Calcul du Fléchissement d’une Poutre en Bois
Comprendre le Calcul du Fléchissement d’une Poutre en Bois
Vous êtes ingénieur en structure et devez concevoir une poutre en bois qui sera utilisée dans la construction d’une charpente de toit. La poutre doit supporter une charge uniformément répartie tout en minimisant le risque de défaillance due à l’anisotropie du bois.
Pour comprendre les Caractéristiques mécaniques du bois, cliquez sur le lien.
Données fournies:
- Matériau : Pin sylvestre
- Charge uniformément répartie \( q \) : 500 N/m
- Longueur de la poutre \( L \) : 4 m
- Largeur de la poutre \( b \) : 150 mm
- Hauteur de la poutre \( h \) : 300 mm
- Module d’élasticité selon les fibres du bois \( E_{\parallel} \) : 11000 MPa
- Module d’élasticité perpendiculaire aux fibres du bois \( E_{\perp} \) : 300 MPa
Questions:
Calculer le déplacement maximal \( \delta_{max} \) au centre de la poutre et vérifier si la poutre est conforme aux normes de sécurité.
Correction : Calcul du Fléchissement d’une Poutre en Bois
1. Calcul de l’Inertie de la Section (I)
L’inertie d’une section rectangulaire se calcule par la formule
\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]
où :
- \(b\) est la largeur de la poutre,
- \(h\) est la hauteur de la poutre.
Données :
- b = 150 mm = 0,15 m
- h = 300 mm = 0,3 m
Calcul :
\[ I = \frac{0,15 \times (0,3)^3}{12} \] \[ I = \frac{0,15 \times 0,027}{12} \] \[ I = \frac{0,00405}{12} \] \[ I \approx 0,0003375\ \text{m}^4 \]
2. Calcul du Déplacement Maximal (\(\delta_{\text{max}}\))
Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, la flèche maximale au centre est donnée par la formule
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \times q \times L^4}{384 \times E \times I} \]
où :
- \(q\) est la charge uniformément répartie,
- \(L\) est la longueur de la poutre,
- \(E\) est le module d’élasticité (ici, on utilise \(E_{\parallel}\) puisque la flexion se fait dans le sens des fibres),
- \(I\) est l’inertie de la section.
Données :
- \(q = 500\) N/m,
- \(L = 4\) m,
- \(E_{\parallel} = 11\,000\) MPa = \(11 \times 10^9\) N/m\(^2\),
- \(I \approx 0,0003375\) m\(^4\) (calculé précédemment).
Calcul :
1. Calcul du numérateur :
\[ 5 \times q \times L^4 = 5 \times 500 \times (4)^4 \]
Puisque \(4^4 = 256\), on a :
\[ 5 \times 500 \times 256 = 640\,000 \]
2. Calcul du dénominateur :
\[ 384 \times E \times I = 384 \times (11 \times 10^9) \times 0,0003375 \]
Première étape :
\[ 11 \times 10^9 \times 0,0003375 = 3,7125 \times 10^6 \]
Ensuite :
\[ 384 \times 3,7125 \times 10^6 \approx 1,4268 \times 10^9 \]
3. Détermination de \(\delta_{\text{max}}\) :
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{640\,000}{1,4268 \times 10^9} \] \[ \delta_{\text{max}} \approx 0,0004489\ \text{m} \] \[ \delta_{\text{max}} \approx 0,45\ \text{mm} \]
3. Vérification de la Conformité aux Normes de Sécurité
Critère de vérification :
Une règle couramment utilisée pour la flèche maximale d’une poutre est la limite de \(\frac{L}{300}\) (pour les constructions où une faible déformation est exigée).
Calcul de la flèche admissible :
\[ \frac{L}{300} = \frac{4\ \text{m}}{300} \approx 0,01333\ \text{m} \] \[ = 13,33\ \text{mm} \]
Comparaison :
- Déplacement calculé : \(\delta_{\text{max}} \approx 0,45\) mm,
- Flèche admissible : 13,33 mm.
Conclusion :
Le déplacement maximal (0,45 mm) est bien inférieur à la flèche admissible (13,33 mm). La poutre est donc conforme aux normes de sécurité.
Calcul du Fléchissement d’une Poutre en Bois
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