Calcul du Travail lors de l’Expansion d’un Gaz
Comprendre le Calcul du Travail lors de l’Expansion d’un Gaz
Dans une usine chimique, un gaz parfait monoatomique est confiné dans un cylindre muni d’un piston mobile.
Le gaz subit une expansion isotherme due à l’augmentation de la température provoquée par une réaction chimique exothermique.
On souhaite calculer le travail effectué par le gaz lors de cette expansion.
Pour comprendre le Calcul d’un Mélange de Gaz Idéaux, cliquez sur le lien.
Données fournies :
- Température initiale du gaz, \( T \) = 300 K
- Volume initial du gaz, \( V_i \) = 1.00 m³
- Volume final du gaz, \( V_f \) = 3.00 m³
- Constante des gaz parfaits, \( R \) = 8.314 J/(mol·K)
- Quantité de gaz, \( n \) = 2.00 mol
Questions :
1. Rappeler la formule du travail \( W \) pour une expansion isotherme d’un gaz parfait.
2. Calculer le travail effectué par le gaz lors de cette expansion.
3. Interpréter physiquement le signe du résultat obtenu.
Correction : Calcul du Travail lors de l’Expansion d’un Gaz
1. Formule du travail en expansion isotherme :
Le travail \( W \) effectué par un gaz parfait lors d’une expansion isotherme est donné par la formule :
\[ W = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) \]
où \( n \) est la quantité de gaz en moles, \( R \) est la constante des gaz parfaits, \( T \) est la température en kelvins, \( V_i \) et \( V_f \) sont respectivement les volumes initial et final du gaz.
2. Calcul du travail effectué par le gaz :
- Température initiale du gaz, \( T \) = 300 K
- Volume initial du gaz, \( V_i \) = 1.00 m³
- Volume final du gaz, \( V_f \) = 3.00 m³
- Constante des gaz parfaits, \( R \) = 8.314 J/(mol·K)
- Quantité de gaz, \( n \) = 2.00 mol
Substituons ces valeurs dans la formule :
\[ W = 2.00 \times 8.314 \times 300 \times \ln\left(\frac{3.00}{1.00}\right) \]
Calculons d’abord le logarithme :
\[ \ln\left(\frac{3.00}{1.00}\right) = \ln(3) \approx 1.0986 \]
Ensuite, effectuons le calcul complet :
\[ W = 2.00 \times 8.314 \times 300 \times 1.0986 \] \[ W = 2.00 \times 8.314 \times 329.58 \] \[ W = 16.628 \times 329.58 \] \[ W \approx 5484.35 \, \text{Joules} \]
3. Interprétation physique :
Le travail effectué par le gaz est d’environ 5484 Joules. Ce résultat est positif, ce qui indique que le gaz a fourni de l’énergie à son environnement en poussant le piston vers l’extérieur pendant l’expansion.
Le signe positif est cohérent avec le fait que l’énergie est transférée de l’intérieur du système (le gaz) vers l’extérieur (le piston et l’atmosphère), typique d’un travail effectué par le système sur son environnement.
Calcul du Travail lors de l’Expansion d’un Gaz
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