Calcul du Moment Fléchissant Maximal
Comprendre le Calcul du Moment Fléchissant Maximal
Considérez une poutre en acier de longueur \(L = 6\) mètres, avec une extrémité encastrée et l’autre extrémité libre. Cette poutre est soumise à une charge uniformément répartie de \(q = 200\) N/m.
Les propriétés matérielles de la poutre sont les suivantes : module d’élasticité \(E = 210\) GPa et moment d’inertie \(I = 3000\) cm\(^4\).
Pour comprendre le Calcul de l’effort tranchant dans une poutre, cliquez sur le lien.
Questions:
1. Calculez la réaction verticale à l’encastrement de la poutre.
2. Déterminez la position le long de la poutre où le moment fléchissant est maximal.
3. Calculez la valeur du moment fléchissant maximal \(M_{max}\) à cette position.
4. Tracez le diagramme du moment fléchissant sur toute la longueur de la poutre.
Correction : Calcul du Moment Fléchissant Maximal
1. Calcul des Réactions aux Appuis
Réaction Verticale à l’Encastrement (V):
La réaction verticale à l’encastrement est la seule réaction verticale puisque l’autre extrémité est libre. Elle doit équilibrer exactement la charge totale sur la poutre.
\[ V = qL \] \[ V = 200\, \text{N/m} \times 6\, \text{m} \] \[ V = 1200\, \text{N} \]
2. Détermination de la Position du Moment Fléchissant Maximal
Position \(x\) du Moment Maximal:
Le moment fléchissant est maximal à l’extrémité libre pour une poutre encastrée-libre sous charge uniformément répartie.
Le calcul théorique montre que le moment change linéairement le long de la poutre et atteint son maximum à l’extrémité libre.
\[ x_{\text{max}} = L = 6\, \text{m} \]
3. Calcul du Moment Fléchissant Maximal
Formule du Moment Fléchissant:
La formule du moment fléchissant pour une poutre encastrée-libre sous charge uniformément répartie est:
\[ M(x) = -\frac{q}{2}x^2 + Vx \]
En substituant les valeurs:
\[ M(x) = -\frac{200}{2}x^2 + 1200x \]
Calcul de \(M_{\text{max}}\) à l’Extrémité Libre:
Substituons \(x = 6\, \text{m}\) dans l’expression de \(M(x)\):
\[ M(6) = -\frac{200}{2} \times 6^2 + 1200 \times 6 \] \[ M(6) = -600 \times 6 + 7200 \] \[ M(6) = -3600 + 7200 \] \[ M(6) = 3600\, \text{Nm} \]
4. Diagramme du Moment Fléchissant
Le diagramme du moment fléchissant montre une augmentation linéaire du moment de 0 Nm à l’encastrement jusqu’à 3600 Nm à l’extrémité libre.
La fonction du moment peut être visualisée comme une ligne droite ascendante allant de l’origine au point \((6, 3600)\).
Conclusion
Le moment fléchissant maximal de la poutre est \(3600\, \text{Nm}\), situé à l’extrémité libre. Cette analyse détaille chaque étape nécessaire pour calculer le moment en fonction de la charge et de la géométrie de la poutre, en offrant une compréhension approfondie du comportement de la poutre sous charge.
Calcul du Moment Fléchissant Maximal
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