Calcul du Module de Young du Titane
Comprendre le Calcul du Module de Young du Titane

Questions:
1. Quelle est la déformation subie par la barre en aluminium?
2. Quelle est la déformation subie par la barre en titane?
3. Sachant que la même force de traction est appliquée aux deux barres et que le module d’Young de l’aluminium est connu, comment calculer le module d’Young du titane à partir de ces données?
Correction : Calcul du Module de Young du Titane
1. Calcul de la Déformation (\(\varepsilon\))
La déformation (ou allongement relatif) est définie par :
\[ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \]
a. Pour la barre en aluminium
Données :
- Allongement observé, \(\Delta L_{Al} = 1,8\) mm
- Longueur initiale, \(L_{Al} = 324\) mm
Calcul :
\[ \varepsilon_{Al} = \frac{1,8 \text{ mm}}{324 \text{ mm}} \approx 0,00556 \]
b. Pour la barre en titane
Données :
- Allongement observé, \(\Delta L_{Ti} = 1,4\) mm
- Longueur initiale, \(L_{Ti} = 308\) mm
Calcul :
\[ \varepsilon_{Ti} = \frac{1,4 \text{ mm}}{308 \text{ mm}} \approx 0,00455 \]
2. Calcul des Aires des Sections
a. Barre en aluminium
- Section carrée de côté 6 mm :
\[ A_{Al} = 6 \text{ mm} \times 6 \text{ mm} \] \[ A_{Al} = 36 \text{ mm}^2 \]
b. Barre en titane
- Section rectangulaire (4 mm × 7 mm) :
\[ A_{Ti} = 4 \text{ mm} \times 7 \text{ mm} \] \[ A_{Ti} = 28 \text{ mm}^2 \]
3. Détermination du Module d’Young du Titane
Principe :
Dans un essai de traction, la contrainte \(\sigma\) est reliée à l’allongement \(\varepsilon\) par la loi de Hooke :
\[ \sigma = E \times \varepsilon \]
La contrainte peut aussi s’exprimer en fonction de la force appliquée \(F\) et de l’aire de la section \(A\) :
\[ \sigma = \frac{F}{A} \]
\bigskip
Étant donné que la même force de traction \(F\) est appliquée aux deux barres, on a :
\[ \frac{F}{A_{Al}} = E_{Al} \times \varepsilon_{Al} \quad \text{et} \quad \frac{F}{A_{Ti}} = E_{Ti} \times \varepsilon_{Ti} \]
En égalant l’expression de \(F\) pour les deux matériaux :
\[ E_{Al} \times \varepsilon_{Al} \times A_{Al} = E_{Ti} \times \varepsilon_{Ti} \times A_{Ti} \]
On isole \(E_{Ti}\) :
\[ E_{Ti} = \frac{E_{Al} \times \varepsilon_{Al} \times A_{Al}}{\varepsilon_{Ti} \times A_{Ti}} \]
Substitution des valeurs et calcul
- Module d’Young de l’aluminium, \(E_{Al} = 70\) GPa
- \(\varepsilon_{Al} \approx 0,00556\)
- \(A_{Al} = 36\) mm\(^2\)
- \(\varepsilon_{Ti} \approx 0,00455\)
- \(A_{Ti} = 28\) mm\(^2\)
\[ E_{Ti} = \frac{70 \times 0,00556 \times 36}{0,00455 \times 28} \] \[ E_{Ti} \approx \frac{14,0112}{0,1274} \approx 110 \text{ GPa} \]
Conclusion
Déformation :
- Aluminium : \(\varepsilon_{Al} \approx 0,00556\) (ou 0,556%)
- Titane : \(\varepsilon_{Ti} \approx 0,00455\) (ou 0,455%)
Module d’Young du titane :
\[ E_{Ti} \approx 110 \text{ GPa} \]
Ainsi, en utilisant la relation de la loi de Hooke et en tenant compte des différentes aires de section, on trouve que le module d’Young du titane est d’environ 110 GPa.
Calcul du Module de Young du Titane
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