Changement de Longueur des Matériaux
Comprendre le Changement de Longueur des Matériaux
Dans le cadre de la construction d’un pont suspendu, il est crucial de prendre en compte les variations de température tout au long de l’année, car elles influencent la longueur des câbles utilisés.
Ces câbles sont fabriqués en acier, un matériau qui se dilate et se contracte en réponse aux changements de température.
Cet exercice a pour objectif de calculer la variation de longueur d’un de ces câbles en fonction des changements de température observés.
Données:
- Longueur initiale du câble, \( L_0 \): 1000 mètres
- Coefficient de dilatation linéaire de l’acier, \( \alpha \): \( 12 \times 10^{-6} \) /°C
- Température en été, \( T_{été} \): 35°C
- Température en hiver, \( T_{hiver} \): -10°C
- Température de référence lors de l’installation du câble, \( T_{ref} \): 10°C.
Questions:
1. Calcul de la variation de longueur en été:
- Exprimer la formule qui permet de calculer la variation de longueur \( \Delta L \) en fonction de la différence de température \( \Delta T \).
- Calculer la différence de température entre l’été et la température de référence.
- Utiliser cette différence pour déterminer la variation de longueur du câble en été.
2. Calcul de la variation de longueur en hiver:
- Calculer la différence de température entre l’hiver et la température de référence.
- Utiliser cette différence pour déterminer la variation de longueur du câble en hiver.
3. Discussion sur l’impact des variations de longueur:
- Discuter des conséquences potentielles de ces variations de longueur sur la structure du pont.
- Proposer des mesures qui pourraient être prises pour minimiser l’impact de ces variations sur la sécurité et la stabilité du pont.
Correction : Changement de Longueur des Matériaux
1. Calcul de la variation de longueur en été
Formule générale de la dilatation linéaire :
\[ \Delta L = \alpha \times L_0 \times \Delta T \]
Expression de la formule avec les valeurs données :
- Coefficient de dilatation linéaire de l’acier, \( \alpha = 12 \times 10^{-6} \) /°C
- Longueur initiale du câble, \( L_0 = 1000 \) m
- Température de référence lors de l’installation du câble, \( T_{\text{ref}} = 10 \)°C
- Température en été, \( T_{\text{été}} = 35 \)°C
Calcul de la différence de température en été :
\[ \Delta T_{\text{été}} = T_{\text{été}} – T_{\text{ref}} \] \[ \Delta T_{\text{été}} = 35°C – 10°C \] \[ \Delta T_{\text{été}} = 25°C \]
Application de la formule pour trouver la variation de longueur en été :
\[ \Delta L_{\text{été}} = 12 \times 10^{-6} \times 1000 \times 25 \] \[ \Delta L_{\text{été}} = 0.3 \, \text{m} \]
La longueur du câble augmente donc de 0.3 mètre en été.
2. Calcul de la variation de longueur en hiver
Calcul de la différence de température en hiver :
\[ \Delta T_{\text{hiver}} = T_{\text{hiver}} – T_{\text{ref}} \] \[ \Delta T_{\text{hiver}} = -10°C – 10°C \] \[ \Delta T_{\text{hiver}} = -20°C \]
Application de la formule pour trouver la variation de longueur en hiver :
\[ \Delta L_{\text{hiver}} = 12 \times 10^{-6} \times 1000 \times (-20) \] \[ \Delta L_{\text{hiver}} = -0.24 \, \text{m} \]
La longueur du câble diminue donc de 0.24 mètre en hiver.
3. Discussion sur l’impact des variations de longueur
Conséquences potentielles sur la structure du pont :
- Les variations de longueur dues à la dilatation thermique peuvent induire des tensions dans la structure du pont, surtout dans les câbles et les ancrages.
- En été, l’augmentation de la longueur peut causer un affaissement du pont, tandis qu’en hiver, la diminution de la longueur peut augmenter la tension dans les câbles, ce qui pourrait potentiellement mener à une rupture sous des charges extrêmes ou lors de conditions météorologiques défavorables.
Mesures pour minimiser l’impact :
- Utilisation de joints de dilatation qui permettent aux câbles de se dilater et de se contracter sans causer de dommages structurels.
- Surveillance régulière des conditions météorologiques et inspection des câbles pour détecter toute déformation ou usure prématurée.
- Conception du pont avec des matériaux ou des alliages ayant des coefficients de dilatation plus faibles pour réduire les variations de longueur.
Changement de Longueur des Matériaux
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