Compression rapide et adiabatique de l’argon
Contexte : La ThermodynamiqueBranche de la physique qui étudie les relations entre la chaleur, le travail et l'énergie..
Cet exercice porte sur l'étude d'une transformation thermodynamique fondamentale : la compression adiabatique. Nous allons analyser le comportement d'un gaz parfait, l'argon, lorsqu'il est comprimé rapidement dans un cylindre par un piston. Une transformation est dite "adiabatique" lorsqu'elle est effectuée sans échange de chaleur avec le milieu extérieur. C'est une bonne approximation pour les processus très rapides, comme la compression dans un moteur à combustion interne. Nous utiliserons les lois des gaz parfaits et le premier principe de la thermodynamique pour déterminer l'état final du gaz et l'énergie mise en jeu.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un système thermodynamique simple, à appliquer les lois fondamentales (gaz parfaits, premier principe, loi de Laplace) et à calculer les grandeurs clés telles que la pression, la température, le travail et l'énergie interne.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la loi des gaz parfaits pour déterminer la quantité de matière.
- Utiliser la loi de Laplace pour une transformation adiabatique réversible.
- Calculer la pression et la température finales du système.
- Déterminer le travail échangé et la variation d'énergie interne du gaz.
Données de l'étude
Schéma du Système Cylindre-Piston
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \(P_1\) | Pression initiale | 1 | bar |
| \(V_1\) | Volume initial | 10 | L |
| \(T_1\) | Température initiale | 27 | °C |
| \(V_2\) | Volume final | 2 | L |
| \(\gamma\) | Indice adiabatique de l'argon | 5/3 | - |
| \(R\) | Constante des gaz parfaits | 8.314 | \(\text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\) |
Questions à traiter
- Calculer le nombre de moles d'argon \(n\) dans le cylindre.
- Déterminer la pression finale \(P_2\) du gaz en bars.
- Déterminer la température finale \(T_2\) du gaz en Kelvins.
- Calculer le travail \(W\) reçu par le gaz lors de cette compression.
- En déduire la variation d'énergie interne \(\Delta U\) du gaz.
Les bases de la Thermodynamique
Pour résoudre cet exercice, nous aurons besoin de quelques lois et principes fondamentaux de la thermodynamique des gaz parfaits.
1. Loi des Gaz Parfaits
Elle relie la pression \(P\), le volume \(V\), la quantité de matière \(n\) et la température absolue \(T\) d'un gaz.
\[ P \cdot V = n \cdot R \cdot T \]
où \(R\) est la constante des gaz parfaits. Attention : la température \(T\) doit impérativement être en Kelvins (K).
2. Transformation Adiabatique et Loi de Laplace
Une transformation adiabatique est un processus sans échange de chaleur (\(Q=0\)). Pour un gaz parfait subissant une transformation adiabatique réversible, les variables d'état sont liées par les lois de Laplace :
\[ P \cdot V^\gamma = \text{constante} \quad \text{et} \quad T \cdot V^{\gamma-1} = \text{constante} \]
où \(\gamma = C_p/C_v\) est l'indice adiabatique du gaz. Pour un gaz parfait monoatomique comme l'argon, \(\gamma = 5/3\).
3. Premier Principe de la Thermodynamique
Il énonce que la variation de l'énergie interne \(\Delta U\) d'un système est égale à la somme du travail \(W\) et de la chaleur \(Q\) échangés avec l'extérieur.
\[ \Delta U = W + Q \]
Pour une transformation adiabatique, \(Q=0\), donc \(\Delta U = W\).
Correction : Compression rapide et adiabatique de l’argon
Question 1 : Calculer le nombre de moles d'argon \(n\).
Principe
Le concept physique utilisé ici est la relation d'état des gaz parfaits, qui lie les grandeurs macroscopiques (pression, volume, température) à la quantité de matière. On l'applique à l'état initial du système car toutes les informations nécessaires y sont connues.
Mini-Cours
La loi des gaz parfaits, \(PV=nRT\), est un modèle qui décrit le comportement des gaz à faible pression. Elle suppose que les molécules du gaz ont un volume négligeable et n'interagissent pas entre elles, sauf lors de collisions élastiques. L'argon, étant un gaz noble, se comporte de manière très proche d'un gaz parfait dans les conditions de l'exercice.
