Conception d’une poutre en béton armé

Comprendre la Conception d’une poutre en béton armé

Vous êtes ingénieur civil chargé de concevoir une poutre en béton armé destinée à supporter le plancher d’un nouveau centre commercial, soumis à des charges commerciales lourdes. La conception se fera en tenant compte des combinaisons de charge, de la vérification des moments fléchissants, du dimensionnement de l’armature en tension et en compression, ainsi que du contrôle du cisaillement par dimensionnement des étriers.

Données du projet

1. Géométrie de la poutre (hypothèses préliminaires) :

Longueur de la poutre, \(L\) : 8 mètres
Largeur de la poutre, \(b\) : 300 mm
Hauteur totale de la poutre, \(h\) : 500 mm
Couverture en béton (distance minimale entre le béton extérieur et l’armature) : 25 mm
Diamètre des barres principales utilisées : 20 mm

2. Charges appliquées :

Charge permanente, \(G\) : 25 kN/m
Charge d’exploitation (variable), \(Q\) : 35 kN/m
Combinaison de charges retenue : \(1.2 \, G + 1.6 \, Q\)

3. Matériaux :

Béton de classe C25/30 (résistance caractéristique, \(f_{ck}\) : 25 MPa)
Acier de classe B500B (limite d’élasticité, \(f_y\) : 500 MPa)
Acier pour étriers de diamètre 8 mm pour le contrôle du cisaillement

Questions de l’exercice:

1. Calcul du moment fléchissant maximal :
Déterminer le moment fléchissant maximal en appliquant la combinaison de charges \(1.2 \, G + 1.6 \, Q\) pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie.

2. Dimensionnement de l’armature en tension :
Définir la section d’armature en tension nécessaire dans la zone de flexion positive en utilisant la géométrie donnée et en considérant la résistance de l’acier de classe B500B.
Hypothèse complémentaire : La profondeur utile \(d\) sera calculée à partir de la hauteur totale, de la couverture et du diamètre de la barre (approximativement \(d = h – \text{couverture} – \frac{\phi}{2}\)).

3. Dimensionnement de l’armature en compression :
Pour la région de moment négatif (typiquement au niveau des appuis dans une poutre continue), déterminer la section d’armature en compression en considérant une répartition simplifiée des efforts internes (par exemple, environ 30% de l’armature en tension).

4. Vérification du cisaillement et dimensionnement des étriers :

Calculer la force tranchante à l’appui le plus chargé.
Vérifier la résistance au cisaillement offerte par le béton seul à l’aide d’une formule empirique (en utilisant un facteur \(k\), le taux d’armature, etc.).
Dimensionner l’armature transversale (étriers) en acier de 8 mm, en déterminant leur espacement nécessaire pour compenser le déficit de résistance au cisaillement.

Correction : Conception d’une poutre en béton armé

1. Calcul du moment fléchissant maximal

Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal se situe au centre de la travée. La combinaison de charges retenue est \( 1.2 \, G + 1.6 \, Q \) afin de prendre en compte les charges permanentes et variables.

Formule

Charge combinée linéique :

\[ q = 1.2 \, G + 1.6 \, Q \]

Moment fléchissant maximal :

\[ M_{max} = \frac{q \, L^2}{8} \]

Données

Longueur de la poutre : \( L = 8 \, \text{m} \)
Charge permanente : \( G = 25 \, \text{kN/m} \)
Charge d’exploitation : \( Q = 35 \, \text{kN/m} \)

Calcul

1. Calcul de la charge combinée :

\[ q = 1.2 \times 25 + 1.6 \times 35 \] \[ q = 30 + 56 \] \[ q = 86 \, \text{kN/m} \]

2. Calcul du moment fléchissant maximal :

\[ M_{max} = \frac{86 \times 8^2}{8} \] \[ M_{max} = \frac{86 \times 64}{8} \] \[ M_{max} = 86 \times 8 \] \[ M_{max} = 688 \, \text{kN·m} \]

3. Conversion en N·mm :

\[ 688 \, \text{kN·m} = 688 \times 10^6 \, \text{N·mm} \]

2. Dimensionnement de l’armature en tension

L’armature en tension est dimensionnée pour résister aux efforts de flexion positifs. Les hypothèses géométriques permettent de déterminer la profondeur utile et le bras effectif pour le calcul de l’aire d’armature nécessaire.

Hypothèses géométriques et formules

Section de la poutre (hypothèses) :

Largeur \( b = 300 \, \text{mm} \)
Hauteur totale \( h = 500 \, \text{mm} \)
Couverture : 25 mm
Diamètre des barres : 20 mm

Profondeur utile \( d \) :

\[ d = h – \text{couverture} – \frac{\phi}{2} \] \[ d = 500 – 25 – 10 \] \[ d = 465 \, \text{mm} \]

Bras effectif \( z \) (hypothèse pratique) :

\[ z = 0.9 \, d \] \[ z = 0.9 \times 465 \] \[ z \approx 418.5 \, \text{mm} \]

Formule pour l’aire d’armature en tension \( A_{s,t} \) :

\[ A_{s,t} = \frac{M_{max}}{f_y \, z} \]

avec \( f_y = 500 \, \text{N/mm}^2 \) (pour l’acier de classe B500B).

