Calcul du Travail lors de l’Expansion d’un Gaz
Comprendre le Calcul du Travail lors de l’Expansion d’un Gaz
Dans une usine chimique, un gaz parfait monoatomique est confiné dans un cylindre muni d’un piston mobile. Le gaz subit une expansion isotherme due à l’augmentation de la température provoquée par une réaction chimique exothermique. On souhaite calculer le travail effectué par le gaz lors de cette expansion.
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Données fournies :
- Température initiale du gaz, \( T \) = 300 K
- Volume initial du gaz, \( V_i \) = 1.00 m³
- Volume final du gaz, \( V_f \) = 3.00 m³
- Constante des gaz parfaits, \( R \) = 8.314 J/(mol·K)
- Quantité de gaz, \( n \) = 2.00 mol
Questions :
1. Rappeler la formule du travail \( W \) pour une expansion isotherme d’un gaz parfait.
2. Calculer le travail effectué par le gaz lors de cette expansion.
3. Interpréter physiquement le signe du résultat obtenu.
Correction : Calcul du Travail lors de l’Expansion d’un Gaz
1. Rappel de la formule
Formule utilisée :
Pour une expansion isotherme d’un gaz parfait, le travail effectué par le gaz s’exprime par :
\[ W = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) \]
2. Calcul du travail effectué par le gaz
Données du problème:
- Quantité de gaz, \(n\) : 2.00 mol
- Constante des gaz parfaits, \(R\) : 8.314 J/(mol·K)
- Température, \(T\) : 300 K
- Volume initial, \(V_i\) : 1.00 m³
- Volume final, \(V_f\) : 3.00 m³
Calcul
Étape 1 : Remplacer les valeurs dans la formule :
\[ W = 2.00 \times 8.314 \times 300 \times \ln\left(\frac{3.00}{1.00}\right) \]
Étape 2 : Calculer le produit \(n \times R \times T\) :
\[ 2.00 \times 8.314 \times 300 = 4988.4\ \text{J} \]
Étape 3 : Calculer le logarithme naturel :
\[ \ln\left(\frac{3.00}{1.00}\right) = \ln(3.00) \approx 1.0986 \]
Étape 4 : Effectuer la multiplication finale :
\[ W = 4988.4 \times 1.0986 \] \[ W \approx 5481\ \text{J} \]
3. Interprétation physique du signe
Le travail \(W\) calculé est positif (environ 5481 J). Cela signifie que :
- Interprétation : Le gaz effectue un travail sur son environnement en se dilatant. Dans une expansion isotherme, l’énergie fournie par la chaleur est intégralement utilisée pour permettre au gaz de se dilater et d’effectuer ce travail.
- Signe positif : Indique que l’énergie est fournie par le gaz (ce dernier perd de l’énergie interne qui est compensée par l’apport de chaleur dans le cas d’un processus isotherme).
Calcul du Travail lors de l’Expansion d’un Gaz
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