Remarque Pédagogique
La première étape dans de nombreux problèmes de thermodynamique est de "figer" le système dans un état connu pour en déterminer une propriété intrinsèque, comme la quantité de matière \(n\). Une fois \(n\) connue, cette valeur reste constante tout au long de la transformation, car le système est fermé.
Normes
Il n'y a pas de norme d'ingénierie spécifique ici, mais l'usage du Système International d'unités (SI) est la norme universelle en sciences pour garantir la cohérence des calculs. Utiliser des Pascals, des mètres cubes, des Kelvins et des Joules est fondamental.
Formule(s)
L'outil mathématique est la loi des gaz parfaits, réarrangée pour isoler \(n\).
Donnée(s)
Nous rassemblons les données de l'état initial nécessaires au calcul.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pression initiale | \(P_1\) | 1 | bar |
| Volume initial | \(V_1\) | 10 | L |
| Température initiale | \(T_1\) | 27 | °C |
| Constante des gaz parfaits | \(R\) | 8.314 | \(\text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\) |
Astuces
Pour vérifier l'ordre de grandeur, souvenez-vous qu'une mole de gaz parfait à 0°C et 1 bar occupe environ 22.4 L. Ici, à 27°C, le volume molaire est un peu plus grand (environ 24.8 L). 10 L devraient donc correspondre à un peu moins d'une demi-mole.
Schéma (Avant les calculs)
État Initial du Système
Calcul(s)
Conversion de la Pression P1
Conversion du Volume V1
Conversion de la Température T1
Application de la formule pour n
Schéma (Après les calculs)
Caractérisation du Système
Réflexions
La valeur de 0.401 mol est conforme à notre estimation rapide. C'est une quantité de matière raisonnable pour un volume de 10L à pression et température ambiantes.
Points de vigilance
Les trois erreurs classiques à éviter sont : 1. Oublier de convertir les °C en K. 2. Oublier de convertir les bars en Pa. 3. Oublier de convertir les L en m³. Une seule de ces erreurs fausse tout le résultat.
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez : 1. La formule des gaz parfaits \(PV=nRT\). 2. La nécessité absolue de travailler en unités SI (K, Pa, m³). 3. Que \(n\) est une constante pour un système fermé.
Le saviez-vous ?
La constante R (\(8.314 \text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\)) est dite "universelle" car sa valeur est la même pour tous les gaz parfaits, indépendamment de leur nature chimique. Elle est le produit de la constante de Boltzmann (\(k_B\)) et du nombre d'Avogadro (\(N_A\)).
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez le nombre de moles si la pression initiale était de 2 bars et la température de 100°C.
Question 2 : Déterminer la pression finale \(P_2\).
Principe
Le concept physique clé est que pour une transformation adiabatique réversible, le produit \( P \cdot V^\gamma \) reste constant. En égalant cette quantité entre l'état initial (1) et l'état final (2), nous pouvons isoler et calculer la pression finale \(P_2\).
Mini-Cours
La loi de Laplace découle du premier principe de la thermodynamique (\(\Delta U = W\)) appliqué à un gaz parfait (\(dU = nC_v dT\)) pour une transformation réversible (\(dW = -P dV\)). La combinaison de ces équations mène à la relation \( P V^\gamma = \text{cst} \), qui est extrêmement puissante pour décrire les compressions et détentes rapides.
Remarque Pédagogique
Visualisez la compression : vous réduisez le volume, donc vous concentrez les molécules. Leur fréquence de collision avec les parois augmente, ce qui se traduit par une augmentation de la pression. La loi de Laplace permet de quantifier précisément cette augmentation.
Normes
Pas de norme spécifique, mais le modèle adiabatique réversible est un standard de la thermodynamique théorique pour l'étude des cycles de moteurs (Otto, Diesel, etc.).
Formule(s)
On part de la constance de \(PV^\gamma\) pour obtenir la formule de calcul.