Données

\( M_{max} = 688 \times 10^6 \, \text{N·mm} \)
\( f_y = 500 \, \text{N/mm}^2 \)
\( z \approx 418.5 \, \text{mm} \)

Calcul

\[ A_{s,t} = \frac{688 \times 10^6}{500 \times 418.5} \] \[ A_{s,t} = \frac{688 \times 10^6}{209250} \] \[ A_{s,t} \approx 3290 \, \text{mm}^2 \]

Choix des barres

L’aire d’une barre de 20 mm est :

\[ A_{bar} = \frac{\pi \times 20^2}{4} \approx 314 \, \text{mm}^2 \]

Nombre de barres en tension :

\[ N = \lceil \frac{3290}{314} \rceil = 11 \, \text{barres} \]

Aire totale proposée :

\[ 11 \times 314 \approx 3454 \, \text{mm}^2 \]

3. Dimensionnement de l’armature en compression

Dans les zones de moment négatif (souvent aux appuis dans une poutre continue), l’armature en compression est nécessaire pour résister aux forces opposées. Une approche simplifiée consiste à prendre environ 30 % de l’aire d’armature en tension pour cette région.

Données et hypothèse

Aire d’armature en tension calculée : \( A_{s,t} \approx 3290 \, \text{mm}^2 \)
Hypothèse : \( A_{s,c} \approx 0.30 \times A_{s,t} \)

Calcul

\[ A_{s,c} \approx 0.30 \times 3290 \] \[ A_{s,c} \approx 987 \, \text{mm}^2 \]

Choix des barres

Avec des barres de 20 mm (314 mm\(^2\) par barre) :

3 barres donnent \( 3 \times 314 = 942 \, \text{mm}^2 \) (un peu insuffisant)
4 barres donnent \( 4 \times 314 = 1256 \, \text{mm}^2 \)
Pour assurer la sécurité et respecter les exigences de ductilité, nous retiendrons 4 barres en compression.

4. Vérification du cisaillement et dimensionnement des étriers

Le cisaillement est vérifié en calculant la force tranchante à l’appui le plus chargé. La résistance du béton seul au cisaillement est calculée par une formule empirique. Si la résistance du béton n’est pas suffisante, il faut fournir une armature transversale (étriers) pour compenser.

4.1. Calcul de la force tranchante à l’appui

Pour une charge uniformément répartie sur une poutre simplement appuyée, la force tranchante à l’appui est :

\[ V = \frac{q \, L}{2} = \frac{86 \times 8}{2} = 344 \, \text{kN} \]

4.2. Calcul de la résistance au cisaillement du béton

Utilisons la formule :

\[ V_c = 0.18 \, k \, (100 \, \rho \, f_{ck})^{1/3} \, b \, d \]

avec :

\( k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}} \) (plafonné à 2.0)
\( \rho = \frac{A_{s,t}}{b \, d} \)
\( f_{ck} = 25 \, \text{MPa} \) (pour la classe C25/30)

Données :

\( d = 465 \, \text{mm} \)
\( b = 300 \, \text{mm} \)
\( A_{s,t} \approx 3290 \, \text{mm}^2 \)

Calcul de \( \rho \) :

\[ \rho = \frac{3290}{300 \times 465} \] \[ \rho \approx \frac{3290}{139500} \] \[ \rho \approx 0.0236 \]

Calcul de \( k \) :

\[ k = 1 + \sqrt{\frac{200}{465}} \] \[ k \approx 1 + \sqrt{0.430} \] \[ k \approx 1 + 0.656 \] \[ k = 1.656 \]

Calcul de \( (100 \, \rho \, f_{ck}) \) :

\[ 100 \times 0.0236 \times 25 = 59 \quad \Rightarrow \quad (59)^{1/3} \approx 3.89 \]

Ainsi :

\[ V_c = 0.18 \times 1.656 \times 3.89 \times (300 \times 465) \] \[ V_c \approx 1.159 \times 139500 \] \[ V_c \approx 161570 \, \text{N} \quad \text{soit} \quad 161.57 \, \text{kN} \]

4.3. Dimensionnement des étriers

La résistance transversale à fournir par les étriers doit compenser la différence :

\[ V_s = V – V_c \] \[ V_s = 344 – 161.57 \] \[ V_s \approx 182.43 \, \text{kN} \]

Choix des étriers

Utilisation d’étriers en acier de 8 mm de diamètre.
Aire d’une barre de 8 mm :

\[ A_{bar8} = \frac{\pi \times 8^2}{4} \approx 50.27 \, \text{mm}^2 \]

Chaque étrier possède deux branches (une de chaque côté de la poutre) :

\[ A_{st} = 2 \times 50.27 \approx 100.53 \, \text{mm}^2 \]

On peut déterminer l’espacement \( s \) des étriers à l’aide de la relation simplifiée :

\[ s = \frac{A_{st} \, f_y \, d}{V_s} \]

avec \( f_y = 500 \, \text{N/mm}^2 \).

Calcul du numérateur :

\[ A_{st} \, f_y \, d = 100.53 \times 500 \times 465 \] \[ A_{st} \, f_y \, d \approx 100.53 \times 232500 \] \[ A_{st} \, f_y \, d \approx 23\,385\,225 \, \text{N·mm} \]

Division par \( V_s \) (en N : \( 182.43 \, \text{kN} = 182430 \, \text{N} \)) :

\[ s \approx \frac{23\,385\,225}{182430} \approx 128 \, \text{mm} \]

Pour des raisons pratiques, on arrondit et on retiendra un espacement régulier de 125 mm entre les étriers.

Conception d’une poutre en béton armé

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