Calcul du Moment Fléchissant Maximal

Comprendre le Calcul du Moment Fléchissant Maximal

Considérez une poutre en acier de longueur \(L = 6\) mètres, avec une extrémité encastrée et l’autre extrémité libre. Cette poutre est soumise à une charge uniformément répartie de \(q = 200\) N/m. Les propriétés matérielles de la poutre sont les suivantes : module d’élasticité \(E = 210\) GPa et moment d’inertie \(I = 3000\) cm\(^4\).

Pour comprendre le Calcul de l’effort tranchant dans une poutre, cliquez sur le lien.

Questions:

1. Calculez la réaction verticale à l’encastrement de la poutre.

2. Déterminez la position le long de la poutre où le moment fléchissant est maximal.

3. Calculez la valeur du moment fléchissant maximal \(M_{max}\) à cette position.

4. Tracez le diagramme du moment fléchissant sur toute la longueur de la poutre.

Correction : Calcul du Moment Fléchissant Maximal

1. Calcul de la réaction verticale à l’encastrement

Pour une poutre encastrée en une extrémité et libre à l’autre (poutre en porte-à-faux ou cantilever), l’ensemble de la charge uniformément répartie se transmet à l’encastrement. La réaction verticale à l’encastrement est égale à la somme des charges appliquées sur la poutre.

Formule

\[ R_A = q \times L \]

Substitution des données et calcul:

\[ R_A = 200 \, \frac{\text{N}}{\text{m}} \times 6 \, \text{m} \] \[ R_A = 1200 \, \text{N} \]

Conclusion : La réaction verticale à l’encastrement est de 1200 N (direction vers le haut).

2. Détermination de la position où le moment fléchissant est maximal

Pour une poutre en porte-à-faux soumise à une charge uniformément répartie, le moment fléchissant varie le long de la poutre selon une loi quadratique. Le moment est maximal (en valeur absolue) à l’encastrement, c’est-à-dire à \(x = 0\) (si l’on définit \(x\) mesuré à partir de l’encastrement).

Conclusion

La position où le moment fléchissant est maximal est à l’encastrement, soit à \(x = 0\) m.

3. Calcul de la valeur du moment fléchissant maximal \( M_{\text{max}} \)

Le moment fléchissant en un point \(x\) le long de la poutre (pour \(0 \le x \le L\)) s’exprime par :

\[ M(x) = -\frac{q}{2} \, (L – x)^2 \]

Le signe négatif correspond à la convention de signe (le moment provoque une courbure concave vers le haut à l’encastrement). Le moment maximal (en valeur absolue) se trouve à \(x = 0\).

Formule et substitution À \(x = 0\) :

\[ M_{\text{max}} = M(0) = -\frac{q}{2} \, (L – 0)^2 \] \[ M_{\text{max}} = -\frac{q}{2} \, L^2 \]

Substituons les valeurs :

\[ M_{\text{max}} = -\frac{200 \, \text{N/m}}{2} \times (6 \, \text{m})^2 \]

Calcul

1. Calcul de \(L^2\) :

\[ L^2 = 6^2 = 36 \, \text{m}^2 \]

2. Calcul de la constante :

\[ \frac{200}{2} = 100 \, \text{N/m} \]

3. Calcul final :

\[ M_{\text{max}} = -100 \times 36 \] \[ M_{\text{max}} = -3600 \, \text{N}\cdot\text{m} \]

Conclusion : Le moment fléchissant maximal est de \(-3600 \, \text{N}\cdot\text{m}\) (le signe indique la direction de la flexion).

4. Tracé du diagramme du moment fléchissant

Le diagramme du moment fléchissant le long de la poutre est défini par la formule :

\[ M(x) = -\frac{q}{2} \, (L – x)^2, \quad \text{pour } 0 \le x \le L \]

À \(x = 0\) (encastrement) :

\[ M(0) = -\frac{200}{2} \times 6^2 \] \[ M(0) = -3600 \, \text{N}\cdot\text{m} \]

À \(x = L = 6\) m (extrémité libre) :

\[ M(6) = -\frac{200}{2} \times (6-6)^2 \] \[ M(6) = 0 \, \text{N}\cdot\text{m} \]

Le diagramme est une parabole qui part de \(-3600 \, \text{N}\cdot\text{m}\) à \(x=0\) et se termine à \(0 \, \text{N}\cdot\text{m}\) à \(x=6 \, \text{m}\).

Représentation schématique

Voici un schéma du diagramme du moment :

À \(x = 0\) : \(M(0) = -3600 \, \text{N}\cdot\text{m}\) (valeur extrême, indiquée ici par le point le plus bas si l’on représente le moment négatif vers le bas)
À \(x = 6 \, \text{m}\) : \(M(6) = 0 \, \text{N}\cdot\text{m}\)

Remarque : En pratique, on trace souvent le diagramme en indiquant l’amplitude des valeurs (ici \(-3600 \, \text{N}\cdot\text{m}\)) et la forme parabolique décroissante jusqu’à zéro à l’extrémité libre.

Calcul du Moment Fléchissant Maximal

D’autres exercices de Rdm: