Calcul du Périmètre Mouillé d’un Canal
Comprendre le Calcul du Périmètre Mouillé d’un Canal
Dans le cadre d’un projet d’urbanisation, une municipalité envisage de mettre en place un nouveau système d’assainissement pour gérer efficacement les eaux usées d’un quartier résidentiel.
L’un des éléments essentiels du système est le canal de drainage, qui doit être dimensionné correctement pour éviter les débordements pendant les périodes de fortes pluies.
Le calcul du périmètre mouillé du canal est crucial pour déterminer sa capacité hydraulique.
Pour comprendre le Calcul du Facteur de Pointe en Assainissement, cliquez sur le lien.
Données:
- Forme du canal: Demi-cercle (canal semi-circulaire)
- Rayon du canal \(R\): 1.5 mètres
- Profondeur de l’eau \(h\): 1 mètre
Questions:
1. Calculer le rayon de courbure de la surface libre \(r\).
2. Calculer l’angle au centre \(\theta\) en radians qui correspond à la surface de l’eau.
3. Calculer le périmètre mouillé \(P_m\) pour la section demi-circulaire.
Correction : Calcul du Périmètre Mouillé d’un Canal
1. Calcul du rayon de courbure de la surface libre \(r\)
Le rayon de courbure de la surface libre \(r\) est la distance entre le centre du canal semi-circulaire et la surface de l’eau.
Cela est déterminé en soustrayant la profondeur de l’eau \(h\) du rayon total du canal \(R\).
Formule :
\[ r = R – h \]
Données :
- Rayon du canal \( R = 1.5 \, \text{m} \)
- Profondeur de l’eau \( h = 1 \, \text{m} \)
Calcul :
\[ r = 1.5 \, \text{m} – 1 \, \text{m} \] \[ r = 0.5 \, \text{m} \]
2. Détermination de l’angle au centre \( \theta \) en radians
L’angle au centre \( \theta \) correspond à l’angle sous lequel l’eau touche les bords du canal. Cet angle est crucial pour déterminer la longueur de la courbe que l’eau forme dans le canal, ce qui influence directement le périmètre mouillé.
Formule :
\[ \theta = 2 \cdot \arccos\left(\frac{r}{R}\right) \]
Données :
- \( r = 0.5 \, \text{m} \)
- \( R = 1.5 \, \text{m} \)
Calcul :
\[ \theta = 2 \cdot \arccos\left(\frac{0.5}{1.5}\right) \] \[ \theta \approx 2 \cdot \arccos(0.3333) \] \[ \theta \approx 2 \cdot 1.2310 \] \[ \theta \approx 2.462 \, \text{radians} \]
3. Calcul du périmètre mouillé \( P_m \)
Le périmètre mouillé \( P_m \) est la longueur de la ligne qui est en contact avec l’eau dans le canal.
Ce périmètre est directement proportionnel à l’angle au centre \( \theta \) et au rayon \( R \), formant la partie du demi-cercle immergée.
Formule :
\[ P_m = R \cdot \theta \]
Données :
- \( R = 1.5 \, \text{m} \)
- \( \theta = 2.462 \, \text{radians} \)
Calcul :
\[ P_m = 1.5 \, \text{m} \cdot 2.462 \] \[ P_m \approx 3.693 \, \text{m} \]
Calcul du Périmètre Mouillé d’un Canal
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