Calcul du moment de résistance à la flexion
📝 Situation du Projet et Enjeux Architecturaux
Dans le cadre du développement urbain de la zone périphérique Est de Lyon, le projet "Le Belvédère" se distingue par son ambition architecturale et technique. Il s'agit d'un complexe résidentiel de standing R+4, conçu pour offrir des espaces de vie lumineux et ouverts. L'architecte a imposé une contrainte majeure au rez-de-chaussée : la suppression quasi-totale des murs porteurs intérieurs pour créer un vaste hall d'accueil traversant et des espaces commerciaux modulables.
Cette volonté de transparence oblige la structure à reporter les charges considérables des quatre étages de logements (dalles pleines, refends, balcons en porte-à-faux) sur un réseau de poutres principales de grande portée. De plus, le cahier des charges "Standing" impose des revêtements de sol en pierre naturelle (marbre 3 cm + chape lourde) dans les étages, augmentant significativement les charges permanentes \(G\). La maîtrise de la fissuration et la robustesse à l'État Limite Ultime (ELU) sont donc des impératifs absolus.
En tant qu'Ingénieur Structure confirmé au sein du bureau d'études, vous êtes chargé de la validation critique de la poutre de reprise PP-01 située au plancher haut du RDC. Cette poutre est un élément "clé de voûte" de la structure. Votre objectif est de calculer le Moment Résistant de Calcul \(M_{\text{Rd}}\) de la section en travée, ferraillée selon les plans provisoires, pour garantir qu'elle offre une marge de sécurité suffisante face aux sollicitations extrêmes.
- Site & Environnement
Lyon (69), Sol de type argileux (contrainte admissible 0.25 MPa), Zone sismique 3 (Modérée). - Maîtrise d'Ouvrage
SCI Les Horizons / Cabinet ARCHI-LYON - Élément Structurel
Poutre Principale PP-01 (Béton Armé), supportant 4 niveaux d'habitation.
"Attention, jeune collègue. N'oublie pas que la hauteur utile 'd' est déterminante pour le bras de levier ! Je vois trop souvent des erreurs sur le positionnement du centre de gravité des aciers. Ici, on a un seul lit, c'est simple, mais sois précis au millimètre. Une erreur de 2 cm sur 'd', c'est 5% de résistance en moins !"
L'étude technique s'appuie rigoureusement sur le corpus normatif européen en vigueur. La compréhension de ces normes est le socle de tout calcul de génie civil fiable.
📚 Référentiel Normatif & Rôle
-
NF EN 1990 (Eurocode 0) - Bases de calcul des structures :
Cette norme définit les principes de la sécurité structurale (fiabilité), les durées d'utilisation (50 ans pour le bâtiment) et surtout les combinaisons d'actions (ELU/ELS) que nous utiliserons pour pondérer les charges. -
NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) - Calcul des structures en béton :
C'est la "bible" du béton armé. Elle fournit les modèles de comportement des matériaux (diagrammes contrainte-déformation), les coefficients partiels de sécurité (\(\gamma_{\text{c}}\), \(\gamma_{\text{s}}\)) et les règles de dimensionnement et de ferraillage que vous allez appliquer.
[Art. 3.1] BÉTON STRUCTURAL : C25/30
Le béton mis en œuvre sera de classe de résistance C25/30 (\(f_{\text{ck}} = 25\) MPa).
Justification : Classe standard pour le bâtiment courant, offrant un compromis optimal entre coût, ouvrabilité sur chantier et résistance mécanique suffisante pour des portées moyennes.
[Art. 3.2] ACIERS PASSIFS : B500B
Armatures à haute adhérence (HA), nuance B500B (\(f_{\text{yk}} = 500\) MPa).
Justification : Acier à haute limite élastique garantissant une section d'acier réduite et une bonne ductilité (classe B) en cas de séisme.
[Art. 4.5] ENROBAGE NOMINAL : 30 mm
Pour une classe d'exposition XC1 (Intérieur sec), l'enrobage minimum est majoré d'une tolérance d'exécution de 10mm.
| GÉOMÉTRIE (COFFRAGE) | |
| Largeur de la section (\(b\)) | 250 mm |
| Hauteur totale (\(h\)) | 600 mm |
| FERRAILLAGE (TRAVÉE) | |
| Armatures Longitudinales (Lit inférieur) | 3 barres HA 20 |
| Section d'acier totale (\(A_{\text{s}}\)) | 9,42 cm² (\(942 \text{ mm}^2\)) |
| Enrobage nominal à l'axe (\(c_{\text{nom}}\)) | 30 mm (Convention de calcul) |
| Paramètre | Symbole | Valeur | Justification Normative |
|---|---|---|---|
| Coefficient Béton | \(\gamma_{\text{c}}\) | 1,50 | Sécurité sur le matériau hétérogène et incertitudes de mise en œuvre. |
| Coefficient Acier | \(\gamma_{\text{s}}\) | 1,15 | Sécurité sur l'acier (matériau industriel plus fiable). |
| Coefficient de Durée | \(\alpha_{\text{cc}}\) | 1,00 | Prise en compte des effets à long terme sur la résistance du béton. |
E. Protocole de Résolution Expert
La validation d'un élément structurel ne s'improvise pas. Elle suit un cheminement logique rigoureux (l'algorithme de calcul) qui transforme les données géométriques et matérielles en une capacité résistante fiable. Voici la "feuille de route" que tout ingénieur doit mentalement parcourir avant de saisir sa calculatrice.
Géométrie Effective (Hauteur Utile d)
Avant toute mécanique, nous devons définir la géométrie "active". Le béton d'enrobage protège mais ne travaille pas mécaniquement. Nous calculerons donc \(d\), la position exacte du centre de force des aciers.
Résistances de Calcul & Forces Max
Nous passerons des résistances caractéristiques (\(f_{\text{k}}\)) aux valeurs de calcul (\(f_{\text{d}}\)) en intégrant les coefficients de sécurité. Nous en déduirons la force de traction maximale absolue que les aciers peuvent développer (\(F_{\text{s}}\)).
Équilibre Statique & Bras de Levier (z)
C'est le cœur du problème : trouver quelle hauteur de béton (\(y_{\text{u}}\)) doit être comprimée pour équilibrer la traction de l'acier. Une fois l'équilibre trouvé (\(Compression = Traction\)), nous déduirons le bras de levier interne \(z\).
Moment Résistant Ultime (MRd)
Synthèse finale : Le couple formé par les forces (\(F \times z\)) nous donnera le moment fléchissant maximal admissible avant la rupture de la section.
Calcul du moment de résistance à la flexion
🎯 Objectif & 📚 Référentiel
La première étape consiste à transformer la géométrie brute de la poutre (dimensions de coffrage) en géométrie "mécanique". L'objectif est de calculer précisément la hauteur utile \(d\). Cette valeur est fondamentale car elle conditionne directement l'efficacité du bras de levier de la section. Nous nous appuyons sur les articles relatifs à l'enrobage et aux dispositions constructives de l'Eurocode 2 (EN 1992-1-1).
Pourquoi ne pas utiliser la hauteur totale \(h=600\) mm ? Parce que le béton situé sous les aciers tendus va se fissurer et ne participera pas à la résistance en flexion. Seul compte le squelette d'acier. Il faut donc localiser avec une précision millimétrique le centre de gravité des forces de traction. Une surestimation de \(d\) conduit à surestimer la résistance de la poutre, ce qui est une faute grave de sécurité. Ici, nous avons un seul lit d'armatures, le calcul est direct, mais il exige de la rigueur sur la prise en compte de l'enrobage.
La hauteur utile \(d\) est la distance entre la fibre la plus comprimée (fibre supérieure du béton) et le centre de gravité des aciers tendus. Elle se déduit par soustraction successive des épaisseurs "non utiles" mécaniquement.
📐 Formule de définition de dAvec : \(h\) (hauteur totale de la section), \(c_{\text{nom}}\) (enrobage nominal, incluant la tolérance de pose \(\Delta c_{\text{dev}}\)), et \(\phi_{\text{long}}\) (diamètre des barres longitudinales).
Note : Dans cet exercice simplifié, nous considérons \(c_{\text{nom}}\) comme la distance de la peau du béton au nu de l'armature principale, intégrant implicitement l'épaisseur du cadre transversal.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Hauteur totale de la poutre (\(h\)) | 600 mm |
| Enrobage nominal (\(c_{\text{nom}}\)) | 30 mm |
| Diamètre des aciers (\(3 \times \text{HA}20\)) | 20 mm |
Sur chantier ou en réunion, si vous n'avez pas de calculatrice, estimez \(d \approx 0,9 \cdot h\). Ici, \(0,9 \times 600 = 540\) mm. Notre calcul précis devra être proche de cette valeur, légèrement supérieur car l'enrobage est faible.
📝 Calcul Détaillé
Nous appliquons la formule en retranchant l'enrobage et le rayon de la barre pour atteindre son axe central.
Application Numérique :La hauteur utile effective est de 56 cm. C'est cette valeur, et non 60 cm, qui "travaille" pour reprendre le moment.
✅ Interprétation
La valeur calculée \(d = 560\) mm est cohérente et valide. Elle représente 93% de la hauteur totale, ce qui indique une section bien optimisée (peu de perte de hauteur). Cette dimension servira de base immuable pour toutes les étapes suivantes.
Le ratio \(d/h = 560/600 = 0.93\) est tout à fait standard. Une valeur inférieure à 0.80 indiquerait un problème de conception (trop d'enrobage ou trop de lits d'aciers). Ici, la conception est saine.
Attention à la disposition des barres ! Si les 3 barres ne tenaient pas en largeur dans le coffrage (espacement insuffisant pour le vibrage), il aurait fallu les placer sur deux lits superposés. Dans ce cas, \(d\) aurait diminué considérablement (car le centre de gravité remonte), réduisant la résistance de la poutre.
🎯 Objectif & 📚 Référentiel
Nous entrons maintenant dans le dimensionnement matériel. L'objectif est double : d'abord, réduire les résistances théoriques des matériaux par des coefficients de sécurité partiels (\(\gamma_{\text{c}}, \gamma_{\text{s}}\)) conformément à l'Eurocode 2 (approche semi-probabiliste). Ensuite, calculer la force de traction maximale absolue que le "tirant" en acier peut développer avant sa ruine.
Dans la réalité, le béton coulé sur site n'est jamais parfait (ségrégation, vibrage aléatoire) et l'acier peut avoir des défauts microscopiques. Pour garantir une sécurité absolue (risque de ruine < \(10^{-6}\)), nous "pénalisons" volontairement les matériaux.
Pour le béton : On divise sa résistance par 1,5.
Pour l'acier : On divise par 1,15 (car c'est un matériau industriel plus fiable).
Nous allons ensuite supposer que l'acier travaille à son maximum (il a dépassé sa limite élastique, ce qu'on appelle le "Pivot A ou B"). C'est l'hypothèse la plus économique : utiliser l'acier à 100% de sa capacité.
Les résistances de calcul s'obtiennent en divisant les valeurs caractéristiques par les coefficients partiels.
\(\alpha_{\text{cc}}\) est un coefficient prenant en compte les effets de longue durée sur la résistance en compression et les effets défavorables résultant de la manière dont la charge est appliquée. En France, \(\alpha_{\text{cc}} = 1,0\).
📋 Données d'Entrée
| Donnée | Valeur |
|---|---|
| Béton C25/30 (\(f_{\text{ck}}\)) | 25 MPa |
| Acier B500B (\(f_{\text{yk}}\)) | 500 MPa |
| Section d'acier (\(A_{\text{s}}\)) | 942 mm² |
| Coefficients (\(\gamma_{\text{c}}\) / \(\gamma_{\text{s}}\)) | 1,50 / 1,15 |
Mémorisez les valeurs finales pour les matériaux courants : Un béton C25 vaut toujours 16,7 MPa au calcul. Un acier B500 vaut toujours 435 MPa au calcul. Si vous trouvez autre chose, revérifiez vos coefficients !
📝 Calcul Détaillé
1. Résistance de calcul du béton en compression (\(f_{\text{cd}}\)) :Pour obtenir la résistance de calcul du béton (\(f_{\text{cd}}\)), nous partons de la résistance caractéristique sur cylindre à 28 jours (\(f_{\text{ck}}\)). Nous devons réduire cette valeur pour tenir compte des incertitudes de fabrication et de mise en œuvre sur chantier. Nous appliquons donc le coefficient partiel de sécurité \(\gamma_{\text{c}}\) égal à 1,5.
Calcul DétailléLe béton de classe C25/30, une fois sécurisé pour le calcul, ne contribue à la résistance qu'à hauteur de 16,67 MPa. C'est cette valeur pénalisée qui servira à dimensionner la zone comprimée.
2. Limite d'élasticité de calcul de l'acier (\(f_{\text{yd}}\)) :
De manière analogue, la résistance de calcul de l'acier (\(f_{\text{yd}}\)) est obtenue en divisant sa limite d'élasticité caractéristique (\(f_{\text{yk}}\)) par le coefficient de sécurité \(\gamma_{\text{s}}\). L'acier étant un matériau industriel plus homogène que le béton, ce coefficient est plus faible (1,15).
Calcul DétailléLes armatures B500B garantissent une résistance de calcul de 434,78 MPa. Au-delà de cette contrainte, on considère que l'acier entre en déformation plastique excessive pour la sécurité de la structure.
