maximale, appelée Moment Fléchissant (\(M_{\text{Ed}}\)), générée par les charges extérieures sur la poutre. Dans le cadre d'un dimensionnement structurel, ce moment représente l'effort qui tente de "courber" la poutre. C'est la donnée d'entrée fondamentale qui pilotera tout le reste de l'analyse : plus ce moment est élevé, plus les contraintes internes seront violentes. Une erreur ici se répercuterait en cascade sur toute la note de calcul.
📚 Référentiel
Statique des Solides RDM Poutres IsostatiquesNous sommes en présence d'un schéma mécanique classique : une poutre sur deux appuis simples (isostatique) soumise à une charge linéique uniforme \(q\). La physique nous enseigne que pour une telle configuration symétrique, les efforts sont maximaux exactement au centre de la travée (à \(x = L/2\)). Nous n'avons pas besoin de tracer tout le diagramme des moments ; la valeur crête suffit pour le dimensionnement ELU (État Limite Ultime). Nous utiliserons donc directement la formule analytique dédiée.
Le moment fléchissant correspond à l'intégrale de l'effort tranchant sur la longueur de la poutre. Dans le cas d'une charge uniforme, l'effort tranchant est linéaire, donc le moment fléchissant est quadratique (parabolique). Les points d'appuis, étant des rotules (appuis simples), ne transmettent aucun moment (\(M=0\)). Le maximum est donc nécessairement en travée.
Démonstration simplifiée de la formule :
Par symétrie, chaque réaction d'appui vaut la moitié de la charge totale :
En coupant la poutre à mi-portée (\(x = L/2\)), l'équilibre des moments donne :
Soit en développant :
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Charge Répartie (\(q\)) | \( 35.0 \text{ kN/m} \) |
| Portée de la poutre (\(L\)) | \( 6.00 \text{ m} \) |
Pour éviter les erreurs de puissances de 10, calculez toujours le moment en \(\text{[kN.m]}\) (unités "macroscopiques") puis convertissez le résultat final en \(\text{[N.mm]}\) (unités "microscopiques" pour la contrainte) en multipliant par \(10^6\).
Calcul Détaillé
1. Calcul de la valeur brute du moment :
Nous insérons les valeurs du cahier des charges : \(q = 35.0 \text{ kN/m}\) et \(L = 6.0 \text{ m}\).
Le moment fléchissant sollicitant la poutre est de \( 157.5 \text{ kN.m} \).
2. Conversion impérative en N.mm :
Pour les calculs de contraintes (étape suivante), l'unité standard est le MPa (N/mm²). Il est donc vital de convertir le moment en N.mm dès maintenant. Rappel : \(1 \text{ kN} = 1000 \text{ N}\) et \(1 \text{ m} = 1000 \text{ mm}\).
Nous travaillerons avec cette valeur de \(1.575 \times 10^8 \text{ N.mm} \) pour la suite.
La poutre doit être capable de générer un couple résistant interne au moins égal à ce moment externe de \( 157.5 \text{ kN.m} \). Si sa capacité résistante est inférieure, elle pliera de manière excessive ou rompra.
\( 157 \text{ kN.m} \) est une valeur élevée mais cohérente pour une portée de \( 6 \text{ m} \) en milieu industriel lourd. Pour une poutre d'habitation standard (charge 5x plus faible), on trouverait environ \( 30 \text{ kN.m} \). L'ordre de grandeur est donc correct.
L'erreur fatale classique en RDM est d'oublier de multiplier par \(10^6\) lors de la conversion \(\text{kN.m}\) vers \(\text{N.mm}\). Cela conduit à sous-estimer les contraintes d'un facteur un million, ce qui est catastrophique pour la sécurité !
🎯 Objectif Scientifique
Nous entrons maintenant au cœur du dimensionnement. Nous devons calculer la contrainte normale maximale (\(\sigma_{\text{max}}\)) qui règne à l'intérieur du matériau. Les "fibres extrêmes" désignent le métal situé tout en haut et tout en bas de la poutre. Selon la mécanique des milieux continus, c'est à ces endroits, les plus éloignés du centre, que la matière est la plus étirée (traction) ou la plus écrasée (compression). C'est là que le risque de rupture ou de plastification commence.
📚 Référentiel
Loi de Navier-BernoulliNotre profilé IPE 360 est parfaitement symétrique (haut/bas). Par conséquent, son axe neutre (la ligne où la contrainte est nulle) passe exactement au milieu de sa hauteur. La distance maximale \(v\) (aussi notée \(y_{\text{max}}\)) est donc simplement la demi-hauteur. La contrainte de compression en haut sera égale (en valeur absolue) à la contrainte de traction en bas. Nous n'avons donc qu'un seul calcul de valeur absolue à faire.