Hypothèses
Les hypothèses cruciales sont : 1. La transformation est adiabatique (pas d'échange de chaleur). 2. Elle est réversible (suffisamment lente pour que le système soit toujours à l'équilibre, mais assez rapide pour être adiabatique - une idéalisation). 3. L'argon est un gaz parfait.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pression initiale | \(P_1\) | 1 | bar |
| Volume initial | \(V_1\) | 10 | L |
| Volume final | \(V_2\) | 2 | L |
| Indice adiabatique | \(\gamma\) | 5/3 | - |
Astuces
Puisque la formule utilise un rapport de volumes (\(V_1/V_2\)), les unités de volume s'annulent. Vous pouvez donc laisser les volumes en litres sans les convertir, à condition qu'ils soient dans la même unité. La pression finale \(P_2\) sera alors exprimée dans la même unité que \(P_1\).
Schéma (Avant les calculs)
État Initial du Système
Calcul(s)
Calcul de la pression finale \(P_2\)
Schéma (Après les calculs)
On peut représenter la transformation sur un diagramme de Clapeyron (P, V). La courbe est une adiabatique, plus pentue qu'une isotherme.
Diagramme P-V de la Compression
Réflexions
La pression a été multipliée par plus de 14, alors que le volume n'a été divisé que par 5. Cela montre la nature non-linéaire et très efficace de la compression adiabatique pour augmenter la pression.
Points de vigilance
Attention à bien utiliser la bonne valeur de \(\gamma\). Pour un gaz diatomique (comme l'air), \(\gamma \approx 1.4\), ce qui donnerait un résultat différent. L'énoncé précise bien que l'argon est monoatomique, d'où \(\gamma = 5/3\).
Points à retenir
Retenez la forme de la loi de Laplace \(P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma\) et le fait qu'une adiabatique est plus "raide" qu'une isotherme sur un diagramme P-V.
Le saviez-vous ?
C'est ce principe de forte augmentation de pression et de température lors d'une compression adiabatique qui permet l'auto-inflammation du carburant dans un moteur diesel, qui ne nécessite donc pas de bougie d'allumage.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Que deviendrait la pression finale \(P_2\) si le gaz était de l'air (\(\gamma=1.4\)) ?
Question 3 : Déterminer la température finale \(T_2\).
Principe
Tout comme pour la pression, nous utilisons la loi de Laplace, mais cette fois dans sa forme reliant la température et le volume (\(T V^{\gamma-1} = \text{cst}\)). Cela nous permet de calculer directement la température finale à partir des conditions initiales et du changement de volume.
Mini-Cours
La relation \(T V^{\gamma-1} = \text{cst}\) se déduit de \(P V^\gamma = \text{cst}\) en utilisant la loi des gaz parfaits (\(P = nRT/V\)). En substituant \(P\), on obtient \((nRT/V) V^\gamma = \text{cst}\), et comme \(n\) et \(R\) sont des constantes, on arrive bien à \(T V^{\gamma-1} = \text{cst}\). Cela montre que les lois de Laplace sont toutes interconnectées.
Remarque Pédagogique
Le travail fourni au gaz par le piston agite les molécules d'argon. Comme aucune chaleur ne peut s'échapper (adiabatique), cette énergie ajoutée se transforme intégralement en énergie cinétique pour les molécules, ce qui se mesure macroscopiquement par une forte augmentation de la température.
Normes
Non applicable.
Formule(s)
Hypothèses
Les mêmes que pour la question 2 : transformation adiabatique, réversible, sur un gaz parfait.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Température initiale | \(T_1\) | 300.15 | K |
| Volume initial | \(V_1\) | 10 | L |
| Volume final | \(V_2\) | 2 | L |
| Indice adiabatique | \(\gamma\) | 5/3 | - |
Astuces
Calculez d'abord l'exposant \(\gamma-1 = 5/3 - 1 = 2/3\). Cela simplifie la saisie sur la calculatrice et réduit les risques d'erreur.
Schéma (Avant les calculs)
État Initial du Système
Calcul(s)
Calcul de la température finale \(T_2\)
Schéma (Après les calculs)
Un diagramme T-S (Température-Entropie) est souvent utilisé pour visualiser les transformations. Une adiabatique réversible y est représentée par une ligne verticale (entropie constante).
Diagramme T-S de la Compression Adiabatique
Réflexions
La température a presque triplé (passant de 27°C à plus de 600°C). C'est une augmentation très significative qui met en évidence l'effet thermique d'une compression rapide. C'est pourquoi une pompe à vélo chauffe lorsqu'on l'utilise intensément.