3. Force de traction maximale de l'armature (\(F_{\text{s}}\)) :
Enfin, nous calculons la capacité totale de traction (\(F_{\text{s}}\)) du ferraillage mis en place. C'est le produit de la section d'acier réelle (\(A_{\text{s}}\)) par la résistance de calcul (\(f_{\text{yd}}\)) que nous venons de déterminer. Cela correspond à la force maximale que le tirant peut retenir avant ruine.
Calcul DétailléLe paquet de 3 barres HA20 est capable de reprendre une force de traction de près de 41 tonnes (409,6 kN). C'est cette force considérable qui devra être équilibrée par la compression du béton en partie haute de la poutre.
✅ Interprétation
Nous avons quantifié la "puissance" de nos matériaux. Le béton peut encaisser 16,7 MPa en compression, et nos 3 barres HA20 fournissent une force de traction de 409,6 kN. Tout le reste du calcul consiste maintenant à savoir comment ces deux forces s'équilibrent.
41 tonnes (409 kN) pour 3 barres de 20mm, c'est un ordre de grandeur correct. Une voiture pèse 1,5 tonne. Ces trois barres peuvent donc suspendre environ 27 voitures. Cela illustre l'extrême performance de l'acier comparée au béton.
Ne jamais utiliser \(f_{\text{yk}}\) (500 MPa) directement dans les calculs de résistance ultime. Cela reviendrait à "consommer" la marge de sécurité, ce qui est strictement interdit. La confusion entre valeur caractéristique et valeur de calcul est la source d'erreur n°1 chez les débutants.
🎯 Objectif & 📚 Référentiel
C'est l'étape pivot du dimensionnement. Nous devons trouver la hauteur de la zone comprimée du béton (\(y_{\text{u}}\)) nécessaire pour équilibrer la force de traction de l'acier. Une fois cette hauteur connue, nous pourrons déterminer le bras de levier \(z\) du couple interne. Nous utilisons le modèle du bloc rectangulaire simplifié autorisé par l'Eurocode 2 pour la flexion simple.
Imaginez la section de la poutre. En bas, l'acier tire avec une force de 409,6 kN. Pour que la poutre ne parte pas en translation horizontale, le béton en haut doit pousser avec exactement la même force en sens inverse (\(F_{\text{compression}} = F_{\text{traction}}\)).
La question est : Quelle surface de béton ai-je besoin pour générer 409,6 kN de poussée ?
Comme la largeur \(b\) est fixe (250 mm) et la résistance \(f_{\text{cd}}\) est fixe (16,67 MPa), la seule variable est la hauteur de béton comprimé (\(y_{\text{u}}\)). Plus l'acier tire fort, plus la zone comprimée doit être grande.
Le diagramme rectangulaire simplifié suppose que le béton est comprimé uniformément à \(f_{\text{cd}}\) sur une hauteur efficace égale à \(0,8 \cdot y_{\text{u}}\) (où \(y_{\text{u}}\) est la profondeur réelle de l'axe neutre).
Le bras de levier est la distance entre l'acier et le centre de la zone comprimée (situé à mi-hauteur du bloc rectangulaire, soit \(0,4 \cdot y_{\text{u}}\)).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Force de traction (\(F_{\text{s}}\)) | 409 563 N |
| Largeur de section (\(b\)) | 250 mm |
| Résistance béton (\(f_{\text{cd}}\)) | 16,67 MPa (N/mm²) |
| Hauteur utile (\(d\)) | 560 mm |
Le bras de levier interne \(z\) est généralement très stable. Pour une section bien conçue, il vaut environ 0,9 fois la hauteur utile d. Si votre calcul donne \(z = 0,5d\), il y a une erreur : le béton serait écrasé sur la moitié de la poutre !
📝 Calcul Détaillé
1. Calcul de la hauteur de l'axe neutre (\(y_{\text{u}}\)) :On isole \(y_{\text{u}}\) dans l'équation d'équilibre : \(y_{\text{u}} = F_{\text{s}} / (0,8 \cdot b \cdot f_{\text{cd}})\).
Le béton est comprimé sur les 12,3 premiers centimètres de la poutre.
2. Calcul du bras de levier (\(z\)) :On retranche la moitié de la hauteur du bloc comprimé à la hauteur utile.
Résultat : Le couple de forces internes dispose d'un bras de levier de 51,1 cm pour agir.
✅ Interprétation
La zone comprimée (\(y_{\text{u}}\)) occupe environ 22% de la hauteur utile (\(122,8 / 560\)). Cela signifie que seulement le quart supérieur de la poutre travaille en compression pour équilibrer l'acier. C'est une situation saine : le béton n'est pas saturé, et l'acier a toute la place pour s'allonger (ductilité).
