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Calcul du Module de Young du Titane

Calcul du Module de Young du Titane

Calcul du Module de Young du Titane

Comprendre le Module de Young (Module d'Élasticité)

Le module de Young (\(E\)), également connu sous le nom de module d'élasticité longitudinale, est une propriété mécanique fondamentale d'un matériau. Il mesure sa rigidité, c'est-à-dire sa résistance à la déformation élastique (non permanente) lorsqu'une force de traction ou de compression lui est appliquée. Un module de Young élevé indique un matériau très rigide, tandis qu'un module faible caractérise un matériau plus flexible. Ce module est déterminé expérimentalement à partir d'un essai de traction, en reliant la contrainte appliquée à la déformation résultante dans le domaine élastique du matériau, conformément à la loi de Hooke.

Données de l'étude

Un essai de traction est réalisé sur une éprouvette cylindrique en alliage de titane.

Caractéristiques de l'éprouvette et de l'essai :

  • Longueur initiale entre repères (\(L_0\)) : \(50 \, \text{mm}\)
  • Diamètre initial (\(d_0\)) : \(10 \, \text{mm}\)
  • Force de traction appliquée (\(F\)) : \(7.85 \, \text{kN}\)
  • Allongement mesuré entre repères (\(\Delta L\)) : \(0.05 \, \text{mm}\)
  • Limite d'élasticité de cet alliage de titane (\(\sigma_e\)) : \(830 \, \text{MPa}\)

On suppose que l'essai est réalisé dans le domaine élastique du matériau.

Schéma : Essai de Traction sur Éprouvette en Titane
F F L0 = 50 mm d0=10mm Delta L Essai de Traction

Éprouvette cylindrique soumise à un effort de traction.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section transversale initiale (\(A_0\)) de l'éprouvette.
  2. Calculer la contrainte normale (\(\sigma\)) appliquée à l'éprouvette.
  3. Calculer la déformation axiale (ou relative) (\(\epsilon\)) de l'éprouvette.
  4. Énoncer la loi de Hooke qui relie la contrainte, la déformation et le module de Young dans le domaine élastique.
  5. Calculer le module de Young (\(E\)) de cet alliage de titane.
  6. Vérifier si l'éprouvette est restée dans le domaine élastique pendant l'essai (c'est-à-dire, si \(\sigma < \sigma_e\)).

Correction : Calcul du Module de Young du Titane

Question 1 : Aire de la Section Transversale Initiale (\(A_0\))

Principe :

L'éprouvette a une section transversale circulaire. L'aire d'un cercle est donnée par \(A = \pi r^2\) ou \(A = \frac{\pi d^2}{4}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_0 = \frac{\pi d_0^2}{4} \]
Données spécifiques :
  • Diamètre initial (\(d_0\)) : \(10 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_0 &= \frac{\pi (10 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 100}{4} \, \text{mm}^2 \\ &= 25\pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 78.5398 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Nous utiliserons \(A_0 \approx 78.54 \, \text{mm}^2\) pour les calculs suivants.

Résultat Question 1 : L'aire de la section transversale initiale est \(A_0 \approx 78.54 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Contrainte Normale (\(\sigma\))

Principe :

La contrainte normale (\(\sigma\)) est définie comme la force appliquée (\(F\)) divisée par l'aire de la section transversale initiale (\(A_0\)) sur laquelle la force agit.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma = \frac{F}{A_0} \]
Données spécifiques (unités cohérentes : N, mm\(^2\) pour obtenir des MPa) :
  • Force de traction (\(F\)) : \(7.85 \, \text{kN} = 7850 \, \text{N}\)
  • Aire (\(A_0\)) : \(78.54 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{7850 \, \text{N}}{78.54 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 99.949 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 99.95 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte normale appliquée est \(\sigma \approx 99.95 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Déformation Axiale (\(\epsilon\))

Principe :

La déformation axiale (ou relative) (\(\epsilon\)) est le rapport entre l'allongement (\(\Delta L\)) et la longueur initiale entre repères (\(L_0\)). C'est une grandeur sans dimension.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \]
Données spécifiques :
  • Allongement (\(\Delta L\)) : \(0.05 \, \text{mm}\)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(50 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \epsilon &= \frac{0.05 \, \text{mm}}{50 \, \text{mm}} \\ &= 0.001 \end{aligned} \]

La déformation est souvent exprimée en pourcentage (\(0.001 \times 100\% = 0.1\%\)) ou en micromètres par mètre (\(\mu\text{m/m}\) ou \(\mu\epsilon\)), où \(0.001 = 1000 \, \mu\epsilon\).