Points de vigilance
L'erreur fatale est d'utiliser la température \(T_1\) en degrés Celsius dans la formule. Le calcul doit impérativement être fait avec des Kelvins. Le résultat final peut ensuite être reconverti en Celsius si besoin.
Points à retenir
Retenez la relation \(T V^{\gamma-1} = \text{cst}\) et le fait qu'une compression adiabatique chauffe le gaz, tandis qu'une détente adiabatique le refroidit.
Le saviez-vous ?
La détente adiabatique est utilisée dans les réfrigérateurs. Un fluide frigorigène est comprimé (il chauffe), refroidi à l'extérieur du frigo, puis détendu brutalement. Cette détente adiabatique le refroidit à une température très basse, ce qui permet d'absorber la chaleur à l'intérieur du réfrigérateur.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le volume final n'était que de 4L (compression moins forte), quelle serait la température finale \(T_2\) ?
Question 4 : Calculer le travail \(W\) reçu par le gaz.
Principe
Le travail \(W\) est l'énergie mécanique transférée au gaz par le piston. Pour une transformation adiabatique réversible, il existe une formule directe qui relie le travail aux variables d'état initiales et finales, sans avoir à intégrer \(P dV\).
Mini-Cours
Fondamentalement, le travail est l'intégrale de \(-P_{\text{ext}} dV\). Pour un processus réversible, \(P_{\text{ext}} = P_{\text{int}} = P\). Le travail reçu par le gaz est \(W = -\int_{V_1}^{V_2} P dV\). En remplaçant P par \(\frac{\text{cst}}{V^\gamma}\) (avec cst = \(P_1 V_1^\gamma\)) et en intégrant, on aboutit à la formule \(W = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{\gamma - 1}\).
Remarque Pédagogique
Puisque le volume diminue (\(V_2 < V_1\)), \(dV\) est négatif, et le travail \(W = -\int P dV\) sera positif. Cela correspond bien à notre convention : le système (le gaz) reçoit de l'énergie du milieu extérieur (le piston), donc \(W > 0\).
Normes
Non applicable.
Formule(s)
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pression initiale | \(P_1\) | \(10^5\) | Pa |
| Volume initial | \(V_1\) | \(10 \times 10^{-3}\) | m³ |
| Pression finale | \(P_2\) | \(14.54 \times 10^5\) | Pa |
| Volume final | \(V_2\) | \(2 \times 10^{-3}\) | m³ |
| Indice adiabatique | \(\gamma\) | 5/3 | - |
Astuces
Vérifiez bien les signes. \(P_2V_2\) est ici plus grand que \(P_1V_1\) (car \(14.54 \times 2 > 1 \times 10\)). Le numérateur est positif, le dénominateur \(\gamma-1\) aussi. Le travail sera bien positif, ce qui est cohérent.
Schéma (Avant les calculs)
Aire sous la courbe P-V représentant le travail
Calcul(s)
Calcul de \(P_2V_2\)
Calcul de \(P_1V_1\)
Calcul du travail \(W\)
Schéma (Après les calculs)
Aire sous la courbe P-V représentant le travail
Réflexions
Il faut fournir 2862 Joules d'énergie pour réaliser cette compression. Cette valeur représente une énergie mécanique concrète, qui a été entièrement transférée au gaz.
Points de vigilance
Encore une fois, la cohérence des unités est capitale. Si vous mélangez des bars et des litres, le résultat sera en bar·L, qu'il faudra ensuite convertir en Joules (1 bar·L = 100 J). Il est plus sûr de tout convertir en SI dès le départ.
Points à retenir
Maîtrisez la formule \(W = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{\gamma - 1}\) et sa signification : le travail ne dépend que des états initial et final pour une adiabatique réversible.
Le saviez-vous ?
Le travail est une "énergie de transition" : un système ne "possède" pas de travail, il peut seulement en échanger avec l'extérieur. À l'inverse, l'énergie interne est une "fonction d'état" : le système en possède une certaine quantité à un instant donné.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez le travail si le volume n'est comprimé que jusqu'à 5L au lieu de 2L.
Question 5 : En déduire la variation d'énergie interne \(\Delta U\).
Principe
Le concept fondamental est le premier principe de la thermodynamique, qui est une loi de conservation de l'énergie. Il stipule que l'énergie d'un système ne peut varier que par des échanges de travail ou de chaleur avec l'extérieur.
