Calcul du Module de Young du Titane

Comprendre le Calcul du Module de Young du Titane

Lors d’expériences de traction en laboratoire, qui permettent de caractériser les propriétés mécaniques des matériaux, des barres en aluminium et en titane sont testées. Ces essais consistent à appliquer une force axiale sur une éprouvette jusqu’à ce qu’une déformation élastique soit observée. L’objectif est de comparer la réponse élastique de deux matériaux différents sous une même charge pour en déduire des propriétés mécaniques.

Pour comprendre la Détermination du Module d’Young, cliquez sur le lien.

Données:

Essai nº1 : Barre en alliage d’aluminium
- Module d’Young de l’aluminium ( $E_{A l}$ ): 70 GPa
- Longueur de la barre : 324 mm
- Section carrée : 6 mm de côté
- Allongement observé sous charge : 1.8 mm
Essai nº2 : Barre en titane
- Longueur de la barre : 308 mm
- Section rectangulaire : 4 mm × 7 mm
- Allongement observé sous charge : 1.4 mm

Questions:

1. Quelle est la déformation subie par la barre en aluminium?

2. Quelle est la déformation subie par la barre en titane?

3. Sachant que la même force de traction est appliquée aux deux barres et que le module d’Young de l’aluminium est connu, comment calculer le module d’Young du titane à partir de ces données?

Correction : Calcul du Module de Young du Titane

1. Calcul de la Déformation ($\varepsilon$)

La déformation (ou allongement relatif) est définie par :

\[ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \]

a. Pour la barre en aluminium

Données :

Allongement observé, $\Delta L_{Al} = 1,8$ mm
Longueur initiale, $L_{Al} = 324$ mm

Calcul :

\[ \varepsilon_{Al} = \frac{1,8 \text{ mm}}{324 \text{ mm}} \approx 0,00556 \]

b. Pour la barre en titane

Données :

Allongement observé, $\Delta L_{Ti} = 1,4$ mm
Longueur initiale, $L_{Ti} = 308$ mm

Calcul :

\[ \varepsilon_{Ti} = \frac{1,4 \text{ mm}}{308 \text{ mm}} \approx 0,00455 \]

2. Calcul des Aires des Sections

a. Barre en aluminium

Section carrée de côté 6 mm :

\[ A_{Al} = 6 \text{ mm} \times 6 \text{ mm} \] \[ A_{Al} = 36 \text{ mm}^2 \]

b. Barre en titane

Section rectangulaire (4 mm × 7 mm) :

\[ A_{Ti} = 4 \text{ mm} \times 7 \text{ mm} \] \[ A_{Ti} = 28 \text{ mm}^2 \]

3. Détermination du Module d’Young du Titane

Principe :
Dans un essai de traction, la contrainte $\sigma$ est reliée à l’allongement $\varepsilon$ par la loi de Hooke :

\[ \sigma = E \times \varepsilon \]

La contrainte peut aussi s’exprimer en fonction de la force appliquée $F$ et de l’aire de la section $A$ :

\[ \sigma = \frac{F}{A} \]

\bigskip

Étant donné que la même force de traction $F$ est appliquée aux deux barres, on a :

\[ \frac{F}{A_{Al}} = E_{Al} \times \varepsilon_{Al} \quad \text{et} \quad \frac{F}{A_{Ti}} = E_{Ti} \times \varepsilon_{Ti} \]

En égalant l’expression de $F$ pour les deux matériaux :

\[ E_{Al} \times \varepsilon_{Al} \times A_{Al} = E_{Ti} \times \varepsilon_{Ti} \times A_{Ti} \]

On isole $E_{Ti}$ :

\[ E_{Ti} = \frac{E_{Al} \times \varepsilon_{Al} \times A_{Al}}{\varepsilon_{Ti} \times A_{Ti}} \]

Substitution des valeurs et calcul

Module d’Young de l’aluminium, $E_{Al} = 70$ GPa
$\varepsilon_{Al} \approx 0,00556$
$A_{Al} = 36$ mm$^2$
$\varepsilon_{Ti} \approx 0,00455$
$A_{Ti} = 28$ mm$^2$

\[ E_{Ti} = \frac{70 \times 0,00556 \times 36}{0,00455 \times 28} \] \[ E_{Ti} \approx \frac{14,0112}{0,1274} \approx 110 \text{ GPa} \]

Conclusion

Déformation :

Aluminium : $\varepsilon_{Al} \approx 0,00556$ (ou 0,556%)
Titane : $\varepsilon_{Ti} \approx 0,00455$ (ou 0,455%)

Module d’Young du titane :

\[ E_{Ti} \approx 110 \text{ GPa} \]

Ainsi, en utilisant la relation de la loi de Hooke et en tenant compte des différentes aires de section, on trouve que le module d’Young du titane est d’environ 110 GPa.

Calcul du Module de Young du Titane

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