Résultat Question 3 : La déformation axiale est \(\epsilon = 0.001\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si une barre s'allonge de 0.2 mm pour une longueur initiale de 100 mm, quelle est sa déformation axiale ?

Question 4 : Loi de Hooke

Principe :

La loi de Hooke stipule que, dans le domaine élastique d'un matériau, la contrainte normale (\(\sigma\)) est directement proportionnelle à la déformation axiale (\(\epsilon\)). La constante de proportionnalité est le module de Young (\(E\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma = E \cdot \epsilon \]
Résultat Question 4 : La loi de Hooke est \(\sigma = E \epsilon\).

Question 5 : Calcul du Module de Young (\(E\))

Principe :

En réarrangeant la loi de Hooke, le module de Young peut être calculé comme le rapport de la contrainte à la déformation.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E = \frac{\sigma}{\epsilon} \]
Données spécifiques :
  • Contrainte (\(\sigma\)) : \(99.95 \, \text{MPa}\)
  • Déformation (\(\epsilon\)) : \(0.001\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E &= \frac{99.95 \, \text{MPa}}{0.001} \\ &= 99950 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Conversion en GigaPascals (GPa) : \(E = 99950 \, \text{MPa} = 99.95 \, \text{GPa}\).

Le module de Young du titane est généralement compris entre 100 et 120 GPa, donc ce résultat est plausible.

Résultat Question 5 : Le module de Young calculé pour cet alliage de titane est \(E \approx 99.95 \, \text{GPa}\).

Question 6 : Vérification du Domaine Élastique

Principe :

Pour que le calcul du module de Young basé sur la loi de Hooke soit valide, l'essai doit avoir été mené dans le domaine élastique du matériau. Cela signifie que la contrainte appliquée (\(\sigma\)) doit être inférieure à la limite d'élasticité (\(\sigma_e\)) du matériau.

Condition :
\[ \sigma < \sigma_e \]
Données spécifiques :
  • Contrainte calculée (\(\sigma\)) : \(99.95 \, \text{MPa}\)
  • Limite d'élasticité (\(\sigma_e\)) : \(830 \, \text{MPa}\)
Comparaison :
\[ 99.95 \, \text{MPa} < 830 \, \text{MPa} \]

La condition est vérifiée. La contrainte appliquée est bien inférieure à la limite d'élasticité.

Résultat Question 6 : Oui, l'éprouvette est restée dans le domaine élastique pendant l'essai, car \(\sigma \approx 99.95 \, \text{MPa}\) est inférieur à \(\sigma_e = 830 \, \text{MPa}\). Le calcul du module de Young est donc valide.

Quiz Intermédiaire 2 : Si la contrainte appliquée dépasse la limite d'élasticité, le matériau :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le module de Young est une mesure de :

2. La contrainte normale est définie comme :

3. La loi de Hooke est applicable :

Glossaire

Module de Young (\(E\))
Aussi appelé module d'élasticité longitudinale, il caractérise la rigidité d'un matériau. C'est le rapport entre la contrainte et la déformation dans le domaine élastique. Unité : Pascals (Pa) ou multiples (MPa, GPa).
Contrainte Normale (\(\sigma\))
Force appliquée perpendiculairement à une surface, divisée par l'aire de cette surface. Unité : Pascals (Pa) ou multiples.
Déformation Axiale (ou Relative) (\(\epsilon\))
Rapport entre le changement de longueur d'un objet (\(\Delta L\)) et sa longueur initiale (\(L_0\)) dans la direction de la force. C'est une grandeur sans dimension, souvent exprimée en pourcentage ou en \(\mu\text{m/m}\).
Loi de Hooke
Principe de physique qui stipule que, pour des déformations élastiques relativement petites, la déformation est proportionnelle à la contrainte qui la produit (\(\sigma = E \epsilon\)).
Domaine Élastique
Région du comportement d'un matériau où il reprend sa forme et ses dimensions initiales après la suppression de la charge appliquée. Les déformations sont réversibles.
Limite d'Élasticité (\(\sigma_e\))
Valeur de la contrainte au-delà de laquelle un matériau commence à subir des déformations permanentes (plastiques).
Essai de Traction
Test mécanique standardisé utilisé pour déterminer diverses propriétés des matériaux, telles que le module de Young, la limite d'élasticité, la résistance à la traction et la ductilité.
Calcul du Module de Young du Titane - Exercice d'Application

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