La théorie de la flexion simple suppose que les sections planes restent planes après déformation. La contrainte varie linéairement en fonction de la distance à l'axe neutre. L'inertie \(I_{\text{gz}}\) représente la "résistance géométrique" à cette déformation.
Explication de la formule de Navier :
La formule exprime que la contrainte est le "moment réparti sur l'inertie" (\(M/I\)), amplifié par le "bras de levier" (\(y\)).
Plus on s'éloigne du centre (\(y\) augmente), plus la matière doit travailler fort pour résister à la courbure imposée par le moment.
La contrainte normale \(\sigma\) en un point situé à une distance \(y\) de l'axe neutre est proportionnelle au moment appliqué \(M\) et inversement proportionnelle à la rigidité géométrique \(I\) :
Pour trouver le maximum, nous remplaçons \(y\) par la distance la plus grande possible \(v\).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Moment Fléchissant (\(M_{\text{Ed}}\)) | \(157.5 \times 10^6 \text{ N.mm} \) |
| Hauteur IPE 360 (\(h\)) | \( 360 \text{ mm} \) |
| Inertie de flexion (\(I_{\text{gz}}\)) | \( 162.7 \times 10^6 \text{ mm}^4 \) |
Ne vous encombrez pas des signes moins (-) pour la compression si on cherche juste à vérifier la résistance. Comparez la valeur absolue à la limite élastique.
Calculs Détaillés
1. Détermination de la fibre la plus éloignée (\(v\)) :
La hauteur totale \(h\) est de 360 mm. La fibre extrême est à la moitié. C'est une simple division géométrique.
Les molécules d'acier les plus sollicitées sont situées à \( 180 \text{ mm} \) du centre de gravité.
2. Calcul de la Contrainte Maximale (\(\sigma_{\text{max}}\)) :
Nous appliquons la formule en utilisant le Moment en N.mm et l'Inertie en mm\(^4\). Cela donnera automatiquement des N/mm², c'est-à-dire des MPa. Nous divisons d'abord le moment par l'inertie pour avoir la "courbure", puis nous multiplions par la distance.
Interprétation : Chaque millimètre carré d'acier situé sur la peau supérieure ou inférieure de la poutre subit une force de 174.24 Newtons.
La contrainte calculée (\( 174.24 \text{ MPa} \)) est nettement inférieure à la limite élastique de l'acier S235 (\( 235 \text{ MPa} \)). Cela signifie que la poutre reste dans son domaine de comportement élastique : elle reprendra sa forme initiale si on enlève la charge. Il n'y a pas de dommages structurels irréversibles.
Une contrainte de \( 174 \text{ MPa} \) est classique pour de l'acier de construction chargé à 75%. Si on avait trouvé \( 12 \text{ MPa} \), la poutre serait surdimensionnée (gaspillage). Si on avait trouvé \( 800 \text{ MPa} \), il y aurait une erreur de calcul massive.
Attention, ce calcul ne valide que la résistance pure. Pour un dimensionnement complet, il faudrait aussi vérifier la flèche (déformation) et le déversement (instabilité latérale).
🎯 Objectif Scientifique
Le calcul aux extrêmes est nécessaire, mais pas toujours suffisant. Un bon ingénieur doit visualiser la distribution des contraintes dans toute la section. Ici, nous allons calculer la contrainte au niveau de la jonction entre l'âme (la partie verticale fine) et la semelle (la partie horizontale épaisse). C'est un point clé car c'est là que la géométrie change brutalement, ce qui peut créer des concentrations de contraintes locales, et c'est aussi une zone critique pour les vérifications combinées (cisaillement + flexion).
📚 Référentiel
Répartition Linéaire des ContraintesPuisque nous restons dans le domaine élastique (prouvé à la question précédente), la loi de Navier-Bernoulli s'applique toujours : "Les sections planes restent planes". Cela a une conséquence mathématique simple : la contrainte varie linéairement avec la hauteur. C'est une simple règle de proportionnalité (Thalès). Si nous connaissons la contrainte à 180mm (au bord) et à 0mm (au centre), nous pouvons la trouver n'importe où par simple ratio de distance.
Dans une section doublement symétrique, le diagramme des contraintes normales a une forme de "papillon". La valeur de \(\sigma\) diminue linéairement en se rapprochant du centre.
