Calcul du Périmètre Mouillé d’un Canal
Comprendre le Calcul du Périmètre Mouillé d’un Canal
Dans le cadre d’un projet d’urbanisation, une municipalité envisage de mettre en place un nouveau système d’assainissement pour gérer efficacement les eaux usées d’un quartier résidentiel. L’un des éléments essentiels du système est le canal de drainage, qui doit être dimensionné correctement pour éviter les débordements pendant les périodes de fortes pluies. Le calcul du périmètre mouillé du canal est crucial pour déterminer sa capacité hydraulique.
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Données:
- Forme du canal: Demi-cercle (canal semi-circulaire)
- Rayon du canal \(R\): 1.5 mètres
- Profondeur de l’eau \(h\): 1 mètre
Questions:
1. Calculer le rayon de courbure de la surface libre \(r\).
2. Calculer l’angle au centre \(\theta\) en radians qui correspond à la surface de l’eau.
3. Calculer le périmètre mouillé \(P_m\) pour la section demi-circulaire.
Correction : Calcul du Périmètre Mouillé d’un Canal
1. Calcul du rayon de courbure de la surface libre \( r \)
La surface libre (la ligne d’eau) se situe à une hauteur \( h \) à partir du fond du canal. Le centre du cercle se trouve à une distance \( R \) du fond. Ainsi, la distance verticale entre le centre du cercle et la surface libre est
\[ r = R – h. \]
Substitution des données :
- \(R = 1,5 \text{ m}\)
- \(h = 1 \text{ m}.\)
Calcul :
\[ r = 1,5 – 1 = 0,5 \text{ m}. \]
Conclusion étape 1 :
Le rayon de courbure de la surface libre est de 0,5 m.
2. Calcul de l’angle au centre \( \theta \) en radians correspondant à la surface de l’eau
La ligne de la surface libre intersecte le canal en formant une \textit{corde} du cercle. Pour déterminer l’angle \( \theta \) sous-tendu par cet arc mouillé, on considère le triangle formé par le centre du cercle et les deux points d’intersection entre le canal et la surface libre. Dans ce triangle, la distance verticale entre le centre et la surface libre est \( R – h \) et le rayon du cercle est \( R \). Ainsi, le cosinus de la moitié de l’angle central \( \theta/2 \) est donné par :
\[ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{R – h}{R}. \]
Substitution des données :
- \(R = 1,5 \text{ m}\)
- \(h = 1 \text{ m},\)
donc
\[ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1,5 – 1}{1,5} = \frac{0,5}{1,5} = \frac{1}{3} \approx 0,3333. \]
Calcul :
Trouvons \( \frac{\theta}{2} \) en prenant l’arc cosinus :
\[ \frac{\theta}{2} = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \approx 1,23096 \text{ rad}. \]
Dès lors, l’angle total est :
\[ \theta = 2 \times 1,23096 \approx 2,46192 \text{ rad}. \]
Conclusion étape 2 :
L’angle au centre correspondant à la surface de l’eau est d’environ 2,46192 rad.
3. Calcul du périmètre mouillé \( P_m \) de la section
Le périmètre mouillé correspond à la longueur de l’arc du cercle en contact avec l’eau. Pour un arc de cercle, la longueur \( L \) est donnée par :
\[ L = R \times \theta, \]
où \( \theta \) est l’angle en radians.
Formule :
\[ P_m = R \times \theta. \]
Substitution des données :
- \(R = 1,5 \text{ m}\)
- \(\theta \approx 2,46192 \text{ rad}.\)
Calcul :
\[ P_m = 1,5 \times 2,46192 \] \[ P_m \approx 3,69288 \text{ m}. \]
Conclusion étape 3 :
Le périmètre mouillé de la section du canal est d’environ 3,69 m.
Calcul du Périmètre Mouillé d’un Canal
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