Vérifions notre ratio de bras de levier : \(z / d = 511 / 560 = 0,91\).
Nous sommes pile dans la fourchette optimale (entre 0,90 et 0,95). Cela confirme que la section d'acier choisie (3 HA 20) est bien proportionnée par rapport à la section de béton. Si nous avions eu \(z/d < 0,8\), cela aurait signifié qu'on avait mis trop d'acier ("sura-ferraillage"), risquant une rupture fragile du béton.
Attention aux unités ! \(y_{\text{u}}\) doit impérativement être calculé en mm. L'erreur classique est de mélanger des mètres (pour b) et des MPa (N/mm²), ce qui donne un résultat incohérent d'un facteur 1000.
🎯 Objectif
C'est l'aboutissement de notre mission. Nous allons calculer la valeur finale du moment fléchissant que la poutre peut supporter avant la rupture. C'est cette valeur "capacité" (\(M_{\text{Rd}}\)) qui sera comparée à la valeur "demande" (\(M_{\text{Ed}}\)) issue de la descente de charges pour valider la structure.
En mécanique, un moment (ou couple) est simplement le produit d'une force par une distance.
Nous avons la force : la traction max de l'acier \(F_{\text{s}} = 409,6\) kN.
Nous avons la distance : le bras de levier \(z = 0,511\) m.
Le moment résistant est donc simplement ce que l'acier peut retenir multiplié par le levier dont il dispose. C'est la capacité maximale de "rotation bloquée" de la section.
Unité de sortie : N.mm ou plus communément kN.m pour les notes de calcul.
📋 Données d'Entrée
- Force de traction Acier (\(F_{\text{s}}\)) = 409,6 kN
- Bras de levier interne (\(z\)) = 0,511 m
Imaginez une immense clé à molette de 51 cm de long (\(z\)) sur laquelle vous appliquez tout votre poids multiplié par 500 (\(F_{\text{s}}\)). Le couple généré est phénoménal. C'est ce qui empêche la poutre de plier sous la charge de l'immeuble.
📝 Calcul Détaillé
Application NumériqueMultiplication simple de la force par le bras de levier.
La section de la poutre PP-01 offre une résistance ultime de 209,3 kNm.
✅ Interprétation Finale
La poutre PP-01 est validée pour tout moment fléchissant appliqué (\(M_{\text{Ed}}\)) inférieur à 209,3 kNm. Au-delà de cette valeur, l'acier se plastifiera de manière excessive, l'axe neutre remontera, la zone comprimée de béton se réduira jusqu'à l'écrasement explosif du béton. La ruine est atteinte.
Pour une poutre de section 25x60 sur une portée de 6m, une capacité de ~210 kNm permet de reprendre une charge linéaire ultime (\(q_{\text{u}}\)) d'environ :
\(M = q_{\text{u}} L^2 / 8 \Rightarrow q_{\text{u}} = 8 M / L^2 = 8 \times 209 / 36 \approx 46\) kN/m.
4,6 tonnes par mètre linéaire ! C'est une valeur très robuste, cohérente pour un immeuble de standing avec charges lourdes (marbre, etc.).
Ce calcul ne valide QUE la résistance à la rupture (ELU). Pour une portée de 6,00 m, il est fort probable que le dimensionnement réel soit gouverné par la flèche (déformation) à l'État Limite de Service (ELS). Une poutre peut être très solide (ne pas casser) mais fléchir de 3 cm, fissurant toutes les cloisons et le carrelage en marbre ! La vérification ELS est donc l'étape suivante indispensable.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
VÉRIFICATION FLEXION ELU - POUTRE 25x60
| Désignation | Valeur / Description |
|---|---|
| 1. Hypothèses Générales | |
| Matériaux | Béton C25/30 - Acier B500B |
| Section | 25 cm x 60 cm |
| Ferraillage mis en œuvre | 3 HA 20 (\(A_{\text{s}} = 9,42 \text{ cm}^2\)) |
| 2. Résultats Intermédiaires | |
| Hauteur utile (\(d\)) | 560 mm |
| Effort Normal maximal Acier (\(F_{\text{s}}\)) | 409,6 kN |
| Hauteur zone comprimée (\(y_{\text{u}}\)) | 122,8 mm (22% de h) |
| Bras de levier (\(z\)) | 510,9 mm |
| 3. Résultats Finaux / Capacité | |
| Moment Résistant (\(M_{\text{Rd}}\)) | 209,3 kNm |
| Conclusion | SECTION VÉRIFIÉE - COMPATIBLE CHARGES HABITATION |
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