Mini-Cours
L'énergie interne \(U\) d'un gaz parfait ne dépend que de sa température. Sa variation \(\Delta U\) est toujours égale à \(nC_v\Delta T\), quelle que soit la transformation. Pour un processus adiabatique, le premier principe (\(\Delta U = W+Q\)) se simplifie car \(Q=0\), ce qui mène directement à \(\Delta U = W\). Le travail fourni se transforme intégralement en énergie interne.
Remarque Pédagogique
Cette question est une conclusion logique de l'exercice. Le mot "En déduire" est un indice fort qu'il ne faut pas se lancer dans de nouveaux calculs compliqués, mais plutôt utiliser un principe fondamental et les résultats précédents.
Normes
Non applicable.
Formule(s)
Premier Principe de la Thermodynamique
Hypothèses
L'hypothèse clé est que la transformation est adiabatique, ce qui nous permet de poser \(Q=0\).
Donnée(s)
La seule donnée nécessaire est le résultat de la question précédente.
| Travail reçu par le gaz | \(W\) | +2862 | J |
Astuces
Pour vérifier la cohérence, on peut calculer \(\Delta U\) par une autre méthode: \(\Delta U = nC_v\Delta T\). Pour un gaz parfait monoatomique, \(C_v = \frac{3}{2}R\). On a donc \(\Delta U = 0.401 \times \frac{3}{2} \times 8.314 \times (877.6 - 300.15) \approx 2880 \text{ J}\). Le résultat est cohérent (la petite différence est due aux arrondis).
Schéma (Avant les calculs)
Bilan Énergétique du Système
Calcul(s)
Application du premier principe
Résultat pour \(\Delta U\)
Schéma (Après les calculs)
Conséquence : Augmentation de l'Énergie Interne
Réflexions
L'augmentation de l'énergie interne de 2862 J est significative et se manifeste par l'augmentation de température calculée à la question 3. L'énergie mécanique fournie par le piston a été convertie en énergie thermique (agitation des molécules) au sein du gaz.
Points de vigilance
Attention aux conventions de signe. Ici, le travail est reçu par le système, donc il est positif et l'énergie interne augmente. Si le gaz s'était détendu, il aurait fourni du travail (\(W<0\)) et son énergie interne aurait diminué.
Points à retenir
Retenez que pour TOUTE transformation adiabatique, \(\Delta U = W\). C'est une conséquence directe et puissante du premier principe de la thermodynamique.
Le saviez-vous ?
Le premier principe de la thermodynamique a été formulé notamment par James Prescott Joule au milieu du 19ème siècle, qui a démontré l'équivalence entre le travail mécanique et la chaleur. L'unité d'énergie, le Joule, lui rend hommage.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si, lors d'une autre compression, la température finale est de 600K, quelle est la variation d'énergie interne \(\Delta U\) ? (Utilisez la formule \(\Delta U = n C_v \Delta T\))
Outil Interactif : Simulateur de Compression
Utilisez les curseurs ci-dessous pour faire varier le volume initial du gaz et le taux de compression. Observez en temps réel l'impact sur la pression finale, la température finale et le travail nécessaire.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Lors d'une compression adiabatique d'un gaz parfait, que peut-on dire de sa température ?
2. Quelle est la condition qui définit une transformation adiabatique ?
3. La loi de Laplace \(P \cdot V^\gamma = \text{constante}\) s'applique pour...
4. Pour un gaz parfait monoatomique, l'indice adiabatique \(\gamma\) vaut :
5. Selon le premier principe de la thermodynamique, que vaut la variation d'énergie interne \(\Delta U\) pour ce processus ?
Glossaire
- Processus Adiabatique
- Transformation thermodynamique qui se produit sans aucun échange de chaleur entre le système et son environnement. La quantité de chaleur \(Q\) échangée est nulle.
- Loi de Laplace
- Ensemble de relations qui décrivent l'évolution des variables d'état (P, V, T) d'un gaz parfait lors d'une transformation adiabatique et réversible.
- Énergie Interne (U)
- Somme de toutes les énergies cinétiques et potentielles des particules qui composent un système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de sa température.
- Travail des forces de pression (W)
- Énergie transférée entre un système et son environnement due à un changement de volume sous l'effet d'une pression extérieure. Par convention, le travail est compté positivement s'il est reçu par le système.
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