Calculer les dimensions d’un escalier
Comprendre comment calculer les dimensions d’un escalier
Vous êtes ingénieur en construction et devez concevoir un escalier en béton pour un bâtiment résidentiel à deux étages. L’escalier doit relier le rez-de-chaussée au premier étage.
Données du projet:
- Hauteur totale à franchir (H) : 2,75 m
- Empreinte au sol disponible :
- Longueur : 3,00 m
- Largeur : 1,20 m
- Norme de pente confortable : Angle compris entre 25° et 37°
- Relation de confort (formule de Blondel) :
\[ 2h + g = 0{,}63 \, \text{m} \]
où :
- \( h \) = hauteur de la marche
- \( g \) = giron (profondeur de la marche)
Contraintes et critères de conception
- La hauteur de marche doit être confortable pour un usage quotidien (typiquement entre 17 et 18 cm).
- La largeur de l’escalier doit permettre le passage de deux personnes en croisement.
- La longueur de la volée ne doit pas créer de marches trop étroites en haut ou en bas.
- Si un palier est nécessaire, sa profondeur doit être au moins égale à celle d’un giron et sa largeur au moins égale à celle de l’escalier.
- Prendre en compte les normes locales qui peuvent imposer des spécificités supplémentaires.
- L’escalier droit calculé avec les dimensions idéales pourrait dépasser l’empreinte disponible, d’où la nécessité d’envisager des solutions tournantes ou en colimaçon.
Questions à traiter:
1. Calcul de la hauteur des marches (\(h\)) :
- Déterminer \(h\) en choisissant un nombre de marches approprié.
2. Détermination du giron (\(g\)) :
- Utiliser la formule de Blondel pour calculer \(g\).
3. Calcul du nombre de marches :
- Vérifier que le nombre de marches retenu permet de franchir correctement la hauteur de 2,75 m.
4. Vérification de l’inclinaison de l’escalier :
- Calculer l’angle d’inclinaison à partir du rapport \(\frac{h}{g}\) et vérifier qu’il se situe entre 25° et 37°.
5. Conception de l’escalier en fonction de l’empreinte disponible :
- Comparer la longueur horizontale requise pour un escalier droit aux dimensions disponibles et proposer une solution adaptée (escalier tournant, en colimaçon, etc.).
6. Rédaction d’un rapport de synthèse :
- Présenter les résultats des calculs et la solution retenue, en justifiant le choix en fonction des contraintes et normes de confort.
Correction : Calculer les dimensions d’un escalier
1. Calcul de la hauteur des marches (\(h\))
On doit diviser la hauteur totale \( H \) par le nombre de marches \( n \) afin d’obtenir une hauteur de marche confortable. Une valeur usuelle se situe autour de 17 à 18 cm pour un usage résidentiel.
Choix :
On opte pour \( n = 16 \) marches, ce qui donne :
\[ h = \frac{H}{n} = \frac{2,75 \, \text{m}}{16} \]
Calcul :
\[ h = 0{,}1719 \, \text{m} \quad (\approx 17{,}2 \, \text{cm}) \]
2. Détermination du giron (\(g\))
Le giron (la profondeur de marche) est calculé à l’aide de la formule de Blondel qui permet d’obtenir une relation harmonieuse entre hauteur et profondeur pour un escalier confortable.
Formule :
\[ 2h + g = 0{,}63 \, \text{m} \] \[ \Longrightarrow \quad g = 0{,}63 \, \text{m} – 2h \]
Données :
- \( h = 0{,}1719 \, \text{m} \)
Calcul :
\[ g = 0{,}63 \, \text{m} – 2 \times 0{,}1719 \, \text{m} \] \[ g = 0{,}63 \, \text{m} – 0{,}3438 \, \text{m} \] \[ g = 0{,}2862 \, \text{m} \]
Soit environ 28,6 cm.
3. Calcul du nombre de marches
Récapitulatif :
Le nombre de marches choisi est \( n = 16 \).
4. Vérification de l’inclinaison de l’escalier
L’angle d’inclinaison \( \theta \) peut être vérifié à l’aide du rapport \( \frac{h}{g} \).
Calcul :
\[ \tan \theta = \frac{h}{g} = \frac{0{,}1719}{0{,}2862} \approx 0{,}60 \] \[ \theta = \arctan(0{,}60) \approx 31^\circ \]
Vérification :
L’angle de \( 31^\circ \) est bien dans l’intervalle recommandé de \(25^\circ\) à \(37^\circ\).
5. Conception de l’escalier
Analyse de l’empreinte horizontale :
- Pour un escalier droit, la course horizontale totale (la « longueur » de l’escalier) serait :
\[ L = n \times g \] \[ L = 16 \times 0{,}2862 \, \text{m} \] \[ L \approx 4{,}58 \, \text{m} \]
Problème :
L’empreinte disponible est de \( 3{,}00 \, \text{m} \) de long, ce qui est bien inférieur à \( 4{,}58 \, \text{m} \).
Solution proposée :
Pour s’adapter à l’espace disponible, il est nécessaire de repenser la conception. Voici deux pistes :
- Escalier tournant (à palier) :
Diviser l’escalier en deux volées, par exemple deux vols de 8 marches. Chaque volée aurait une course de :
\[ L_{\text{volée}} = 8 \times 0{,}2862 \, \text{m} \] \[ L_{\text{volée}} \approx 2{,}29 \, \text{m} \]
En ajoutant un palier (avec une profondeur au moins égale à un giron, soit environ \(0{,}29 \, \text{m}\)), la longueur totale serait :
\[ L_{\text{total}} = 2{,}29 \, \text{m} + 0{,}29 \, \text{m} + 2{,}29 \, \text{m} \] \[ L_{\text{total}} \approx 4{,}87 \, \text{m} \]
Ce résultat reste supérieur à l’empreinte disponible.
Escalier en colimaçon ou hélicoïdal :
Ces conceptions permettent de gagner de la place en adaptant la trajectoire de l’escalier à l’empreinte disponible (\( 3{,}00 \, \text{m} \times 1{,}20 \, \text{m} \)).
Conclusion pour la conception :
Les dimensions calculées (17,2 cm de hauteur et 28,6 cm de giron) offrent un escalier confortable (angle d’environ \(31^\circ\)), \textbf{mais} un escalier droit respecterait une course horizontale de près de \(4,58 \, \text{m}\), ce qui excède l’espace de \(3{,}00 \, \text{m}\) de long disponible. Il faut donc envisager une solution tournante ou en colimaçon afin d’adapter l’escalier à l’empreinte restreinte tout en respectant les normes de confort.
6. Rédaction d’un rapport
Résumé du rapport :
Nombre de marches retenu : 16
-
- Hauteur de marche : \( h \approx 17{,}2 \, \text{cm} \)
- Giron calculé : \( g \approx 28{,}6 \, \text{cm} \)
Vérification de l’inclinaison :
- Angle \( \theta \approx 31^\circ \), respectant la norme \(25^\circ \leq \theta \leq 37^\circ\).
Contrainte d’empreinte :
- Un escalier droit aurait une course horizontale de \( 4{,}58 \, \text{m} \), ce qui dépasse l’espace disponible de \( 3{,}00 \, \text{m}\) en longueur.
Solution recommandée :
- Adopter un escalier tournant ou un escalier en colimaçon pour intégrer les dimensions calculées dans l’empreinte de \(3{,}00 \, \text{m} \times 1{,}20 \, \text{m}\).
Calculer les dimensions d’un escalier
D’autres exercices de chantiers et ouvrages:
0 commentaires