Compression rapide et adiabatique de l’argon

Compression rapide et adiabatique de l’argon

Comprendre la Compression rapide et adiabatique de l’argon

Dans une usine chimique, un opérateur doit comprimer de l’argon (un gaz noble) pour son utilisation dans un processus de réaction.

La compression doit se faire dans un cylindre équipé d’un piston. Initialement, le gaz à température ambiante (300 K) occupe un volume de 0.5 m³ sous une pression de 1 atm.

Le gaz doit être compressé à une pression de 5 atm. La compression est effectuée de manière irréversible et rapide, ce qui empêche l’échange thermique avec l’environnement, caractérisant un processus adiabatique.

Le coefficient de performance du compresseur n’est pas idéal et présente une efficacité de 60%.

Pour comprendre l’Analyse de la Compression Réversible d’Azote, cliquez sur le lien.

Données :

  • Température initiale du gaz, \( T_1 = 300 \) K
  • Volume initial, \( V_1 = 0.5 \) m³
  • Pression initiale, \( P_1 = 1 \) atm (101325 Pa)
  • Pression finale, \( P_2 = 5 \) atm (506625 Pa)
  • Capacité calorifique à pression constante du gaz, \( C_p = 20.8 \) J/(mol·K)
  • Rapport des capacités calorifiques, \( \gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1.67 \)
  • Masse molaire de l’argon, \( M = 39.948 \) g/mol
  • Efficacité du compresseur, \( \eta = 0.6 \)

Question:

Calculer le volume final du gaz après compression et la température finale, en prenant en compte l’efficacité du compresseur.

Correction : Compression rapide et adiabatique de l’argon

Étape 1: Calcul de la masse du gaz

Formule utilisée:

\[ P_1 V_1 = nRT_1 \]

  • Constante des gaz parfaits (R): \( R = 8.314 \) J/(mol·K)

Calcul de la quantité de matière (n) de l’argon:

\[ n = \frac{P_1 V_1}{R T_1} \] \[ n = \frac{101325 \times 0.5}{8.314 \times 300} \] \[ n = \frac{50662.5}{2494.2} \] \[ n \approx 20.30 \text{ mol} \]

  • Masse molaire de l’argon (M): \( M = 39.948 \) g/mol

Calcul de la masse (m) de l’argon:

\[ m = nM \] \[ m = 20.30 \times 39.948 \approx 811 \text{ g} \] \[ m = 0.811 \text{ kg} \]

Étape 2: Calcul du volume final théorique \( V_2′ \) sans tenir compte de l’efficacité

Formule utilisée:

\[ P_1 V_1^\gamma = P_2 (V_2′)^\gamma \]

Calcul du volume final théorique:

\[ V_2′ = V_1 \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{1/\gamma} \] \[ V_2′ = 0.5 \left(\frac{1}{5}\right)^{1/1.67} \] \[ V_2′ \approx 0.5 \times 0.387 \] \[ V_2′ \approx 0.194 \text{ m}^3 \]

Étape 3: Calcul du volume final réel \( V_2 \) en tenant compte de l’efficacité du compresseur

Formule ajustée pour l’efficacité:

\[ V_2 = V_2′ \left(\frac{1}{\eta}\right)^{1/\gamma} \]

Calcul du volume final réel:

\[ V_2 = 0.194 \left(\frac{1}{0.6}\right)^{1/1.67} \] \[ V_2 \approx 0.194 \times 1.22 \] \[ V_2 \approx 0.237 \text{ m}^3 \]

Étape 4: Calcul de la température finale \( T_2 \)

Formule utilisée:

\[ T_2 = T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} \]

Calcul de la température finale:

\[ T_2 = 300 \left(\frac{0.5}{0.237}\right)^{1.67-1} \] \[ T_2 = 300 \left(2.11\right)^{0.67} \] \[ T_2 \approx 300 \times 1.79 \] \[ T_2 \approx 537 \text{ K} \]

Résumé des Résultats

  • Masse d’argon dans le cylindre: \( 0.811 \) kg
  • Volume final réel après compression: \( 0.237 \text{ m}^3 \)
  • Température finale après compression: \( 537 \) K

Compression rapide et adiabatique de l’argon

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