Logique de calcul : Plutôt que de tout recalculer avec le moment et l'inertie, on utilise le théorème de Thalès :
Par le théorème de Thalès appliqué au triangle des contraintes :
Cela évite de refaire tout le calcul avec le moment et l'inertie.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Distance max (\(v\)) | \( 180 \text{ mm} \) |
| Épaisseur semelle (\(t_{\text{f}}\)) | \( 12.7 \text{ mm} \) |
| Contrainte max (\(\sigma_{\text{max}}\)) | \( 174.24 \text{ MPa} \) |
Utilisez toujours la méthode des triangles semblables (Thalès) quand vous avez déjà calculé le maximum. C'est plus rapide et moins sujet aux erreurs de saisie calculatrice.
Calculs Détaillés
1. Géométrie : Position de la fibre intermédiaire (\(y_{\text{int}}\)) :
La fibre "jonction" se situe juste sous la semelle. Géométriquement, sa distance au centre est la demi-hauteur totale MOINS l'épaisseur de la semelle (\(t_{\text{f}} = 12.7 \text{ mm}\)). C'est une simple soustraction.
Nous cherchons donc la contrainte à \( 167.3 \text{ mm} \) de l'axe neutre.
2. Calcul de la Contrainte Intermédiaire (\(\sigma_{\text{int}}\)) :
Nous utilisons la linéarité. Nous multiplions la contrainte max par le ratio des distances.
Interprétation : À la sortie de la semelle, la contrainte est encore de \( 161.95 \text{ MPa} \). La chute est faible par rapport aux \( 174 \text{ MPa} \) du bord.
Ce résultat montre que l'âme du profilé travaille, elle aussi, très fort en flexion sur sa partie haute. Ce n'est pas une zone "au repos". Cela justifie pourquoi les âmes des IPE ne peuvent pas être infiniment fines : elles doivent résister à cette contrainte normale combinée au cisaillement.
La valeur est très proche de la contrainte max (environ 93%). C'est logique car la semelle est relativement fine (\( 12.7 \text{ mm} \)) par rapport à la hauteur totale de la poutre (\( 360 \text{ mm} \)).
C'est à cette jonction qu'il faut aussi vérifier l'interaction avec le cisaillement (Critère de Von Mises), car l'âme reprend l'effort tranchant.
🎯 Objectif Scientifique
Cette étape est décisionnelle. Après avoir calculé les sollicitations (Moment) et les réponses du matériau (Contraintes), l'ingénieur doit confronter ces résultats aux limites physiques de l'acier imposées par la norme. L'objectif est de calculer le "Taux de Travail" (ou ratio de capacité) pour statuer sur la viabilité de la poutre B-12.
📚 Référentiel
Eurocode 3 (EN 1993-1-1)En ingénierie structurelle, la sécurité est binaire : la structure tient ou elle ne tient pas. Pour quantifier la marge de sécurité, on divise la contrainte réelle par la contrainte admissible. Si le résultat est inférieur à \( 1.0 \) (ou 100%), le critère est vérifié. Nous allons formaliser cette comparaison pour l'acier S235.
Selon l'Eurocode 3, pour une section de classe 1 (ce qui est le cas d'un IPE standard en flexion), la vérification de résistance à l'ELU (État Limite Ultime) s'écrit :
Ce qui est strictement équivalent, en domaine élastique, à vérifier que la contrainte maximale ne dépasse pas la limite d'élasticité :
Le ratio de dimensionnement se calcule ainsi :
Le résultat s'exprime en pourcentage.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Contrainte max calculée (\( \sigma_{\text{max}} \)) | \( 174.24 \text{ MPa} \) |
| Limite élastique S235 (\( f_{\text{y}} \)) | \( 235.00 \text{ MPa} \) |
Un taux de travail optimal se situe généralement entre 80% et 95%. En dessous de 50%, la structure est "surdimensionnée" (trop chère). Au-dessus de 100%, elle est dangereuse.
Calcul de Vérification
1. Calcul du Ratio :
Division simple des deux contraintes.
Interprétation : La poutre est sollicitée à 74% de sa capacité maximale avant déformation irréversible.
Le profilé IPE 360 est validé pour la résistance mécanique pure. Il reste une marge de sécurité d'environ 26% vis-à-vis de la limite élastique, ce qui est confortable pour absorber d'éventuelles surcharges accidentelles mineures.
Attention : Un ingénieur expérimenté sait que pour une portée de 6m, le critère dimensionnant est souvent la flèche (déformation) et non la résistance. Même si la poutre ne casse pas (ELU vérifié ici), elle pourrait fléchir de 3 ou 4 cm, ce qui fissurerait le carrelage ou gênerait l'exploitation. L'étape suivante (non traitée ici) serait impérativement la vérification de la flèche (\( f \le L/250 \)).
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
STRUCT
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 07/02/2026 | Émission originale pour validation | Ing. Structures |
Vérification E.L.U. de la poutre en flexion simple.
Ingénieur Junior
Directeur Technique
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